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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Satz über totale Diff.barkeit
Satz über totale Diff.barkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Satz über totale Diff.barkeit: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 23:04 Mi 29.11.2017
Autor: X3nion

Einen schönen Abend an auch Community! :-)

Ich verstehe ein paar Sachen beim Beweis des folgenden Satzes über die totale Differenzierbarkeit nicht:

Satz Sei U [mm] \subset \IR^{n} [/mm] offen und f: U [mm] \to \IR [/mm] eine in U partiell differenzierbare Funktion. Alle partiellen Ableitungen [mm] D_{k}f [/mm] seien im Punkt x [mm] \in [/mm] U stetig. Dann ist f in x total differenzierbar.

Beweis

Da U offen ist, gibt es ein [mm] \delta [/mm] > 0, so dass die Kugel um x mit Radius [mm] \delta [/mm] ganz in U liegt. Sei nun [mm] \xi [/mm] = [mm] \{\xi_{1}, ..., \xi_{n}\} \in \IR^{n} [/mm] ein Vektor mit [mm] ||\xi|| [/mm] < [mm] \delta. [/mm] Wir definieren Punkte

[mm] z^{(k)} [/mm] := x + [mm] \summe_{i=1}^{k} \xi_{i}e_{i}, [/mm] k = 0, ..., n.

Es gilt [mm] z^{(0)} [/mm] = x und [mm] z^{(n)} [/mm] = x + [mm] \xi. [/mm] Die Punkte [mm] z^{(k-1)} [/mm] und [mm] z^{(k)} [/mm] unterscheiden sich nur in der k-ten Koordinate. Nach dem Mittelwertsatz für differenzierbare Funktionen einer Veränderlichen gibt es deshalb ein [mm] \theta_{k} \in [/mm] [0,1], so dass

(*) [mm] f(z^{(k)}) [/mm] - [mm] f(z^{(k-1)}) [/mm] = [mm] D_{k}f(y^{(k)})\xi_{k} [/mm] mit [mm] y^{(k)} [/mm] := [mm] z^{(k-1)} [/mm] + [mm] \theta_{k}\xi_{k}e_{k}. [/mm]

Daraus folgt

f(x + [mm] \xi) [/mm]  - f(x) = [mm] \summe_{k=1}^{n} D_{k}f(y^{(k)})\xi_{k}. [/mm]

Setzt man [mm] a_{k} [/mm] := [mm] D_{k}f(x), [/mm] so gilt

f(x + [mm] \xi) [/mm] = f(x) + [mm] \summe_{k=1}^{n}a_{k}\xi_{k} [/mm] + [mm] \phi(\xi) [/mm]

mit [mm] \phi(\xi) [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} (D_{k}f(y^{(k)}) [/mm] - [mm] a_{k})\xi_{k}. [/mm]

Für [mm] \xi \to [/mm] 0 strebt [mm] y^{(k)} [/mm] gegen x, also folgt aus der Stetigkeit der partiellen Ableitungen [mm] \lim_{\xi \to 0}D_{k}f(y^{(k)}) [/mm] = [mm] D_{k}f(x) [/mm] = [mm] a_{k}, [/mm] woraus schlussendlich folgt:

[mm] \lim_{\xi \to 0} \frac{\phi(\xi)}{||\xi||}, [/mm] q.e.d.


------

Meine 2 Fragen wären nun:

1) Mir ist bewusst, dass man den Mittelwertsatz anwenden kann, da man die Funktion einer Veränderlicher betrachtet in Form der k-ten Koordinate, innerhalb derer sich ja [mm] z^{(k)} [/mm] und [mm] z^{(k-1)} [/mm] unterscheiden, alle anderen Koordinaten sind gleich. Die Notation ist mir allerdings nicht ganz klar.
Die linke Seite von (*) müsste ja lauten:

[mm] \frac{f(z^{(k)}) - f{(z^{(k-1)})}}{z^{(k)} - z^{(k-1)}} [/mm] = [mm] \frac{f(z^{(k)}) - f(z^{(k-1)})}{\xi_{k}e_{k}} [/mm]
Also im Nenner steht [mm] \xi_{k} [/mm] multipliziert mit dem k-ten Einheitsvektor.

Die rechte Seite lautet: [mm] D_{k}f(y^{(k)}). [/mm]
Lässt man [mm] e_{k} [/mm] weg und multipliziert mit [mm] \xi_{k}, [/mm] so erhält man die Darstellung.

Wieso kann man den k-ten Einheitsvektor einfacher weglassen?
Bzw. darf im Nenner beim Mittelwertsatz überhaupt ein Vektor stehen?

Schaut man sich den Mittelwertsatz einer Veränderlicher an, so lautet dieser: Sei a < b und f:[a,b] [mm] \to \IR [/mm] eine stetige Funktion, die in ]a,b[ differenzierbar ist. Dann [mm] \exists \xi \in [/mm] ]a,b[ sodass

[mm] \frac{f(b) - f(a)}{b-a} [/mm] = [mm] f'(\xi). [/mm]


2) Wieso folgt aus [mm] \lim_{\xi \to 0}D_{k}f(y^{(k)}) [/mm] = [mm] D_{k}f(x) [/mm] = [mm] a_{k}, [/mm] dass auch
[mm] \lim_{\xi \to 0} \frac{\phi(\xi)}{||\xi||} [/mm] = 0?

[mm] \lim_{\xi \to 0}D_{k}f(y^{(k)}) [/mm] = [mm] a_{k} [/mm] zeigt doch eigentlich nur, dass [mm] \lim_{\xi \to 0} \phi(\xi) [/mm] = 0 ist, aber das müsste doch nicht zwingend bedeuten, dass [mm] \phi(\xi) [/mm] = [mm] o(||\xi||) [/mm] ?


Wie immer wäre ich euch sehr dankbar wenn ihr mir helfen könntet!

Viele Grüße,
X3nion

        
Bezug
Satz über totale Diff.barkeit: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:20 Mo 04.12.2017
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                
Bezug
Satz über totale Diff.barkeit: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 16:20 Mo 04.12.2017
Autor: X3nion

Guten Tag zusammen! :-)

Da meine Frage nicht innerhalb des Fälligkeitszeitraumes beantwortet wurde, stelle ich sie nochmal in der Hoffnung, dass mir jemand helfen kann.


Ich verstehe ein paar Sachen bei folgendem Satz über die totale Differenzierbarkeit nicht:

Satz Sei U  [mm] \subset \IR^{n} [/mm]  offen und f: U  [mm] \to \IR [/mm]  eine in U partiell differenzierbare Funktion. Alle partiellen Ableitungen  [mm] D_{k}f [/mm]  seien im Punkt x  [mm] \in [/mm]  U stetig. Dann ist f in x total differenzierbar.

Beweis

Da U offen ist, gibt es ein  [mm] \delta [/mm]  > 0, so dass die Kugel um x mit Radius  [mm] \delta [/mm]  ganz in U liegt. Sei nun  [mm] \xi [/mm]  =  [mm] \{\xi_{1}, ..., \xi_{n}\} \in \IR^{n} [/mm]  ein Vektor mit  [mm] ||\xi|| [/mm]  <  [mm] \delta. [/mm]  Wir definieren Punkte

[mm] z^{(k)} [/mm]  := x +  [mm] \summe_{i=1}^{k} \xi_{i}e_{i}, [/mm]  k = 0, ..., n.

Es gilt  [mm] z^{(0)} [/mm]  = x und  [mm] z^{(n)} [/mm]  = x +  [mm] \xi. [/mm]  Die Punkte  [mm] z^{(k-1)} [/mm]  und  [mm] z^{(k)} [/mm]  unterscheiden sich nur in der k-ten Koordinate. Nach dem Mittelwertsatz für differenzierbare Funktionen einer Veränderlichen gibt es deshalb ein  [mm] \theta_{k} \in [/mm]  [0,1], so dass

(*)  [mm] f(z^{(k)}) [/mm]  -  [mm] f(z^{(k-1)}) [/mm]  =  [mm] D_{k}f(y^{(k)})\xi_{k} [/mm]  mit  [mm] y^{(k)} [/mm]  :=  [mm] z^{(k-1)} [/mm]  +  [mm] \theta_{k}\xi_{k}e_{k}. [/mm]

Daraus folgt

f(x +  [mm] \xi) [/mm]   - f(x) =  [mm] \summe_{k=1}^{n} D_{k}f(y^{(k)})\xi_{k}. [/mm]

Setzt man  [mm] a_{k} [/mm]  :=  [mm] D_{k}f(x), [/mm]  so gilt

f(x +  [mm] \xi) [/mm]  = f(x) +  [mm] \summe_{k=1}^{n}a_{k}\xi_{k} [/mm]  +  [mm] \phi(\xi) [/mm]

mit  [mm] \phi(\xi) [/mm]  =  [mm] \summe_{k=1}^{n} (D_{k}f(y^{(k)}) [/mm]  -  [mm] a_{k})\xi_{k}. [/mm]

Für  [mm] \xi \to [/mm]  0 strebt  [mm] y^{(k)} [/mm]  gegen x, also folgt aus der Stetigkeit der partiellen Ableitungen  [mm] \lim_{\xi \to 0}D_{k}f(y^{(k)}) [/mm]  =  [mm] D_{k}f(x) [/mm]  =  [mm] a_{k}, [/mm]  woraus schlussendlich folgt:

[mm] \lim_{\xi \to 0} \frac{\phi(\xi)}{||\xi||}, [/mm]  q.e.d.


------

Meine 2 Fragen wären nun:

1) Mir ist bewusst, dass man den Mittelwertsatz anwenden kann, da man die Funktion einer Veränderlicher betrachtet in Form der k-ten Koordinate, innerhalb derer sich ja  [mm] z^{(k)} [/mm]  und  [mm] z^{(k-1)} [/mm]  unterscheiden, alle anderen Koordinaten sind gleich. Die Notation ist mir allerdings nicht ganz klar.
Die linke Seite von (*) müsste ja lauten:

[mm] \frac{f(z^{(k)}) - f{(z^{(k-1)})}}{z^{(k)} - z^{(k-1)}} [/mm]  =  [mm] \frac{f(z^{(k)}) - f(z^{(k-1)})}{\xi_{k}e_{k}} [/mm]
Also im Nenner steht  [mm] \xi_{k} [/mm]  multipliziert mit dem k-ten Einheitsvektor.

Die rechte Seite lautet:  [mm] D_{k}f(y^{(k)}). [/mm]
Lässt man  [mm] e_{k} [/mm]  weg und multipliziert mit  [mm] \xi_{k}, [/mm]  so erhält man die Darstellung.

Wieso kann man den k-ten Einheitsvektor einfach so weglassen?
Bzw. darf im Nenner beim Mittelwertsatz überhaupt ein Vektor stehen?
Der Term [mm] z^{(k)} [/mm] - [mm] z^{(k-1)} [/mm] führt ja auf [mm] \xi_{k}e_{k} [/mm]

Schaut man sich den Mittelwertsatz einer Veränderlicher an, so lautet dieser: Sei a < b und f:[a,b]  [mm] \to \IR [/mm]  eine stetige Funktion, die in ]a,b[ differenzierbar ist. Dann  [mm] \exists \xi \in [/mm]  ]a,b[ sodass

[mm] \frac{f(b) - f(a)}{b-a} [/mm]  =  [mm] f'(\xi). [/mm]


2) Wieso folgt aus  [mm] \lim_{\xi \to 0}D_{k}f(y^{(k)}) [/mm]  =  [mm] D_{k}f(x) [/mm]  =  [mm] a_{k}, [/mm]  dass auch
[mm] \lim_{\xi \to 0} \frac{\phi(\xi)}{||\xi||} [/mm]  = 0?

[mm] \lim_{\xi \to 0}D_{k}f(y^{(k)}) [/mm]  =  [mm] a_{k} [/mm]  zeigt doch eigentlich nur, dass  [mm] \lim_{\xi \to 0} \phi(\xi) [/mm]  = 0 ist, aber das müsste doch nicht zwingend bedeuten, dass  [mm] \phi(\xi) [/mm]  =  [mm] o(||\xi||) [/mm]  ?


Wie immer wäre ich euch sehr dankbar wenn ihr mir helfen könntet!

Viele Grüße,
X3nion

Bezug
                        
Bezug
Satz über totale Diff.barkeit: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:20 Fr 08.12.2017
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                                
Bezug
Satz über totale Diff.barkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:56 Fr 08.12.2017
Autor: X3nion

Guten Tag zusammen! :-)

Da meine Frage nicht innerhalb des Fälligkeitszeitraumes beantwortet wurde, stelle ich sie nochmal in der Hoffnung, dass mir jemand helfen kann.


Ich verstehe ein paar Sachen bei folgendem Satz über die totale Differenzierbarkeit nicht:

Satz Sei U  [mm] \subset \IR^{n} [/mm]  offen und f: U  [mm] \to \IR [/mm]  eine in U partiell differenzierbare Funktion. Alle partiellen Ableitungen  [mm] D_{k}f [/mm]  seien im Punkt x  [mm] \in [/mm]  U stetig. Dann ist f in x total differenzierbar.

Beweis

Da U offen ist, gibt es ein  [mm] \delta [/mm]  > 0, so dass die Kugel um x mit Radius  [mm] \delta [/mm]  ganz in U liegt. Sei nun  [mm] \xi [/mm]  =  [mm] \{\xi_{1}, ..., \xi_{n}\} \in \IR^{n} [/mm]  ein Vektor mit  [mm] ||\xi|| [/mm]  <  [mm] \delta. [/mm]  Wir definieren Punkte

[mm] z^{(k)} [/mm]  := x +  [mm] \summe_{i=1}^{k} \xi_{i}e_{i}, [/mm]  k = 0, ..., n.

Es gilt  [mm] z^{(0)} [/mm]  = x und  [mm] z^{(n)} [/mm]  = x +  [mm] \xi. [/mm]  Die Punkte  [mm] z^{(k-1)} [/mm]  und  [mm] z^{(k)} [/mm]  unterscheiden sich nur in der k-ten Koordinate. Nach dem Mittelwertsatz für differenzierbare Funktionen einer Veränderlichen gibt es deshalb ein  [mm] \theta_{k} \in [/mm]  [0,1], so dass

(*)  [mm] f(z^{(k)}) [/mm]  -  [mm] f(z^{(k-1)}) [/mm]  =  [mm] D_{k}f(y^{(k)})\xi_{k} [/mm]  mit  [mm] y^{(k)} [/mm]  :=  [mm] z^{(k-1)} [/mm]  +  [mm] \theta_{k}\xi_{k}e_{k}. [/mm]

Daraus folgt

f(x +  [mm] \xi) [/mm]   - f(x) =  [mm] \summe_{k=1}^{n} D_{k}f(y^{(k)})\xi_{k}. [/mm]

Setzt man  [mm] a_{k} [/mm]  :=  [mm] D_{k}f(x), [/mm]  so gilt

f(x +  [mm] \xi) [/mm]  = f(x) +  [mm] \summe_{k=1}^{n}a_{k}\xi_{k} [/mm]  +  [mm] \phi(\xi) [/mm]

mit  [mm] \phi(\xi) [/mm]  =  [mm] \summe_{k=1}^{n} (D_{k}f(y^{(k)}) [/mm]  -  [mm] a_{k})\xi_{k}. [/mm]

Für  [mm] \xi \to [/mm]  0 strebt  [mm] y^{(k)} [/mm]  gegen x, also folgt aus der Stetigkeit der partiellen Ableitungen  [mm] \lim_{\xi \to 0}D_{k}f(y^{(k)}) [/mm]  =  [mm] D_{k}f(x) [/mm]  =  [mm] a_{k}, [/mm]  woraus schlussendlich folgt:

[mm] \lim_{\xi \to 0} \frac{\phi(\xi)}{||\xi||}, [/mm]  q.e.d.


------

Meine 2 Fragen wären nun:

1) Mir ist bewusst, dass man den Mittelwertsatz anwenden kann, da man die Funktion einer Veränderlicher betrachtet in Form der k-ten Koordinate, innerhalb derer sich ja  [mm] z^{(k)} [/mm]  und  [mm] z^{(k-1)} [/mm]  unterscheiden, alle anderen Koordinaten sind gleich. Die Notation ist mir allerdings nicht ganz klar.
Die linke Seite von (*) müsste ja lauten:

[mm] \frac{f(z^{(k)}) - f{(z^{(k-1)})}}{z^{(k)} - z^{(k-1)}} [/mm]  =  [mm] \frac{f(z^{(k)}) - f(z^{(k-1)})}{\xi_{k}e_{k}} [/mm]
Also im Nenner steht  [mm] \xi_{k} [/mm]  multipliziert mit dem k-ten Einheitsvektor.

Die rechte Seite lautet:  [mm] D_{k}f(y^{(k)}). [/mm]
Lässt man  [mm] e_{k} [/mm]  weg und multipliziert mit  [mm] \xi_{k}, [/mm]  so erhält man die Darstellung.

Wieso kann man den k-ten Einheitsvektor einfach so weglassen?
Bzw. darf im Nenner beim Mittelwertsatz überhaupt ein Vektor stehen?
Der Term [mm] z^{(k)} [/mm] - [mm] z^{(k-1)} [/mm] führt ja auf [mm] \xi_{k}e_{k} [/mm]

Schaut man sich den Mittelwertsatz einer Veränderlicher an, so lautet dieser: Sei a < b und f:[a,b]  [mm] \to \IR [/mm]  eine stetige Funktion, die in ]a,b[ differenzierbar ist. Dann  [mm] \exists \xi \in [/mm]  ]a,b[ sodass

[mm] \frac{f(b) - f(a)}{b-a} [/mm]  =  [mm] f'(\xi). [/mm]


2) Wieso folgt aus  [mm] \lim_{\xi \to 0}D_{k}f(y^{(k)}) [/mm]  =  [mm] D_{k}f(x) [/mm]  =  [mm] a_{k}, [/mm]  dass auch
[mm] \lim_{\xi \to 0} \frac{\phi(\xi)}{||\xi||} [/mm]  = 0?

[mm] \lim_{\xi \to 0}D_{k}f(y^{(k)}) [/mm]  =  [mm] a_{k} [/mm]  zeigt doch eigentlich nur, dass  [mm] \lim_{\xi \to 0} \phi(\xi) [/mm]  = 0 ist, aber das müsste doch nicht zwingend bedeuten, dass  [mm] \phi(\xi) [/mm]  =  [mm] o(||\xi||) [/mm]  ?


Wie immer wäre ich euch sehr dankbar wenn ihr mir helfen könntet!

Viele Grüße,
X3nion

Bezug
                                        
Bezug
Satz über totale Diff.barkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:37 Sa 09.12.2017
Autor: donquijote


> Guten Tag zusammen! :-)
>
> Da meine Frage nicht innerhalb des Fälligkeitszeitraumes
> beantwortet wurde, stelle ich sie nochmal in der Hoffnung,
> dass mir jemand helfen kann.
>
>
> Ich verstehe ein paar Sachen bei folgendem Satz über die
> totale Differenzierbarkeit nicht:
>
> Satz Sei U  [mm]\subset \IR^{n}[/mm]  offen und f: U  [mm]\to \IR[/mm]  eine
> in U partiell differenzierbare Funktion. Alle partiellen
> Ableitungen  [mm]D_{k}f[/mm]  seien im Punkt x  [mm]\in[/mm]  U stetig. Dann
> ist f in x total differenzierbar.
>
> Beweis
>
> Da U offen ist, gibt es ein  [mm]\delta[/mm]  > 0, so dass die Kugel
> um x mit Radius  [mm]\delta[/mm]  ganz in U liegt. Sei nun  [mm]\xi[/mm]  =  
> [mm]\{\xi_{1}, ..., \xi_{n}\} \in \IR^{n}[/mm]  ein Vektor mit  
> [mm]||\xi||[/mm]  <  [mm]\delta.[/mm]  Wir definieren Punkte
>
> [mm]z^{(k)}[/mm]  := x +  [mm]\summe_{i=1}^{k} \xi_{i}e_{i},[/mm]  k = 0,
> ..., n.
>
> Es gilt  [mm]z^{(0)}[/mm]  = x und  [mm]z^{(n)}[/mm]  = x +  [mm]\xi.[/mm]  Die Punkte
>  [mm]z^{(k-1)}[/mm]  und  [mm]z^{(k)}[/mm]  unterscheiden sich nur in der
> k-ten Koordinate. Nach dem Mittelwertsatz für
> differenzierbare Funktionen einer Veränderlichen gibt es
> deshalb ein  [mm]\theta_{k} \in[/mm]  [0,1], so dass
>
> (*)  [mm]f(z^{(k)})[/mm]  -  [mm]f(z^{(k-1)})[/mm]  =  [mm]D_{k}f(y^{(k)})\xi_{k}[/mm]
>  mit  [mm]y^{(k)}[/mm]  :=  [mm]z^{(k-1)}[/mm]  +  [mm]\theta_{k}\xi_{k}e_{k}.[/mm]
>
> Daraus folgt
>
> f(x +  [mm]\xi)[/mm]   - f(x) =  [mm]\summe_{k=1}^{n} D_{k}f(y^{(k)})\xi_{k}.[/mm]
>
> Setzt man  [mm]a_{k}[/mm]  :=  [mm]D_{k}f(x),[/mm]  so gilt
>
> f(x +  [mm]\xi)[/mm]  = f(x) +  [mm]\summe_{k=1}^{n}a_{k}\xi_{k}[/mm]  +  
> [mm]\phi(\xi)[/mm]
>
> mit  [mm]\phi(\xi)[/mm]  =  [mm]\summe_{k=1}^{n} (D_{k}f(y^{(k)})[/mm]  -  
> [mm]a_{k})\xi_{k}.[/mm]
>
> Für  [mm]\xi \to[/mm]  0 strebt  [mm]y^{(k)}[/mm]  gegen x, also folgt aus
> der Stetigkeit der partiellen Ableitungen  [mm]\lim_{\xi \to 0}D_{k}f(y^{(k)})[/mm]
>  =  [mm]D_{k}f(x)[/mm]  =  [mm]a_{k},[/mm]  woraus schlussendlich folgt:
>
> [mm]\lim_{\xi \to 0} \frac{\phi(\xi)}{||\xi||},[/mm]  q.e.d.
>
>
> ------
>
> Meine 2 Fragen wären nun:
>
> 1) Mir ist bewusst, dass man den Mittelwertsatz anwenden
> kann, da man die Funktion einer Veränderlicher betrachtet
> in Form der k-ten Koordinate, innerhalb derer sich ja  
> [mm]z^{(k)}[/mm]  und  [mm]z^{(k-1)}[/mm]  unterscheiden, alle anderen
> Koordinaten sind gleich. Die Notation ist mir allerdings
> nicht ganz klar.
> Die linke Seite von (*) müsste ja lauten:
>
> [mm]\frac{f(z^{(k)}) - f{(z^{(k-1)})}}{z^{(k)} - z^{(k-1)}}[/mm]  =  
> [mm]\frac{f(z^{(k)}) - f(z^{(k-1)})}{\xi_{k}e_{k}}[/mm]
> Also im Nenner steht  [mm]\xi_{k}[/mm]  multipliziert mit dem k-ten
> Einheitsvektor.
>
> Die rechte Seite lautet:  [mm]D_{k}f(y^{(k)}).[/mm]
> Lässt man  [mm]e_{k}[/mm]  weg und multipliziert mit  [mm]\xi_{k},[/mm]  so
> erhält man die Darstellung.
>
> Wieso kann man den k-ten Einheitsvektor einfach so
> weglassen?
> Bzw. darf im Nenner beim Mittelwertsatz überhaupt ein
> Vektor stehen?
> Der Term [mm]z^{(k)}[/mm] - [mm]z^{(k-1)}[/mm] führt ja auf [mm]\xi_{k}e_{k}[/mm]
>
> Schaut man sich den Mittelwertsatz einer Veränderlicher
> an, so lautet dieser: Sei a < b und f:[a,b]  [mm]\to \IR[/mm]  eine
> stetige Funktion, die in ]a,b[ differenzierbar ist. Dann  
> [mm]\exists \xi \in[/mm]  ]a,b[ sodass
>
> [mm]\frac{f(b) - f(a)}{b-a}[/mm]  =  [mm]f'(\xi).[/mm]

Hallo,
das kann man auch schreiben als [mm]g(b)-g(a)=g'(y)(b-a)[/mm]
Oben werden bei f alle Variablen bis auf [mm]x_k[/mm] als Konstanten betrachtet, so dass eine Funktion in einer Variablen übrig bleibt, auf die der MWS in der von mir geschriebenen Form angewandt wird [mm] (x_k [/mm] nimmt die Rolle von a ein, [mm]x_k+\xi_k[/mm] die von b.

>
>
> 2) Wieso folgt aus  [mm]\lim_{\xi \to 0}D_{k}f(y^{(k)})[/mm]  =  
> [mm]D_{k}f(x)[/mm]  =  [mm]a_{k},[/mm]  dass auch
> [mm]\lim_{\xi \to 0} \frac{\phi(\xi)}{||\xi||}[/mm]  = 0?
>
> [mm]\lim_{\xi \to 0}D_{k}f(y^{(k)})[/mm]  =  [mm]a_{k}[/mm]  zeigt doch
> eigentlich nur, dass  [mm]\lim_{\xi \to 0} \phi(\xi)[/mm]  = 0 ist,
> aber das müsste doch nicht zwingend bedeuten, dass  
> [mm]\phi(\xi)[/mm]  =  [mm]o(||\xi||)[/mm]  ?

Betrachte [mm](D_{k}f(y^{(k)})-a_{k})\xi_{k}[/mm] für festes k.
Der Klammerausdruck strebt gegen 0 für [mm]\xi\to 0[/mm]. Wegen [mm]|\xi_k|\le\|\xi\|[/mm] folgt dann
[mm]\lim_{\xi\to 0}\frac{1}{\|\xi\|}(D_{k}f(y^{(k)})-a_{k})\xi_{k}=0.[/mm]

>
>
> Wie immer wäre ich euch sehr dankbar wenn ihr mir helfen
> könntet!
>
> Viele Grüße,
> X3nion  


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Satz über totale Diff.barkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:12 Sa 09.12.2017
Autor: X3nion

Guten Abend donquijote und vielen Dank,

Punkt 2) ist mir nun klar geworden.

Punkt 1) leider immer noch nicht:

Es steht ja im Beweis, [mm] f(z^{(k)}) [/mm]  -  [mm] f(z^{(k-1)}) [/mm]  =  [mm] D_{k}f(y^{(k)})\xi_{k}. [/mm]

Damit die von dir vorgestellte Form g(b)-g(a)=g'(y)(b-a) erfüllt ist, müsste ja mit b = [mm] x_k+\xi_k, [/mm] a = [mm] x_k [/mm] ja für die linke Seite gelten: [mm] g(x_{k}+\xi_{k}) [/mm] - [mm] g(x_{k}), [/mm] tatsächlich steht da ja aber da: [mm] g(z^{(k)}) [/mm]  -  [mm] g(z^{(k-1)}), [/mm] was ja gleichbedeutend ist mit:

g(x + [mm] \summe_{i=1}^{k}\xi_{i}e_{i})) [/mm] - g(x + [mm] \summe_{i=1}^{k-1}\xi_{i}e_{i})) [/mm]

Wieso ist das dasselbe?


Viele Grüße,
X3nion

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Satz über totale Diff.barkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:25 Sa 09.12.2017
Autor: donquijote


> Guten Abend donquijote und vielen Dank,
>  
> Punkt 2) ist mir nun klar geworden.
>  
> Punkt 1) leider immer noch nicht:
>  
> Es steht ja im Beweis, [mm]f(z^{(k)})[/mm]  -  [mm]f(z^{(k-1)})[/mm]  =  
> [mm]D_{k}f(y^{(k)})\xi_{k}.[/mm]
>  
> Damit die von dir vorgestellte Form g(b)-g(a)=g'(y)(b-a)
> erfüllt ist, müsste ja mit b = [mm]x_k+\xi_k,[/mm] a = [mm]x_k[/mm] ja für
> die linke Seite gelten: [mm]g(x_{k}+\xi_{k})[/mm] - [mm]g(x_{k}),[/mm]
> tatsächlich steht da ja aber da: [mm]g(z^{(k)})[/mm]  -  
> [mm]g(z^{(k-1)}),[/mm] was ja gleichbedeutend ist mit:
>  
> g(x + [mm]\summe_{i=1}^{k}\xi_{i}e_{i}))[/mm] - g(x +
> [mm]\summe_{i=1}^{k-1}\xi_{i}e_{i}))[/mm]
>  
> Wieso ist das dasselbe?

Hallo nochmal,
es paast mit [mm]g(t)=f(x_1+\xi_1,...,x_{k-1}+\xi_{k-1},t,x_{k+1},...,x_n)[/mm], wobei alle Komponenten außer der k-ten als konstant betrachtet werden.

>  
>
> Viele Grüße,
>  X3nion


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Satz über totale Diff.barkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:09 Mo 11.12.2017
Autor: X3nion

Hallo donquijote,

vielen Dank dir, mir ist es nun klar geworden!

Viele Grüße,
X3nion

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