Satz über implizite Funktionen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die einmal stetig differenzierbare Funktion f: [mm] \IR^2 \Rightarrow \IR^2 [/mm] nicht injektiv ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen,
ich soll oben genannte Aufgabe beweisen und vermute, dass es mit dem Satz über implizite Funktionen zu tun hat. Wenn f nicht injektiv ist, bedeutet das, dass der Ker(f) = [mm] \{x \in \IR^2 | f(x)=0 \}\not= \{0\}. [/mm] Villeicht kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich weiter vorgehen muss. Vielen Dank schon mal
Cauchylein
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:48 So 25.06.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo.
I.A. ist die Aussage nicht richtig. Wie lautet die Abbildungsvorschrift von $f$?
Deine Aussage, dass die Funktion genau dann nicht injektiv sei, wenn [mm] $\{x\in \IR^2|f(x)=0\}\neq\{0\}$, [/mm] ist ebenfalls nicht richtig. Dies gilt für eine lineare Abbildung, welche hier i.A. nicht vorliegt. Bei nicht-linearen Abbildungen musst du annehmen, dass [mm] $x,y\in \IR^2$ [/mm] mit $f(x)=f(y)$ existierten, und daraus $x=y$ ableiten; eine Umformung zu $f(x-y)=0$ ist hier i.A. nicht zulässig.
Liebe Grüße,
Hanno
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Danke schon mal für den Hinweis.
Ich habe gesehen, dass ich mich vertippt habe: f geht von [mm] \IR^2 [/mm] nach [mm] \IR.
[/mm]
Aber eine explizite Vorschrift habe ich nicht und wie man allgemein zeigen kann mit dem Satz über implizite Funktionen, dass f nicht injektiv ist, wenn es einmal stetig differenzierbar ist, weiß ich leider auch noch nicht!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:29 So 25.06.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
Das ist eine sehr gute Idee ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") ! Wo scheitert es denn bei dir?
Wenn es ein [mm] $(x,y)\in \IR^2$ [/mm] mit [mm] $\partial_y f(x,y)\neq [/mm] 0$ gibt, dann kannst du den Satz über implizite Funktionen anwenden und gelangst schnell zu zwei gleichen Funktionswerten.
Wenn [mm] $\partial_y [/mm] f(x,y)=0$ für alle [mm] $(x,y)\in \IR^2$ [/mm] kannst du beliebige [mm] $x,y_1,y_2\in \IR, y_1\neq y_2$ [/mm] wählen und den Mittelwertsatz auf die Punkte [mm] $(x,y_1), (x,y_2)$ [/mm] anwenden.
Liebe Grüße,
Hanno
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Danke,
ich befürchte mein Problem ist der Satz über implizite Funktionen selbst:
Wenn [mm] \partial [/mm] f / [mm] \partial [/mm] y [mm] \not= [/mm] 0 , weiß ich, dass y bei x implizit definiert ist. D. h. nach unserer Definition von implizit ist stets f(x, [mm] \alpha(x)) [/mm] =0. Sind jetzt diese (x [mm] \alpha(x)) [/mm] meine gleichen Funktionswerte????
Welchen Mittelwertsatz muss ich denn nehmen: Bei uns in der Vorlesung gab es gleich drei Varianten: Ich vermute dass es der mit [mm] \integral_{0}^{1}{Df(x+t(y-x))(y-x) dx}.
[/mm]
Nochmals ganz lieben Dank
Cauchylein
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:14 So 25.06.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo.
Was du sagst, ist sehr schwammig und unpräzise. Du solltest dir den Satz über implizite Funktionen so anschauen, dass du ihn auch genau wiedergeben kannst und weißt, was er besagt.
Wenn [mm] $\partial_y f(x_0,y_0)\neq [/mm] =0$ ist, dann existieren Umgebungen $U$ von $x$ und $U'$ von $y$ und eine Funktion [mm] $\alpha:U\to [/mm] U'$ so, dass [mm] $f(x,y)=f(x_0,y_0)\text{ für } (x,y)\in U\times U'\gdw y=\alpha(x)$ [/mm] gilt. Damit werden, das meintest du wohl, die [mm] $(x,\alpha(x)), x\in [/mm] U$ alle auf [mm] $f(x_0,y_0)$ [/mm] abgebildet. Da $U$ als Umgebung von $x$ eine offene Menge enthält, die selbst überabzählbar viele Elemente beinhaltet, ist $f$ somit nicht injektiv.
Ich würde folgende Version des Mittelwertsatzes verwenden:
Ist [mm] $f:U\to \IR$ [/mm] auf der offenen Menge [mm] $U\subset \IR^n$ [/mm] differenzierbar, [mm] $a,b\in [/mm] U$ so, dass die Verbindungsstrecke von $a$ und $b$ in $U$ liegt, dann existiert ein [mm] $t\in [/mm] [0,1]$ so, dass [mm] $f(b)-f(a)=\nabla [/mm] f(a+t(b-a)) (b-a)$ gilt.
Versuch's mal.
Liebe Grüße,
Hanno
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Ersteinmal lieben Dank für deine ganze Mühe!!!
Den Satz über implizite Funktionen habe ich jetzt endlich verstanden!
Aber nochmal zum Mittelwertsatz: [mm] f(b)-f(a)=\nabla [/mm] f(a+t(b-a)) (b-a)
Da meine Verbindungsstrecke in U liegt, ist der Gradient und somit die gesamte rechte Hälfte gleich null und entsprechend f(b) = f(a). Da aber für die Punkte a [mm] \not=b [/mm] gilt, folgt, dass f nicht injektiv ist. Ist meine Überlegung diesmal richtig gewesen, oder habe ich wieder etwas übersehen?
Liebe Grüße
Cauchylein
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:25 So 25.06.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
> Da meine Verbindungsstrecke in U liegt, ist der Gradient und somit die gesamte rechte Hälfte gleich null und entsprechend f(b) = f(a).
Das verstehe ich nicht. Bleiben wir bei meinem Vorschlag von vorhin: wir wählen [mm] $x,y_1,y_2\in \IR$ [/mm] beliebig. Dann gilt [mm] $f(x,y_1)-f(x,y_2)=\nabla f(\xi)\cdot ((x,y_1)-(x,y_2))=\nabla f(\xi)\cdot (0,y_1-y_2)$ [/mm] für ein [mm] $\xi$ [/mm] aus der Verbindungsstrecke von $a$ und $b$. Wende nun an, dass [mm] $\partial_y f(x,y)=\nabla f(x,y)_2=0$ [/mm] für alle [mm] $(x,y)\in \IR^2$ [/mm] gilt. Wie lässt sich das Skalarprodukt [mm] $\nabla f(\chi)\cdot (0,y_1-y_2)$ [/mm] dann vereinfachen?
Liebe Grüße,
Hanno
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Also,
ich dachte, wenn das [mm] \xi [/mm] aus meiner Verbindung von a und b ist, müsste die partielle Ableitung nach dem zweiten Eintrag von [mm] \xi [/mm] (, wegen der Voraussetzung [mm] \partial_y f(x,y)=\nabla f(x,y)_2=0) [/mm] eben auch null sein. Ist denn dann dieses Skalarprodukt [mm] \nabla f(\xi)\cdot (0,y_1-y_2) [/mm] nicht automatisch auch gleich 0 ? Oder habe ich falsch herum multipliziert?
Lieben Dank
Cauchylein
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:04 So 25.06.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
> Ist denn dann dieses Skalarprodukt $ [mm] \nabla f(\xi)\cdot (0,y_1-y_2) [/mm] $ nicht automatisch auch gleich 0 ?
Ganz genau! "Automatisch" in dem Sinne, als dass die 1. Komponente von [mm] $(0,y_1-y_2)$ [/mm] Null ist und die 2. Komponente von [mm] $\nabla f(\xi)$ [/mm] ebenso. Dann muss das Skalarprodukt beider Vektoren auch Null sein.
Und damit hast du es, richtig?
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:17 So 25.06.2006 | | Autor: | Cauchylein |
Das meinte ich vorhin.
SUPER, Aufgabe gelöst und verstanden!!!
Vielen lieben Dank nochmal für deine Hilfe!!!!!
Cauchylein
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