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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Satz von Green
Satz von Green < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Satz von Green: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:07 Mi 19.11.2014
Autor: Peter_123

Aufgabe
Zeige die Gültigkeit des Greenschen Integralsatzes über der Einheitskugel im [mm] \mathbb{R}^3. [/mm]

mit f(x,y,z) = [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + [mm] z^2 [/mm]
g(x,y,z) = x+y+z

Hallo,

also erstmal der Integralsatz:

[mm] $\integral_{A}g \Delta [/mm] f [mm] d\lambda^{n} [/mm] = [mm] \integral_{\partial A} [/mm] g [mm] \frac{\partial f}{\partial v}d \mu^{n-1} [/mm] - [mm] \integral_{A}\nabla f^{T}\nabla [/mm] g [mm] d\lambda^{n}$ [/mm]

Ich transformiere in Kugelkoordinanten

$x= [mm] rcos\phi cos\theta$ [/mm]
$y= [mm] rsin\phi cos\theta$ [/mm]
$z = [mm] rsin\theta$ [/mm]

$dxdydz = [mm] r^2 cos\theta [/mm] dr [mm] d\theta d\phi$ [/mm]

Der Laplaceoperator [mm] \Delta [/mm] ist ja nichts anderes als : div [mm] \nabla [/mm] f = 2+2+2 = 6

Damit erhalte ich also :

[mm] $\integral_{B_{1}} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2\pi} \integral_{-\pi /2}^{\pi /2} \integral_{0}^{1}(rcos\theta cos\phi [/mm] +r [mm] cos\theta sin\phi [/mm] + [mm] rsin\theta)6r^2 [/mm] cos [mm] \theta [/mm] dr [mm] d\theta d\phi$ [/mm] =  0 (lt. Mathematica)

Also muss hier irgendwie ein Fehler drinnen sein ... Was stimmt denn bei dieser Integration nicht ?


Vielen Dank und lg

Peter



        
Bezug
Satz von Green: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:58 Mi 19.11.2014
Autor: Peter_123

Also verifizieren meint doch ich soll mit:

$ [mm] \integral_{A}g \Delta [/mm] f [mm] d\lambda^{n} [/mm] = [mm] \integral_{\partial A} [/mm] g [mm] \frac{\partial f}{\partial v}d \mu^{n-1} [/mm] - [mm] \integral_{A}\nabla f^{T}\nabla [/mm] g [mm] d\lambda^{n} [/mm] $

[mm] \integral_{\partial A} [/mm] g [mm] \frac{\partial f}{\partial v}d \mu^{n-1} [/mm] berechnen.

und dann einfach

[mm] \integral_{\partial A} [/mm] g [mm] \frac{\partial f}{\partial v}d \mu^{n-1} [/mm]

berechnen und sehen ob beides mal das selbe Resultat rauskommt?


Gruß Peter



Bezug
                
Bezug
Satz von Green: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:39 Mi 19.11.2014
Autor: andyv

Ja, du sollst beide Seiten der Gleichung, d.h. $ [mm] \integral_{A}g \Delta [/mm] f [mm] d\lambda^{n}$ [/mm] und $ [mm] \integral_{\partial A} [/mm] g [mm] \frac{\partial f}{\partial v}d \mu^{n-1} [/mm] - [mm] \integral_{A}\nabla f^{T}\nabla [/mm] g [mm] d\lambda^{n} [/mm] $ berechnen.

Eine hast du ja schon berechnet.

Liebe Grüße

Bezug
        
Bezug
Satz von Green: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:38 Mi 19.11.2014
Autor: andyv

Hallo,

wieso sollte das nicht stimmen?

Aus Symmetriegründen ist [mm] $\int_{B_1} x_i [/mm] dx=0$, $i=1,2,3$.

Liebe Grüße

Bezug
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