www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Satz von Gauß
Satz von Gauß < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Satz von Gauß: Fluss durch die Oberfläche
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:25 Di 03.02.2009
Autor: Zander

Aufgabe
Gegeben ist die Halbkugel H= [mm] \{ (x,y,z)|x^2+y^2+z^2 \le 1, z \ge 0 \} [/mm] und das Vektorfeld [mm] \vec{v}=\vektor{x+y\\y-x\\z^3}. [/mm]
Berechnen sie [mm] \integral_{\partial H}{\vec{v}d\vec{o}} [/mm]

Ich hab das Intergral zuerst dierkt gelöst, also den Fluß durch die Oberfläche mit Hilfe eines Kurvenintegrals berechnet und hatte [mm] \bruch{7}{4}\pi^2 [/mm] raus.

Dann hab ich es mit dem Satz von Gauß versucht:

[mm] div\vec{v}= 3z^2+2 [/mm]

[mm] \int{\int{\int{(3z^2+2)}}d(x,y,z)} [/mm]

Zur integration habe ich die Kugelkoordinaten verwendet.

= [mm] \integral_{\theta = -\pi/2}^{\pi/2}{\integral_{\phi=0}^{2\pi}{\integral_{r=0}^{1}{(3rsin^2(\theta)+2)*r^2 cos(\theta) drd\phi d\theta}}} [/mm] = [mm] \bruch{25}{6}\pi [/mm]

Ist das Ergebnis, welches ich mit dem Satz von Gauß ausgerechnet habe richtig?
Denn es stimmt mit dem anderen nicht überein.

        
Bezug
Satz von Gauß: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:03 Di 03.02.2009
Autor: rainerS

Hallo!

> Gegeben ist die Halbkugel H= [mm]\{ (x,y,z)|x^2+y^2+z^2 \le 1, z \ge 0 \}[/mm]
> und das Vektorfeld [mm]\vec{v}=\vektor{x+y\\y-x\\z^3}.[/mm]
>  Berechnen sie [mm]\integral_{\partial H}{\vec{v}d\vec{o}}[/mm]
>  Ich
> hab das Intergral zuerst dierkt gelöst, also den Fluß durch
> die Oberfläche mit Hilfe eines Kurvenintegrals berechnet
> und hatte [mm]\bruch{7}{4}\pi^2[/mm] raus.

Das versteh ich nicht: Wie hast du das mit einem Kurvenintegral ausgerechnet? Poste mal den Rechenweg!

>  
> Dann hab ich es mit dem Satz von Gauß versucht:
>  
> [mm]div\vec{v}= 3z^2+2[/mm]
>  
> [mm]\int{\int{\int{(3z^2+2)}}d(x,y,z)}[/mm]
>
> Zur integration habe ich die Kugelkoordinaten verwendet.
>  
> = [mm]\integral_{\theta = -\pi/2}^{\pi/2}{\integral_{\phi=0}^{2\pi}{\integral_{r=0}^{1}{(3rsin^2(\theta)+2)*r^2 cos(\theta) drd\phi d\theta}}}[/mm]

Der erste Faktor $r$ muss [mm] $r^2$ [/mm] sein, und dann integrierst du hier über die Vollkugel, nicht über die Halbkugel.

> = [mm]\bruch{25}{6}\pi[/mm]

Das hast du dich verrechnet. Ich bekomme [mm] $\bruch{26}{15}\pi$ [/mm] heraus.

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
                
Bezug
Satz von Gauß: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:25 Di 03.02.2009
Autor: Zander

Ich habe zunächst den Rand des Gebietes in zwei Teile unterteil, die Halbkugeloberfläche und die Bodenfläche.

Dann mit Kugelkoordinaten Parametrisiert:

Halbkugeloberfläche: [mm] \vec{r}(\theta,\phi)=\vektor{cos\phi * cos\theta \\ sin\phi * cos\theta \\ sin\theta} [/mm]

Dann jeweils nach [mm] \phi [/mm] und nach [mm] \theta [/mm] ableiten um die Tangentialvektoren zu erhalten und dann das Kreuzprodukt bilden, um den Normalenvektor zu erhalten. Dann noch normieren.

[mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \frac{\vec{r}_{\phi} \times \vec{r}_{\theta}}{|\vec{r}_{\phi} \times \vec{r}_{\theta}|} [/mm] = [mm] \frac{1}{cos\theta} [/mm] * [mm] \vektor{cos\phi * cos^2 \theta \\ sin\phi * cos^2 \theta \\ cos\theta * sin\theta} [/mm]
Dabei muss [mm] \vec{n} [/mm] aus dem Gebiet rauszeigen.

Jetzt kann man das Kurvenintegral ausrechnen:
[mm] \int{\int{\vec{v}(\vec{r})*\vec{n} d\phi d\theta}} [/mm]



Die bodenfläche hab ich dann etwas anders parametriesiert.

Blöderweise hab ich auch bei dieser Rechnung die Grenzen für eine volle Kugel benutzt.
Über die Halbkugel integriert ergibt dann [mm] \frac{7}{8}\pi^2 [/mm] .
Das Integral der Bodenfläche ergibt Null.

Trotzdem kann das Ergebnis mit dem Gauß nicht übereinstimmen, weil das [mm] \pi^2 [/mm] nicht sein kann beim Gauß

Bezug
                        
Bezug
Satz von Gauß: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:56 Di 03.02.2009
Autor: rainerS

Hallo!

> Ich habe zunächst den Rand des Gebietes in zwei Teile
> unterteil, die Halbkugeloberfläche und die Bodenfläche.
>  
> Dann mit Kugelkoordinaten Parametrisiert:
>  
> Halbkugeloberfläche: [mm]\vec{r}(\theta,\phi)=\vektor{cos\phi * cos\theta \\ sin\phi * cos\theta \\ sin\theta}[/mm]
>  
> Dann jeweils nach [mm]\phi[/mm] und nach [mm]\theta[/mm] ableiten um die
> Tangentialvektoren zu erhalten und dann das Kreuzprodukt
> bilden, um den Normalenvektor zu erhalten. Dann noch
> normieren.
>  
> [mm]\vec{n}[/mm] = [mm]\frac{\vec{r}_{\phi} \times \vec{r}_{\theta}}{|\vec{r}_{\phi} \times \vec{r}_{\theta}|}[/mm]
> = [mm]\frac{1}{cos\theta}[/mm] * [mm]\vektor{cos\phi * cos^2 \theta \\ sin\phi * cos^2 \theta \\ cos\theta * sin\theta}[/mm]
>  
> Dabei muss [mm]\vec{n}[/mm] aus dem Gebiet rauszeigen.
>  
> Jetzt kann man das Kurvenintegral ausrechnen:
>  [mm]\int{\int{\vec{v}(\vec{r})*\vec{n} d\phi d\theta}}[/mm]

Genaugenommen ist das kein Kurvenintegral, sondern ein Oberflächenintegral.

Wenn du den Normaleneinheitsvektor [mm] $\vec{n}$ [/mm] nimmst, dann steckt in deinem Flächenelement noch die Jacobideterminante der Parametrisierung. Die ist gerade [mm] $|\vec{r}_{\phi} \times \vec{r}_{\theta}| [/mm] = [mm] \cos\theta$. [/mm] Diesen Faktor [mm] $\cos\theta$ [/mm] hast du in deinem Oberflächenintegral vergessen.

Viele Grüße
   Rainer



Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de