Satz von Gauß < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei eine Fläche mit der Parametrisierung
[mm] \phi(r,v)=\vektor{r*cosv \\ rsinv \\ r} [/mm] mit [mm] D=[0,2]\times[0,2\pi]
[/mm]
Außerdem sei ein Vektorfeld gegeben durch
[mm] w(x,y,z)=\vektor{x^3 \\ x^2*y \\ -y^2*z}
[/mm]
a) Berechnen Sie den Fluss des Vektorfeldes durch die Fläche direkt, d.h. durch ein Oberflächenintegral
Hinweis: Beachten Sie, dass der Normalvektor nach außen zeigt.
b) Lösen Sie die Aufgabe über ein Volumenintegral mit dem Satz von Gauß |
a)
Bei Oberflächenintegrale für vektorfelder muss ich [mm] \phi_r(r,v)\times\phi_v(r,v) [/mm] statt [mm] |\phi_r(r,v)\times\phi_v(r,v)| [/mm] bestimmen richtig ?
(bitte diese Frage beantworten. Habe die erfahrung gemacht, dass zwischenfrage hier oft ignoriert werden)
[mm] \phi_r(r,v)\times\phi_v(r,v)=\vektor{-r*cosv \\ -r*sinv \\ r}
[/mm]
Damit der Normalvektor nach außen zeigt, muss gelten:
[mm] n=-(\phi_r(r,v)\times\phi_v(r,v))=\vektor{r*cosv \\ r*sinv \\ -r}
[/mm]
[mm] w(\phi(r,v))=\vektor{r^3*cos^3v \\ r^2*cos^2v*r*sinv \\ -r^2*sin^2v*r}
[/mm]
[mm] w(\phi(r,v))*n=r^4
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{2}{r^4drdv}=\bruch{64}{5}\pi
[/mm]
stimmt die Lösung?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:41 Mi 25.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sei eine Fläche mit der Parametrisierung
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> [mm]\phi(r,v)=\vektor{r*cosv \\ rsinv \\ r}[/mm] mit
> [mm]D=[0,2]\times[0,2\pi][/mm]
>
> Außerdem sei ein Vektorfeld gegeben durch
>
> [mm]w(x,y,z)=\vektor{x^3 \\ x^2*y \\ -y^2*z}[/mm]
>
> a) Berechnen Sie den Fluss des Vektorfeldes durch die
> Fläche direkt, d.h. durch ein Oberflächenintegral
>
> Hinweis: Beachten Sie, dass der Normalvektor nach außen
> zeigt.
>
> b) Lösen Sie die Aufgabe über ein Volumenintegral mit dem
> Satz von Gauß
>
> a)
>
> Bei Oberflächenintegrale für vektorfelder muss ich
> [mm]\phi_r(r,v)\times\phi_v(r,v)[/mm] statt
> [mm]|\phi_r(r,v)\times\phi_v(r,v)|[/mm] bestimmen richtig ?
> (bitte diese Frage beantworten. Habe die erfahrung
> gemacht, dass zwischenfrage hier oft ignoriert werden)
>
> [mm]\phi_r(r,v)\times\phi_v(r,v)=\vektor{-r*cosv \\ -r*sinv \\ r}[/mm]
>
> Damit der Normalvektor nach außen zeigt, muss gelten:
>
> [mm]n=-(\phi_r(r,v)\times\phi_v(r,v))=\vektor{r*cosv \\ r*sinv \\ -r}[/mm]
>
> [mm]w(\phi(r,v))=\vektor{r^3*cos^3v \\ r^2*sin^2v*r*sinv \\ -r^2*sin^2v*r}[/mm]
>
> [mm]w(\phi(r,v))*n=r^4[/mm]
Wie kommst Du darauf ?
FRED
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> [mm]\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{2}{r^4drdv}=\bruch{64}{5}\pi[/mm]
>
> stimmt die Lösung?
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> > [mm]w(\phi(r,v))*n=r^4[/mm]
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> Wie kommst Du darauf ?
[mm] w(\phi(r,v))*n=\vektor{r^3*cos^3v \\ r^2*cos^2v*r*sinv \\ -r^2*sin^2v*r}*\vektor{r*cosv \\ r*sinv \\ -r}=r^4*cos^4v+r^4cos^2v*sin^2v+r^4*sin^2v=r^4(cos^4v+cos^2v*sin^2v+sin^2v)
[/mm]
[mm] =r^4(cos^4v+cos^2v*(1-cos^2v)+sin^2v)=r^4(cos^4v+cos^2v-cos^4v+sin^2v)=r^4(cos^2v+sin^2v)=r^4
[/mm]
die beiden fragen im ersten beitrag sind noch offen
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:17 Mi 25.11.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
der Normalenvektor ist richtig, soweit ich nachgerechnet habe auch deine Rechnung.
Gruß leduart
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Die Fläche des körpers ist durch folgende Parametrisierung gegeben
> [mm]\phi(r,v)=\vektor{r*cosv \\ rsinv \\ r}[/mm] mit
> [mm]D=[0,2]\times[0,2\pi][/mm]
Diese Parametrisierung hat nur zwei variablen. Um das Volumenintegral anzuwenden, brauche ich aber eine Parametrisierung mit 3 variablen.
Was mache ich nun?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:40 Mi 25.11.2015 | | Autor: | chrisno |
Zuerst die Gegenfrage: warum heißt es nun "die Fläche eines Körpers"? Das steht am Anfang nicht da.
Ich denke, Du sollst die gegebene Fläche zu einem Körper erweitern, also einen Deckel darauf setzen.
Dann kannst Du das Volumenintegral berechnen. Damit das ganze Sinn macht und DU nun nur mit dem Satz von Gauss zum Ziel kommst, ist eine spezielle Wahl der Deckelfläche notwendig. Entweder findest Du eine, für die das Oberflächenintegral null wird oder eine, bei der das Oberflächenintegral den gleichen Wert wie für den Unterteil ergibt. Eine andere Symmetrie gibt es vielleicht auch.
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> Zuerst die Gegenfrage: warum heißt es nun "die Fläche
> eines Körpers"? Das steht am Anfang nicht da.
Die Orginalaufgabe lautet ein bisschen anders. Ich habe sie ein bisschen verändert weil die Orginalaufgabe sich auf eine vorher gelöste Aufgabe bezog.
Folgende Information ist für die Aufgabe noch wichtig:
Eine Fläche sei durch [mm] 0\le z=\wurzel{x^2+y^2}\le{R} [/mm] gegeben mit R=2
Das ist der Mantel eines Kegels richtig? Die habe ich so parametrisiert:
[mm] \phi(r,v)=\vektor{r*cosv \\ r*sinv \\ r} [/mm] mit [mm] D=[0,2]\times[0,2\pi]
[/mm]
Jetzt brauche ich eine Parametrisierung mit 3 variablen. Ein Kumpel hat foglende Parametrisierung gewählt
[mm] \phi(r,v,z)=\vektor{r*cosv \\ r*sinv \\ z} [/mm] mit [mm] r\in[0,z], v\in[0,2\pi] [/mm] und [mm] z\in[0,2]
[/mm]
Die Parametrisierung beschreibt ebenfalls den Mantel eines Kegels oder? Die beiden Parametrisierung sind identisch oder?
oder ist hier der "Deckel" mit drauf?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:29 Fr 27.11.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Parametrisierung mit dem z ergibt doch wenn für alle z r fest ist bzw von 0 bis r läuft eien Zylinder.
du brauchst zwar ein dz aber die nz läuft von 0 bis r, wenn es dir klarer wird kannst du alle r durch z ersetzen mit hier r(z)=z weil es ein rechtwinkliger Kegel ist.
Wenn du das Volumen ausrechnest hast du Kreisscheiben vom Radius z mit der Fläche [mm] \pir^2 [/mm] und der Dicke dz die werden dann von z=0 bis r integriert.
Gruß leduart
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