Satz v. Cayley Hamilton,Matrix < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:19 Sa 18.06.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Wir hatten schnell schnell den Satz von Cayley Hamilton:
Jede Matrix A ist eine Lösung ihres charakteristischen Polynoms.
[mm] A^{n} [/mm] + [mm] a_{1}*A^{n-1} [/mm] + [mm] a_{2}*A^{n-2} [/mm] + ... + [mm] a_{n}*I [/mm] = 0
Die Koeffizienten [mm] a_{i} [/mm] folgen ja aus [mm] det(I*\lambda [/mm] - A) = 0 bzw. werden selbst wieder durch Einträge in der Matrix A bestimmt. Anstelle des Lambdas wird ja jetzt A eingesetzt.
Was ich mich nun aus Interesse frage ist, gibt es noch andere Matrizen, die auch die Gleichung erfüllen?(Und selbst natürlich eben nicht dieses charakteristische Polynom liefern) Ich bin mir da nicht so sicher. Wenn ja, was kann man über diese Matritzen sagen?
Kann mir jemand helfen?
Grüsse
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> Hallo,
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> Wir hatten schnell schnell den Satz von Cayley Hamilton:
> Jede Matrix A ist eine Lösung ihres charakteristischen
> Polynoms.
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> [mm]A^{n}[/mm] + [mm]a_{1}*A^{n-1}[/mm] + [mm]a_{2}*A^{n-2}[/mm] + ... + [mm]a_{n}*I[/mm] = 0
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> Die Koeffizienten [mm]a_{i}[/mm] folgen ja aus [mm]det(I*\lambda[/mm] - A) =
> 0 bzw. werden selbst wieder durch Einträge in der Matrix A
> bestimmt. Anstelle des Lambdas wird ja jetzt A eingesetzt.
> Was ich mich nun aus Interesse frage ist, gibt es noch
> andere Matrizen, die auch die Gleichung erfüllen?
Hallo,
sämtliche Matrizen, deren Minimalpolynom das Polynom [mm] p(x)=a_nx^n+...+a_1x+a_0 [/mm] teilt, ergeben in p eingesetzt die Nullmatrix.
Gruß v. Angela
> (Und
> selbst natürlich eben nicht dieses charakteristische
> Polynom liefern) Ich bin mir da nicht so sicher. Wenn ja,
> was kann man über diese Matritzen sagen?
> Kann mir jemand helfen?
>
>
> Grüsse
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:04 Sa 18.06.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Danke. Du hast mir ja auch übrigens mal wegen der Jordanform geholfen. Das heisst wie wären dann wieder bei der Jordan-Normalform...? Es würden dann also alle Matrizen die Bedingung erfüllen, welche aus diesem Minimalpolynom bestehen, also alle möglichen Minimalpolynome finden und darauf die Jordanmatrix machen?
Gruss
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