Satz vom abgeschlossenen Graph < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:46 Mi 28.09.2011 | | Autor: | kalor |
Guten Tag
Ich habe ein Verständnisproblem:
Sei $\ A : D(A) [mm] \subset [/mm] X [mm] \to [/mm] Y $ eine lineare Abbildung zwischen zwei Banachräumen, wobei $\ D(A) $ der Definitionsbereich von $\ A $ ist.
Dann heisst $\ A $ abgeschlossen, falls der Graph von $\ A $ in $\ X [mm] \times [/mm] Y$ abgeschlossen ist, insbesondere also:
$\ [mm] (x_n)_{n\in \IN} \subset [/mm] D(A) [mm] \to [/mm] x, [mm] Ax_n \to [/mm] y [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] D(A), Ax=y $.
Nun sagt mir der Satz vom abgeschlossenen Graphen ja (ich kenne ihn in dieser Version):
$\ A : X [mm] \to [/mm] Y $ abgeschlossen genau dann wenn $\ A $ beschränkt ist (also stetig).
Hierbei ist ja wichtig, dass $\ D(A) =X $ ist, oder? Ich habe jetzt aber Versionen dieses Satzes gesehen, die folgendes Sagen:
$\ A : D(A) [mm] \subset [/mm] X [mm] \to [/mm] Y $ ein abgeschlossener Operator, dann sind folgende Dinge gleich:
1. $\ A $ ist beschränkt
2. $\ D(A) $ ist abgeschlossen in X.
Was ich jetzt nicht verstehe sind folgende zwei Dinge:
1. Wenn $\ A $ ein abgeschlossener Operator ist, dann ist doch $\ D(A) $ sowieso schon abgeschlossen (siehe Definition oben von abgeschlossenem Operator über Folgenkriterium).
2. Wie kann ich aus der Ursprünglichen Form ($\ A: X [mm] \to [/mm] Y $ beschränkt genau dann wenn $\ A $ abgeschlossen ) die zweite Version zeigen?
mfg
KaloR
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:04 Mi 28.09.2011 | | Autor: | fred97 |
> Guten Tag
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> Ich habe ein Verständnisproblem:
> Sei [mm]\ A : D(A) \subset X \to Y[/mm] eine lineare Abbildung
> zwischen zwei Banachräumen, wobei [mm]\ D(A)[/mm] der
> Definitionsbereich von [mm]\ A[/mm] ist.
>
> Dann heisst [mm]\ A[/mm] abgeschlossen, falls der Graph von [mm]\ A[/mm] in [mm]\ X \times Y[/mm]
> abgeschlossen ist, insbesondere also:
>
> [mm]\ (x_n)_{n\in \IN} \subset D(A) \to x, Ax_n \to y \Rightarrow x \in D(A), Ax=y [/mm].
>
> Nun sagt mir der Satz vom abgeschlossenen Graphen ja (ich
> kenne ihn in dieser Version):
>
> [mm]\ A : X \to Y[/mm] abgeschlossen genau dann wenn [mm]\ A[/mm] beschränkt
> ist (also stetig).
>
> Hierbei ist ja wichtig, dass [mm]\ D(A) =X[/mm] ist, oder?
Entscheidend ist, dass D(A) ein abgeschlossener Unterraum von X ist. Dann ist D(A) selbst ein Banachraum.
> Ich habe
> jetzt aber Versionen dieses Satzes gesehen, die folgendes
> Sagen:
>
> [mm]\ A : D(A) \subset X \to Y[/mm] ein abgeschlossener Operator,
> dann sind folgende Dinge gleich:
>
> 1. [mm]\ A[/mm] ist beschränkt
> 2. [mm]\ D(A)[/mm] ist abgeschlossen in X.
>
> Was ich jetzt nicht verstehe sind folgende zwei Dinge:
>
> 1. Wenn [mm]\ A[/mm] ein abgeschlossener Operator ist, dann ist doch
> [mm]\ D(A)[/mm] sowieso schon abgeschlossen (siehe Definition oben
> von abgeschlossenem Operator über Folgenkriterium).
Nein. Obige Def. besagt: wenn [mm] (x_n) [/mm] eine Folge in D(A) ist , die gegen ein x [mm] \in [/mm] X konvergiert und wenn [mm] (Ax_n) [/mm] gegen y konv. , dann ist x [mm] \in [/mm] D(A) und Ax=y.
Aber eine beliebige konvergente Folge aus D(A) wird ihren Grenzwert i.a. nicht in D(A) haben.
> 2. Wie kann ich aus der Ursprünglichen Form ([mm]\ A: X \to Y[/mm]
> beschränkt genau dann wenn [mm]\ A[/mm] abgeschlossen ) die zweite
> Version zeigen?
Sei $ \ A : D(A) [mm] \subset [/mm] X [mm] \to [/mm] Y $ ein abgeschlossener Operator.
Beh.:
$ \ A $ ist beschränkt [mm] \gdw [/mm] $ \ D(A) $ ist abgeschlossen in X.
Beweis: [mm] "\Leftarrow": [/mm] D(A) ist abgeschlossen, also ist D(A) ein Banachraum. Die Beschränktheit von A folgt dann aus dem Satz vom abgeschlossenen Graphen.
[mm] "\Rightarrow": [/mm] Sei [mm] (x_n) [/mm] eine konvergente Folge aus D(A) und x ihr Limes. Zu zeigen ist: x [mm] \in [/mm] D(A).
Mit der Beschränktheit von A hat man:
[mm] $||Ax_n-Ax_m|| \le ||A||*||x_n-x_m|| [/mm] für alle n,m [mm] \in \IN.
[/mm]
Folglich ist [mm] (Ax_n) [/mm] eine Cauchyfolge in Y. Da Y ein Banachraum ist, ist [mm] (Ax_n) [/mm] in Y konvergent. Sei y der Limes von [mm] (Ax_n).
[/mm]
Wir haben also: [mm] x_n \to [/mm] x und [mm] Ax_n \to [/mm] y. Die Abgeschlossenheit von A liefert nun: x [mm] \in [/mm] D(A) ( und Ax=y).
Q.E.D.
FRED
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> mfg
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> KaloR
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