Satz über implizite Funktionen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeige, dass [mm] \varepsilon{}>0 [/mm] und [mm] \delta{}>0 [/mm] existieren, sodass das nichtlineare Gleichungssystem
[mm] \sin{x}+y^{2}+z=0
[/mm]
[mm] x^{2}+yexp(z)=0
[/mm]
für jedes [mm] x\in(-\varepsilon{},\varepsilon) [/mm] genau eine Lösung
[mm] \begin{pmatrix}y(x) \\ z(x)\end{pmatrix}\in U_{\delta{}}\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}
[/mm]
besitzt. |
Hallo.
Ich schätze die Aufgabe sollte mit dem Satz über implizite Funktionen zu lösen sein.
Wir haben nur einen Beispiel damit gerechnet, allerdings war das die Funktion von x,y und g(x,y) abhängig, deshalb verwirrt mich jetzt das hier y und z von x abhängen.
Wie gehe ich am besten mit diesen Gleichungen um?
Sollte ich die Gleichsetzen, alles auf eine Seite bringen sodass auf der rechten Seite 0 steht? Das habe ich ausprobiert, kriegs aber nicht hin den Satz anzuwenden.
Oder formt man zunächst eine Gleichung nach y um und setzt Sie in die andere um das z zu eliminieren und macht das selbe nochmal mit z?
Danke im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:47 Di 22.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
du sollst zu deinem Gl[ck nicht die Umkehrfkt bestimmen, sondern nur zeigen, dass es lokal eine Umkehrung gibt, dayu den Saty [ber implizite Funktionen auf die funktion anwenden
Gruss leduart
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Ja, aber wie?
Wenn ich mir die Funktion definiere:
[mm] f(x,y,z)=\sin{x}+y^{2}+z-x^{2}-yexp(z)
[/mm]
und f(x,y,z)=0 setze, dann funktioniert der Satz ja nicht, sofern ich diesen richtig verstanden habe.
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Hallo helicopter,
> Ja, aber wie?
> Wenn ich mir die Funktion definiere:
> [mm]f(x,y,z)=\sin{x}+y^{2}+z-x^{2}-yexp(z)[/mm]
Lass die gegebenen zwei Gleichungen stehen.
Auf diese beiden Gleichungen ist der Satz anwendbar.
> und f(x,y,z)=0 setze, dann funktioniert der Satz ja nicht,
> sofern ich diesen richtig verstanden habe.
Gruss
MathePower
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Aber dann hab ich doch immernoch eine Funktion f(x,y(x),z(x)), wie wende ich den Satz darauf an?
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Hallo helicopter,
> Aber dann hab ich doch immernoch eine Funktion
> f(x,y(x),z(x)), wie wende ich den Satz darauf an?
Differenziere diese Funktionen nach x.
Ermittle daraus y' und z'.
Bestimme dann den Bereich, in dem y' und z' von 0 verschieden sind.
Gruss
MathePower
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Mhh,wäre [mm] z'(x)=\bruch{4x^{3}+cos{x}exp(z(x))}{2x^{2}-exp(z(x))}
[/mm]
richtig? Dann lohnt es sich mit y' weiter zu machen :)
Gruß
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Hallo helicopter,
> Mhh,wäre
> [mm]z'(x)=\bruch{4x^{3}+cos{x}exp(z(x))}{2x^{2}-exp(z(x))}[/mm]
Hier hab ich etwas anderes.
Poste dazu Deine bisherigen Rechenschritte.
> richtig? Dann lohnt es sich mit y' weiter zu machen :)
>
> Gruß
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:13 Di 22.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo du solltest das nicht aufloese!
wenn grad(f1(x,y,z), und grad(f2) linear unabh sind schneiden sich die 2 Niveauflachen f1=0 und f2=0 in einer Kurve, die kannst du als (y(x),y(x)( schreiben wenn sie ausserdem von [mm] e_x=(1,0,0) [/mm] linear unabhaengig sind. habt ihr das nicht gemacht_
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:23 Di 22.01.2013 | | Autor: | helicopter |
Nein, nicht das ich wüsste.
Ich habe aber auch einen Denkfehler gemacht bei dieser Aufgabe,
Die Funktion ist [mm] f:\IR^{3}\to\IR^{2}
[/mm]
ich dachte das sie nach [mm] \IR [/mm] abbildet.
Ich schaue mir das Morgen nochmal an und melde mich dann.
Gruß helicopter
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Hallo,
also ich habe Jetzt:
[mm] U\subset{}\IR^{1}\times\IR^{2} [/mm] sei offen.
[mm] f:U\to\IR^{2} [/mm] stetig diffbar (Ist die Funktion ja als Verkettung stetig diffbarer Funktionen)
Dann habe ich einen Punkt (0,0,0) mit f(0,0,0)=0
Meine Ableitungen sind:
[mm] \bruch{\partial{f_1}}{\partial{y}}=2y [/mm] , [mm] \bruch{\partial{f_1}}{\partial{z}}=1 [/mm] , [mm] \bruch{\partial{f_2}}{\partial{y}}=e^z [/mm] , [mm] \bruch{\partial{f_2}}{\partial{z}}=ye^z
[/mm]
Damit ist [mm] det\begin{pmatrix}\bruch{\partial{f_1}}{\partial{y}}=2y & \bruch{\partial{f_1}}{\partial{z}}=1 \\\bruch{\partial{f_2}}{\partial{y}}=e^z & \bruch{\partial{f_2}}{\partial{z}}=ye^z \end{pmatrix}(0,0,0)=-1 \not= [/mm] 0
Damit sind die Voraussetzungen für den SIF erfüllt.
Ist es soweit OK?
Gruß helicopter
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:23 Do 24.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> also ich habe Jetzt:
> [mm]U\subset{}\IR^{1}\times\IR^{2}[/mm] sei offen.
> [mm]f:U\to\IR^{2}[/mm] stetig diffbar (Ist die Funktion ja als
> Verkettung stetig diffbarer Funktionen)
> Dann habe ich einen Punkt (0,0,0) mit f(0,0,0)=0
> Meine Ableitungen sind:
> [mm]\bruch{\partial{f_1}}{\partial{y}}=2y[/mm] ,
> [mm]\bruch{\partial{f_1}}{\partial{z}}=1[/mm] ,
> [mm]\bruch{\partial{f_2}}{\partial{y}}=e^z[/mm] ,
> [mm]\bruch{\partial{f_2}}{\partial{z}}=ye^z[/mm]
>
> Damit ist
> [mm]det\begin{pmatrix}\bruch{\partial{f_1}}{\partial{y}}=2y & \bruch{\partial{f_1}}{\partial{z}}=1 \\\bruch{\partial{f_2}}{\partial{y}}=e^z & \bruch{\partial{f_2}}{\partial{z}}=ye^z \end{pmatrix}(0,0,0)=-1 \not=[/mm]
> 0
>
> Damit sind die Voraussetzungen für den SIF erfüllt.
> Ist es soweit OK?
Ja, wenn Du noch sagst, was f ist.
FRED
P.S.: alle Welt sagt "Satz über implizite Funktionen ".
Das ist Unfug. "Implizit" ist keine Eigenschaft, die eine Funktion haben kann (wie stetig oder differenzierbar).
Korrekt: "Satz über implizit definierte Funktionen ".
>
> Gruß helicopter
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OK, Danke.
Nun zur Anwendung des Satzes.
Laut meinem Skript gilt nun:
Es existierte eine offene Menge [mm] A\subset\IR [/mm] mit [mm] a\in [/mm] A sowie
eine Abbildung [mm] g:A\to\IR^2 [/mm] mit:
i) g(a)=b , f(x,g(x))=0 für alle [mm] x\in \A
[/mm]
ii)g: [mm] A\to\IR^2 [/mm] ist diffbar
iii)g ist eindeutig
Sehe ich das richtig das i) mir schon aussagt das es y(x),z(x) gibt die die Gleichung erfüllen?
Und wie zeige ich das es dieses [mm] \varepsilon [/mm] und [mm] \delta [/mm] gibt? g müsste doch stetig sein da es differenzierbar ist, wäre das die richtige Richtung?
Gruß helicopter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Sa 26.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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