Satz über inverse Funktionen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:03 Mo 08.09.2008 | | Autor: | cares87 |
| Aufgabe | [mm] \Omega\subset\IR^{n} [/mm] offen, [mm] f:\Omega\to\IR^{n} [/mm] stetig diffbar, [mm] x^{stern}\in\Omega. [/mm] Ist [mm] D_{f(x^{stern})} [/mm] invertierbar, so gibt es offene Mengen [mm] U,V\subset\IR^{n} [/mm] mit [mm] x^{stern}\inU\subset\Omega, [/mm] so dass:
i) [mm] f|_{U}:U \to [/mm] V bijektiv
ii) [mm] f^{-1}:V \to [/mm] U stetig diffbar, [mm] D_{f^{-1}(f(x))}=(D_{f(x)})^{-1} \forallx\inU [/mm] |
Hallo,
ich sitze grad am Beweis zum ersten Teil und habe eine Frage:
Definiere [mm] \Omega^{schlange}=\{x\in\Omega : det J_{f(x)}\not=0\} [/mm] offen, [mm] x^{stern}\in\Omega^{schlange} [/mm] Setze [mm] \Omega^{stern}=\Omega^{schlange}-x^{stern}. [/mm] Dann ist [mm] 0\in\Omega^{stern}. [/mm] Sei [mm] f^{stern}:\Omega\to\IR^{n}, f^{stern}(h)=(J_{f(x^{stern})})^{-1}(f(x^{stern}+h)-f(x^{stern}))
[/mm]
Dann ist [mm] f^{stern}(0)=0 [/mm] und [mm] J_{f^{stern}(0)}=E. [/mm] Damit haben wir dieSituation eines voeherigen Satzes hergestellt in dem es heßt:
Sei [mm] \Omega\subset\IR^{n} [/mm] offen, [mm] 0\in\Omega, f:\Omega\to\IR^{n} [/mm] stetig diffbar, f(0)=0, D{f(0)}=id, also [mm] J_{f(0)}=E
[/mm]
Dann gibt es offene Mengen [mm] U,V\subset\IR^{n} [/mm] mit [mm] 0\inU\subset\Omega, [/mm] so dass:
i) [mm] f|_{U}:U\toV [/mm] jektiv
ii) [mm] f^{-1}:V\toU [/mm] diffbar in 0 und [mm] D-{f^{-1}(0)}=id
[/mm]
So, jetzt gehts mein Beweis weiter:
Also ex. [mm] U^{stern}, V^{stern} [/mm] offen in [mm] \IR^{n} [/mm] mit [mm] 0\inU^{stern}, f^{stern}|_{U^{stern}}:U^{stern}\tov^{stern} [/mm] bijektiv.
Setze [mm] U=U^{stern}+x^{stern}\subset\Omega^{stern}
[/mm]
[mm] V=f(U)=J_{f(x^{stern})}(V^{stern}+f(x^{stern}))
[/mm]
Warum weiß ich, dass V=f(U) ist? Folgt dass einfach aus der Definton von U und der Bijektivität von [mm] f^{stern}|_{U}? [/mm] Und warum gilt die Gleichheit von f(U) und de dahinter?
Danke schon mal.
Caro
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:37 Mi 10.09.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> [mm]\Omega\subset\IR^{n}[/mm] offen, [mm]f:\Omega\to\IR^{n}[/mm] stetig
> diffbar, [mm]x^{stern}\in\Omega.[/mm] Ist [mm]D_{f(x^{stern})}[/mm]
> invertierbar, so gibt es offene Mengen [mm]U,V\subset\IR^{n}[/mm]
> mit [mm]x^{stern}\inU\subset\Omega,[/mm] so dass:
> i) [mm]f|_{U}:U\to V[/mm] bijektiv
> ii) [mm]f^{-1}:V\to U[/mm] stetig diffbar,
> [mm]D_{f^{-1}(f(x))}=(D_{f(x)})^{-1} \forallx\inU[/mm]
> Hallo,
> ich sitze grad am Beweis zum ersten Teil und habe eine
> Frage:
>
> Definiere [mm]\Omega^{schlange}=\{x\in\Omega : det J_{f(x)}\not=0\}[/mm]
> offen, [mm]x^{stern}\in\Omega^{schlange}[/mm] Setze
> [mm]\Omega^{stern}=\Omega^{schlange}-x^{stern}.[/mm] Dann ist
> [mm]0\in\Omega^{stern}.[/mm] Sei [mm]f^{stern}:\Omega\to\IR^{n}, f^{stern}(h)=(J_{f(x^{stern})})^{-1}(f(x^{stern}+h)-f(x^{stern}))[/mm]
>
> Dann ist [mm]f^{stern}(0)=0[/mm] und [mm]J_{f^{stern}(0)}=E.[/mm] Damit haben
> wir dieSituation eines voeherigen Satzes hergestellt in dem
> es heßt:
> Sei [mm]\Omega\subset\IR^{n}[/mm] offen, [mm]0\in\Omega, f:\Omega\to\IR^{n}[/mm]
> stetig diffbar, f(0)=0, D{f(0)}=id, also [mm]J_{f(0)}=E[/mm]
> Dann gibt es offene Mengen [mm]U,V\subset\IR^{n}[/mm] mit
> [mm]0\inU\subset\Omega,[/mm] so dass:
> i) [mm]f|_{U}:U\to V[/mm] jektiv
> ii) [mm]f^{-1}:V\to U[/mm] diffbar in 0 und [mm]D-{f^{-1}(0)}=id[/mm]
> So, jetzt gehts mein Beweis weiter:
> Also ex. [mm]U^{stern}, V^{stern}[/mm] offen in [mm]\IR^{n}[/mm] mit
> [mm]0\inU^{stern}, f^{stern}|_{U^{stern}}:U^{stern}\to V^{stern}[/mm]
> bijektiv.
> Setze [mm]U=U^{stern}+x^{stern}\subset\Omega^{stern}[/mm]
> [mm]V=f(U)=J_{f(x^{stern})}(V^{stern}+f(x^{stern}))[/mm]
Ersteinmal: hier scheinen ziemlich viele Tippfehler drinnen zu sein. Ein paar habe ich grad auf die Schnelle korrigiert, es sind aber noch genug weitere da.
Kann es sein, dass $f(U) = [mm] J_{f(x^{stern})} V^{stern} [/mm] + [mm] f(x^{stern})$ [/mm] sein soll, also mit einer Klammer weniger?
> Warum weiß ich, dass V=f(U) ist?
Das wird doch so gesetzt. Interessanter ist eher die Frage, warum $f(U)$ gleich dem Ausdruck ist der dahinter steht.
> Und warum gilt die Gleichheit von f(U) und de dahinter?
Du weisst, dass [mm] $f^{stern}(U^{stern}) [/mm] = [mm] V^{stern}$ [/mm] ist. Wenn du da jetzt die Definition von [mm] $f^{stern}$ [/mm] einsetzt kannst du eine Aussage ueber $f(U)$ erhalten: es ist ja [mm] $f^{stern}(U^{stern})=(J_{f(x^{stern})})^{-1}(f(x^{stern}+U^{stern})-f(x^{stern})) [/mm] = [mm] (J_{f(x^{stern})})^{-1}(f(U)-f(x^{stern}))$, [/mm] und wenn du diese Gleichheit mit [mm] $J_{f(x^{stern})}$ [/mm] multiplizierst und [mm] $f(x^{stern})$ [/mm] addierst bekommst du [mm] $J_{f(x^{stern})} V^{stern} [/mm] + [mm] f(x^{stern}) [/mm] = f(U)$.
Das Vordere ist nun das was ich vorhin gefragt hab, ob das vielleicht da stehen sollte.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:42 Mi 10.09.2008 | | Autor: | cares87 |
> Kann es sein, dass [mm]f(U) = J_{f(x^{stern})} V^{stern} + f(x^{stern})[/mm]
> sein soll, also mit einer Klammer weniger?
> Du weisst, dass [mm]f^{stern}(U^{stern}) = V^{stern}[/mm] ist. Wenn
> du da jetzt die Definition von [mm]f^{stern}[/mm] einsetzt kannst du
> eine Aussage ueber [mm]f(U)[/mm] erhalten: es ist ja
> [mm]f^{stern}(U^{stern})=(J_{f(x^{stern})})^{-1}(f(x^{stern}+U^{stern})-f(x^{stern})) = (J_{f(x^{stern})})^{-1}(f(U)-f(x^{stern}))[/mm],
> und wenn du diese Gleichheit mit [mm]J_{f(x^{stern})}[/mm]
> multiplizierst und [mm]f(x^{stern})[/mm] addierst bekommst du
> [mm]J_{f(x^{stern})} V^{stern} + f(x^{stern}) = f(U)[/mm].
>
> Das Vordere ist nun das was ich vorhin gefragt hab, ob das
> vielleicht da stehen sollte.
Hmm... das was du geschrieben hast klingt ja logisch. Ich kann dir nicht genau sagen, ob da bicht vll eine Klammer weniger stehen sollte, weil das halt so in meinem Skript steht, kann aber auch einfach n Schreibfehler sein. Ich hab mir deine Anmerkungen mal dran geschrieben.
Lg,
Caro
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