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| Aufgabe | Das Ziel dieser Aufgabe ist es den Satz von Cayley-Hamilton für obere Dreiecksmatrizen direkt zu beweisen. Der Satz von Caylay-Hamilton soll nicht verwendet werden.
Sei K ein Körper. Für $0\leq k \leq n$ sei $V_k$ der Unterraum $$V_k:=\left\{\vektor{a_1\\ \vdots \\ a_n} |a_i=0 \mbox{ für } i>k \right\}$$
von $K^{n\times 1}$
Für $0<k\leq n$ sei $\U_k\in K^{n\times n}$ eine obere Dreiecksmatrix deren $(k,k)$-ter Eintrag gleich null ist.
(a) Seien $0<k\leq n$ und $v\in V_k$. Zeigen Sie, dass $U_k*v\in V_{k-1}$.
(b) Zeigen Sie, dass das Produkt $$U_1*U_2*\hdots *U_{n-1}*U_n=0$$
ist.
(c) Sei A eine obere Dreiecksmatrix und $$\mathcal{X}_A(A)=0$$ gilt. |
Guten Tag,
ich habe mich gerade an dieser Aufgabe versucht und wollte meinen Lösungsversuch mal online stellen um Meinungen von euch zu hören, ob man das denn so machen kann.
Also Teilaufgabe a) habe ich folgendermaßen gelöst:
Sei $U_k:=\pmat{b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1(k-1)}&b_{1k}&b_{1(k+1)}&\cdots &b_{1n }\\ 0&b_{22}&\cdots &b_{2(k-1)}&b_{2k}&b_{2(k+1)}&\cdots &b_{2n }\\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots &\vdots &\vdots & & \vdots\\0 & 0& \cdots &b_{(k-1)(k-1)&b_{(k-1)k}&b_{(k-1)(k+1)}&\cdots &b_{(k-1)n }\\ 0 & 0& \cdots &0&0&b_{k(k+1)}&\cdots &b_{kn }\\ 0 & 0& \cdots &0&0&b_{(k+1)(k+1)}&\cdots &b_{(k+1)n }\\ \vdots & \vdots & &\vdots &\vdots &\vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots &0 &0 &0 &\cdots & b_{nn}}$
und $v:=\vektor{a_1\\a_2\\ \vdots \\ a_k \\ 0 \\ \vdots \\ 0}$
Somit:
$U_k * v=\vektor{\sum\limits_{i=1}^n{a_ib_{1i}}\\ \sum\limits_{i=2}^n{a_ib_{2i}\\ \vdots \\ \sum\limits_{i=k}^n{a_ib_{ki}}} \\ 0\\ \vdots \\ 0}\in V_{k-1}$
Somit wäre (a) schon mal bewiesen.
Für Teilaufgabe (b) und (c) habe ich vollständige Induktion verwendet:
Zu (b):
IA: für $n=1$:
$U_1=0$, da $0<k\leq 1$ und somit $k=1$ und deshalb $b_{11}=0$.
IV: Beh. stimmt für alle n
IS: Auf $n+1$:
$\underbrace{U_1*U_2*\hdots *U_n}_{=0}*U_{n+1}=0$
Somit wäre (b) bewiesen.
Zu (c):
Da $A$ obere Dreiecksmatrix, gilt: $\mathcal{X}_A(x)=\prod\limits_{i=1}^n{(x-b_{ii})}$
IA: n=1
Somit: $A:=b_{11}$
$\mathcal{X}_A(A)=(A-b_{11}*I)=(b_{11}-b_{11})=0$
Somit stimmt Beh. für n=1.
IV: Beh. stimmt für alle n
IS: Auf n+1:
$\mathcal{X}_A(A)=\prod\limits_{i=1}^{n+1}{(A-b_{ii})}=\underbrace{\prod\limits_{i=1}^{n}{(A-b_{ii})}}_{=0}*(A-b_{(n+1)(n+1)})=0$
Somit wäre auch (c) bewiesen.
kann man das so? machen?
Und noch eine Frage, warum folgt hieraus, dass der Satz von Cayley-Hamilton gilt? Wofür (a) und (b)?
(c) ist ja logisch.
Vielen vielen Dank,
lG
HugATree
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Mo 25.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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