Satz von Green < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeige die Gültigkeit des Greenschen Integralsatzes über der Einheitskugel im [mm] \mathbb{R}^3.
[/mm]
mit f(x,y,z) = [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + [mm] z^2
[/mm]
g(x,y,z) = x+y+z |
Hallo,
also erstmal der Integralsatz:
[mm] $\integral_{A}g \Delta [/mm] f [mm] d\lambda^{n} [/mm] = [mm] \integral_{\partial A} [/mm] g [mm] \frac{\partial f}{\partial v}d \mu^{n-1} [/mm] - [mm] \integral_{A}\nabla f^{T}\nabla [/mm] g [mm] d\lambda^{n}$
[/mm]
Ich transformiere in Kugelkoordinanten
$x= [mm] rcos\phi cos\theta$
[/mm]
$y= [mm] rsin\phi cos\theta$
[/mm]
$z = [mm] rsin\theta$
[/mm]
$dxdydz = [mm] r^2 cos\theta [/mm] dr [mm] d\theta d\phi$
[/mm]
Der Laplaceoperator [mm] \Delta [/mm] ist ja nichts anderes als : div [mm] \nabla [/mm] f = 2+2+2 = 6
Damit erhalte ich also :
[mm] $\integral_{B_{1}} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2\pi} \integral_{-\pi /2}^{\pi /2} \integral_{0}^{1}(rcos\theta cos\phi [/mm] +r [mm] cos\theta sin\phi [/mm] + [mm] rsin\theta)6r^2 [/mm] cos [mm] \theta [/mm] dr [mm] d\theta d\phi$ [/mm] = 0 (lt. Mathematica)
Also muss hier irgendwie ein Fehler drinnen sein ... Was stimmt denn bei dieser Integration nicht ?
Vielen Dank und lg
Peter
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Also verifizieren meint doch ich soll mit:
$ [mm] \integral_{A}g \Delta [/mm] f [mm] d\lambda^{n} [/mm] = [mm] \integral_{\partial A} [/mm] g [mm] \frac{\partial f}{\partial v}d \mu^{n-1} [/mm] - [mm] \integral_{A}\nabla f^{T}\nabla [/mm] g [mm] d\lambda^{n} [/mm] $
[mm] \integral_{\partial A} [/mm] g [mm] \frac{\partial f}{\partial v}d \mu^{n-1} [/mm] berechnen.
und dann einfach
[mm] \integral_{\partial A} [/mm] g [mm] \frac{\partial f}{\partial v}d \mu^{n-1}
[/mm]
berechnen und sehen ob beides mal das selbe Resultat rauskommt?
Gruß Peter
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:39 Mi 19.11.2014 | | Autor: | andyv |
Ja, du sollst beide Seiten der Gleichung, d.h. $ [mm] \integral_{A}g \Delta [/mm] f [mm] d\lambda^{n}$ [/mm] und $ [mm] \integral_{\partial A} [/mm] g [mm] \frac{\partial f}{\partial v}d \mu^{n-1} [/mm] - [mm] \integral_{A}\nabla f^{T}\nabla [/mm] g [mm] d\lambda^{n} [/mm] $ berechnen.
Eine hast du ja schon berechnet.
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:38 Mi 19.11.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
wieso sollte das nicht stimmen?
Aus Symmetriegründen ist [mm] $\int_{B_1} x_i [/mm] dx=0$, $i=1,2,3$.
Liebe Grüße
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