Satz von Cayley-Hamilton < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] A\in M_{5x5}(\IR). [/mm] Das charakteristische Polynom von A sei [mm] X_A(x)=-x^5-2x^4+x^2-x-1.
[/mm]
Berechne [mm] A^{-1} [/mm] als polynomiellen Ausdruck in A.
Benutze den Satz von Cayley Hamilton. |
Kann mir jemand erklären wie man das macht? Ich hab absolut keine Ahnung wie ich das mit dem Satz machen kann.
Das Einzige was ich dazu weiß, ich muss für X A einsetzen und so umstellen, dass ich [mm] A^{-1} [/mm] erhalte.
[mm] -A^5-2A^4+A^2-A-E=0
[/mm]
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:58 So 18.03.2012 | | Autor: | hippias |
Stelle die Gleichung nach $E$ um und klammere $A$ aus. Mache Dir klar, dass der polynomielle - schoenes Wort,das - Ausdruck in der Klammer die Inverse von $A$ sein muss.
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Okay...also:
[mm] X_A(x)=-x^5-2x^4+x^2-x-1
[/mm]
[mm] 0=-A^5-2A^4+A^2-A-E
[/mm]
[mm] E=A(-A^4-2A^3-A-1)
[/mm]
also ist [mm] A^{-1}=-x^4-2x^3-x-1?
[/mm]
Oder wie formuliert man das richtig?
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:14 So 18.03.2012 | | Autor: | hippias |
> Okay...also:
>
> [mm]X_A(x)=-x^5-2x^4+x^2-x-1[/mm]
>
> [mm]0=-A^5-2A^4+A^2-A-E[/mm]
> [mm]E=A(-A^4-2A^3-A-1)[/mm]
Bis hierhin - wobei $1= E$ - ist alles schoen ...
>
> also ist [mm]A^{-1}=-x^4-2x^3-x-1?[/mm]
... aber hier solltest Du nocheinmal scharf drueber gucken ...
>
> Oder wie formuliert man das richtig?
>
> MfG
> Mathegirl
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Sorry, hab bloß vergessen 1=E zu schreiben.
> > also ist [mm]A^{-1}=-x^4-2x^3-x-1?[/mm]
> ... aber hier solltest Du nocheinmal scharf drueber gucken
Muss ich das mit A formulieren? Ich weiß nicht wie ich das [mm] A^{-1} [/mm] schreibe.
[mm] A^{-1}=-A^4-2A^3-A-E [/mm] ??
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:22 So 18.03.2012 | | Autor: | hippias |
> Muss ich das mit A formulieren? Ich weiß nicht wie ich das
> [mm]A^{-1}[/mm] schreibe.
>
> [mm]A^{-1}=-A^4-2A^3-A-E[/mm] ??
>
Richtig!
>
> MfG
> Mathegirl
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Das wars schon??? Dann hab ich es verstanden! Danke fürs erklären!!
Dazu hab ich noch ein Beispiel:
[mm] X_A(x)=(-1)^nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+...+a_1X-1\in \IR[x]
[/mm]
[mm] 0=(-1)^nA^n+a_{n-1}A^{n-1}+...+a_1A-E
[/mm]
[mm] E=(-1)^nA^n+a_{n-1}A^{n-1}+...+a_1A
[/mm]
[mm] E=A((-1)^nA^{n-1}+a_{n-1}A^{n-2}+...+a_1+E)
[/mm]
[mm] A^{-1}=(-1)^nA^{n-1}+a_{n-1}A^{n-2}+...+a_1+E
[/mm]
Stimmt das soweit?
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:49 Di 20.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Das wars schon???
Ja
> Dann hab ich es verstanden! Danke fürs
> erklären!!
>
> Dazu hab ich noch ein Beispiel:
>
> [mm]X_A(x)=(-1)^nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+...+a_1X-1\in \IR[x][/mm]
>
> [mm]0=(-1)^nA^n+a_{n-1}A^{n-1}+...+a_1A-E[/mm]
> [mm]E=(-1)^nA^n+a_{n-1}A^{n-1}+...+a_1A[/mm]
> [mm]E=A((-1)^nA^{n-1}+a_{n-1}A^{n-2}+...+a_1+E)[/mm]
>
> [mm]A^{-1}=(-1)^nA^{n-1}+a_{n-1}A^{n-2}+...+a_1+E[/mm]
>
> Stimmt das soweit?
Ja
FRED
>
> MfG
> Mathegirl
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:04 Do 22.03.2012 | | Autor: | davux |
Kann man es nicht auch noch allgemeiner machen?
$ [mm] \chi_A(X)=(-1)^nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+...+a_1X+a_0\in \IR[X] [/mm] $,
D.h. [mm] a_0 [/mm] anstelle von -1.
Somit nach Cayley-Hamilton:
[mm] $0=(-1)^n A^n+a_{n-1}A^{n-1}+...+a_1 A+a_0 E_n$
[/mm]
[mm] $\gdw -a_0 E_n=(-1)^n A^n+a_{n-1}A^{n-1}+...+a_1 [/mm] A$
[mm] $\gdw -a_0 E_n=A((-1)^{n} A^{n-1}+a_{n-1}A^{n-2}+...+a_1 E_n)$
[/mm]
[mm] $\gdw A^{-1}(-a_0 E_n)=A^{-1} A((-1)^{n} A^{n-1}+a_{n-1}A^{n-2}+...+a_1 E_n)$
[/mm]
[mm] $\gdw A^{-1}(-a_0 E_n)=(-1)^{n} A^{n-1}+a_{n-1}A^{n-2}+...+a_1 E_n$
[/mm]
[mm] $\gdw A^{-1}(-a_0 E_n)(-a_0 E_n)^{-1}=((-1)^{n} A^{n-1}+a_{n-1}A^{n-2}+...+a_1 E_n)(-a_0 E_n)^{-1}$
[/mm]
[mm] $\gdw A^{-1}=((-1)^{n} A^{n-1}+a_{n-1}A^{n-2}+...+a_1 E_n)(-a_0 E_n)^{-1}$
[/mm]
Sollte bis hierhin schon fertig sein (?).
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> Kann man es nicht auch noch allgemeiner machen?
>
> [mm]\chi_A(X)=(-1)^nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+...+a_1X+a_0\in \IR[X] [/mm],
>
> D.h. [mm]a_0[/mm] anstelle von -1.
Hallo,
daß [mm] a_0\not=0 [/mm] müßte garantiert sein, z.B. durch eine entsprechende Anmerkung.
(Wenn [mm] a_0\not=0, [/mm] dann ist 0 kein Eigenwert, und damit ist die Matrix invertierbar.)
In dem Fall ist
> [mm] $0=(-1)^n A^n+a_{n-1}A^{n-1}+...+a_1 A+a_0 E_n$
[/mm]
<==>(multiplizieren mit [mm] a_0^{-1}
[/mm]
[mm] $0=(-1)^n a_0^{-1}A^n+a_{n-1}a_0^{-1}A^{n-1}+...+a_1a_0^{-1} [/mm] A+ [mm] E_n$,
[/mm]
und man ist im wesentlichen wieder bei der Aufgabe von zuvor.
LG Angela
>
> Somit nach Cayley-Hamilton:
>
> [mm]0=(-1)^n A^n+a_{n-1}A^{n-1}+...+a_1 A+a_0 E_n[/mm]
> [mm]\gdw -a_0 E_n=(-1)^n A^n+a_{n-1}A^{n-1}+...+a_1 A[/mm]
>
> [mm]\gdw -a_0 E_n=A((-1)^{n} A^{n-1}+a_{n-1}A^{n-2}+...+a_1 E_n)[/mm]
>
> [mm]\gdw A^{-1}(-a_0 E_n)=A^{-1} A((-1)^{n} A^{n-1}+a_{n-1}A^{n-2}+...+a_1 E_n)[/mm]
>
> [mm]\gdw A^{-1}(-a_0 E_n)=(-1)^{n} A^{n-1}+a_{n-1}A^{n-2}+...+a_1 E_n[/mm]
>
> [mm]\gdw A^{-1}(-a_0 E_n)(-a_0 E_n)^{-1}=((-1)^{n} A^{n-1}+a_{n-1}A^{n-2}+...+a_1 E_n)(-a_0 E_n)^{-1}[/mm]
>
> [mm]\gdw A^{-1}=((-1)^{n} A^{n-1}+a_{n-1}A^{n-2}+...+a_1 E_n)(-a_0 E_n)^{-1}[/mm]
>
> Sollte bis hierhin schon fertig sein (?).
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 15:42 Sa 24.03.2012 | | Autor: | yangwar1 |
Es muss doch heißen:
[mm] A^{-1}=-A^4-2A^3+A-E
[/mm]
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