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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:50 Sa 11.02.2012 | | Autor: | johnny23 |
| Aufgabe | Sei A:={ [mm] (x,y,z,)\in\IR^3|\bruch{x^2}{4}+y^2+\bruch{z^2}{9}\le1 [/mm] }
und [mm] F(x,y,z):=(3x^2z,y^2-2x,z^3)
[/mm]
Berechne mit Hilfe des Satzes von Gauß. |
Guten Abend.
Ich lerne für eine Klausur in Analysis3 / Differentialgeometrie und hänge am Satz von Gauß. Ich möchte gerne den Satz von Gauß anwenden und beide "Seiten" berechnen können.
Satz von Gauß: [mm] \integral_{V}^{}{divF dV} = \integral_{\partial V}^{}{F\circ n dS}
[/mm]
Die Berechnung der rechten Seite ist soweit in Ordnung:
Ich habe zuerst parametrisiert mit [mm] h(t,s)=\vektor{ 2sin(t)cos(s) \\ sin(t)sin(s) \\ 3cos(t) } 0\le t\le \pi [/mm] und [mm] 0\le s\le 2\pi
[/mm]
Anschließend den Normalenverktor n bestimmt, indem ich das Kreuzprodukt der beiden Differentiale berechnet habe. Schließlich habe ich dann das Skalarprodukt von F (durch die Parametrisierung ausgedrückt) und n berechnet und dies doppelt integriert.
Ergebnis: [mm] \bruch{216\pi}{5}
[/mm]
Nun möchte ich gerne die linke Seite berechnen aber hänge an einer Stelle und konnte keine Lösung finden:
Ich benutze die selbe Parametrisierung h. Dann berechne ich die Divergenz
[mm] divF=6xz+2y+3z^2 [/mm] diese drücke ich durch die Parametrisierung aus:
[mm] divF=36sin(t)cos(t)cos(s)+2sin(t)sin(s)+27cos^2(t)
[/mm]
Nun würde ich dies gerne integrieren ABER ich habe doch nur t und s über die ich integrieren kann und für das Volumenintegral brauch ich doch 3 Integranten??
Wo liegt denn mein Fehler oder was ist überhaupt korrekt :) ?
ich suche seit Tagen nach Beispielen und finde nichts, was mit hier weiter hilft..
Vielen Dank euch!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:35 Sa 11.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei [mm] A:=$\{ (x,y,z)\in\IR^3|\bruch{x^2}{4}+y^2+\bruch{z^2}{9}\le1 \}$
[/mm]
> und [mm]F(x,y,z):=(3x^2z,y^2-2x,z^3)[/mm]
>
> Berechne mit Hilfe des Satzes von Gauß.
was berechnen? Ich kann auch sagen: "Berechne das Integral mit der Substitutionsregel!", schmeiße dann irgendwie eine Funktion [mm] $f\,$ [/mm] in den Raum und irgendwelche Grenzen. Klar, man kann sich das zusammenbasteln, weil man alle Puzzleteile eigentlich hat, aber gut gestellte Aufgaben sehen meines Erachtens nach anders aus! Du willst also, grob formuliert, sowas [mm] $\int_{\partial A} [/mm] F [mm] \circ [/mm] ndS$ berechnen. Oder? Also ein "Oberflächenintegral" [mm] ($\partial A\,$ [/mm] ist die Oberfläche des Volumens $A$ - oder?).
> Guten Abend.
>
> Ich lerne für eine Klausur in Analysis3 /
> Differentialgeometrie und hänge am Satz von Gauß. Ich
> möchte gerne den Satz von Gauß anwenden und beide
> "Seiten" berechnen können.
>
> Satz von Gauß: [mm]\integral_{V}^{}{divF dV} = \integral_{\partial V}^{}{F\circ n dS}[/mm]
>
> Die Berechnung der rechten Seite ist soweit in Ordnung:
> Ich habe zuerst parametrisiert mit [mm]h(t,s)=\vektor{ 2sin(t)cos(s) \\ sin(t)sin(s) \\ 3cos(t) } 0\le t\le \pi[/mm]
> und [mm]0\le s\le 2\pi[/mm]
>
> Anschließend den Normalenverktor n
> bestimmt, indem ich das Kreuzprodukt der beiden
> Differentiale berechnet habe. Schließlich habe ich dann
> das Skalarprodukt von F (durch die Parametrisierung
> ausgedrückt) und n berechnet und dies doppelt integriert.
>
> Ergebnis: [mm]\bruch{216\pi}{5}[/mm]
>
> Nun möchte ich gerne die linke Seite berechnen aber hänge
> an einer Stelle und konnte keine Lösung finden:
>
> Ich benutze die selbe Parametrisierung h. Dann berechne ich
> die Divergenz
> [mm]divF=6xz+2y+3z^2[/mm] diese drücke ich durch die
> Parametrisierung aus:
> [mm]divF=36sin(t)cos(t)cos(s)+2sin(t)sin(s)+27cos^2(t)[/mm]
Kann man jedes $v [mm] \in [/mm] V=A$ (hier ist ja [mm] $V=A\,$) [/mm] durch solch eine Parametrisierung darstellen? Mir fehlt hier irgendwie sowas wie "ein Maß für die Länge eines Vektors"!
> Nun würde ich dies gerne integrieren ABER ich habe doch
> nur t und s über die ich integrieren kann und für das
> Volumenintegral brauch ich doch 3 Integranten??
>
> Wo liegt denn mein Fehler oder was ist überhaupt korrekt
> :) ?
Ich habe nun nichts überprüft, aber für mich sieht es so aus, als wenn Du bei Deinem Weg, wo Du "das Volumenintegral bzgl. div [mm] $F\,$ [/mm] berechnest", sowas wie "Kugelkoordinaten" benutzen wolltest (mit Deiner Parametrisierung sind das natürlich "andere" Koordinaten, aber i.w. sollte das die gleiche Idee sein). Nur hast Du dabei sicher irgendwo Informationen nicht beachtet - mir fehlt ein Parameter "für die Länge eines Vektors aus [mm] $V\,.$" [/mm] Was ist denn mit den "Punkten echt im Inneren des Volumens", also $v [mm] \in [/mm] V [mm] \setminus \partial [/mm] A$?
Machen wir mal ein analoges Beispiel: Wenn Du [mm] $\int_\gamma [/mm] f$ berechnen würdest (jetzt ohne Satz von Gauß etc.), und [mm] $\gamma$ [/mm] sei etwa die Kreislinie des Einheitskreises (mit Mittelpunkt $(0,0) [mm] \in \IR^2$). [/mm] Dann kannst Du [mm] $x=\cos(t)$ [/mm] und [mm] $y=\cos(t)$ [/mm] parametrisieren und damit rechnen. Wenn ich nun [mm] $\int_\gamma f=\int_A [/mm] g$ hätte [mm] ($g\,$ [/mm] sollen wir kennen können, wenn wir [mm] $f\,$ [/mm] kennen) und [mm] $A\,$ [/mm] wäre die (abgeschlossene) Kreisscheibe, die obige Kreislinie [mm] $\gamma$ [/mm] einschließt, dann kann ich jedes $v [mm] \in [/mm] A$ darstellen als [mm] $v=r*(\cos(t),\sin(t))$ [/mm] mit $r:=|v| [mm] \in [0,1]\,,$ [/mm] aber nicht alleine durch eine Darstellung [mm] $(\cos(t),\sin(t))\,.$
[/mm]
Ich denke, sowas machst Du oben falsch (du "vergißt" bei Deiner Paramtrisierung quasi, dass die Parametrisierung sich nur auf Randpunkte bezieht - wie beschreibst Du mit diesen dann die Punkte, die sich im "Volumeninneren" befinden? Einfach weglassen kannst Du sie nicht (würdest das aber bei Dir - vermutlich - machen!))!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 So 12.02.2012 | | Autor: | johnny23 |
Guten Tag,
zuerst einmal vielen Dank für deine Antwort! Genau das ist mein Problem! Deine Erklärung kann ich gut nachvollziehen. Mit fehlt irgendwie das Innere. Das habe ich einfach weggelassen. Die Hülle reicht nicht. Nur verstehe ich nicht, was du mit der Länge des Vektors meinst bzw komme ich nicht drauf, was hier fehlt.
Zunächst zur Aufgabe: Genau. Ich hatte die Absicht, das Oberflächenintegral [mm] \integral_{\partial A}^{}{F\circ ndS} [/mm] zu berechnen. Nun bin ich wie erwähnt vorgegangen, ohne den Satz v Gauß zu verwenden. Wahrscheinlich wäre es wohl schneller gegangen, wenn ich das Volumenintegral über der Divergenz berechnet hätte.
Die Menge A beschreibt meiner Meinung nach ein Ellipsoid. Ich habe dann die bekannte Parametrisierung eines Ellipsoiden genommen [mm] h(t,s)=\vektor{a sin(t)cos(s) \\ b sin(t)sin(s) \\ c cos(t)}
[/mm]
Dein Beispiel kann ich nachvollziehen. Bei der Kreisscheibe oder beim Einheitssphäre haben wir doch noch den Parameter r der von 0 bis 1 läuft. Bei Ellipsoiden haben wir die Parameter a,b,c >0 von denen ich keine Grenzen habe? Also ich komme da einfach nicht drauf. Müsste ich doch das Ellipsoid irgendwie von den Achsenschnittpunkten integrieren oder was fehlt hier?
Vielen DanK! MfG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:58 So 12.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
in x Richtung geht das Ellipsoid doch von -a bis +a usw-
nimm statt x=2*cos... x= 2r*sin-- und von wo bis wo muss dann r laufen? entsprechen y und z
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:32 Mo 13.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Johnny,
> Guten Tag,
>
> zuerst einmal vielen Dank für deine Antwort! Genau das ist
> mein Problem! Deine Erklärung kann ich gut nachvollziehen.
> Mit fehlt irgendwie das Innere. Das habe ich einfach
> weggelassen. Die Hülle reicht nicht. Nur verstehe ich
> nicht, was du mit der Länge des Vektors meinst bzw komme
> ich nicht drauf, was hier fehlt.
ich meine eigentlich genau das, was Du schreibst: Irgendwie musst Du ja auch Vektoren im Inneren des Volumens beschreiben,die nicht auf der Hülle liegen. Dafür fehlt "ein Parameter". Ich habe einfach ein wenig geometrisch gedacht: Ich denke, wenn man "Randpunkte verzerrt (streckt, dehnt)", kann man Punkte im Inneren des Volumens beschreiben. Dass das allgemein vielleicht nicht immer geht (vielleicht braucht man dafür Konvexiktät oder was auch immer), sei mal dahingestellt - auf jeden Fall muss es irgendwo noch einen Parameter geben, mit dem man "Punkte im Inneren des Volumens beschreiben kann". Mehr habe ich mir eigentlich nicht überlegt.
Wichtig ist halt: Wenn Du sagst, Du hast eine Parameterdarstellung "für alle Volumenpunkte", dann muss diese Parameterdarstellung natürlich auch alle Punkte des Volumens erfassen. (Genaugenommen solltest Du sagen: Unter den und den Voraussetzungen ist mit dieser Parameterdarstellung stets ein Punkt des Volumens gegeben und jeder Punkt des Volumens hat eine solche Parameterdarstellung - also quasi nichts anderes als eine Mengengleichheit!)
Wenn Du mit einer Parameterdarstellung nur ein Teil des Volumens erfasst, musst Du diese erweitern, oder vielleicht eine andere, geeignete finden!
Gruß,
Marcel
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