Satz von Hahn-Banach < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | X sei Vektorraum über [mm] \IK,
[/mm]
p: X [mm] \to \IR_{+} [/mm] sei sublinear,
U ein linearer Unterraum von X.
Dann gilt:
Zu einer linearen Abbildung l: U [mm] \to \IK
[/mm]
mit Re l(x) [mm] \le [/mm] p(x) für [mm] x\in [/mm] U
gibt es eine lineare Abbildung L: X [mm] \to \IK
[/mm]
mit Re L(x) [mm] \le [/mm] p(x) für [mm] x\in [/mm] X |
Hallo,
ich verstehe an dem Satz nicht, wie ich die Ungleichungseigenschaft mit der Sublinearform p interpretieren soll. Da der Satz ja auch für normierte Räume gilt, vermute ich, dass es sich dabei um eine Norm-Abschätzung handeln kann.
Aber wie kann ich die Bedingung interpretieren, und weswegen ist sie für die Existenz der Fortsetzung L notwendig?
Grüße und danke schon mal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:42 Mi 27.02.2008 | | Autor: | felixf |
Moin!
> X sei Vektorraum über [mm]\IK,[/mm]
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> p: X [mm]\to \IR_{+}[/mm] sei sublinear,
> U ein linearer Unterraum von X.
>
> Dann gilt:
>
> Zu einer linearen Abbildung l: U [mm]\to \IK[/mm]
> mit Re l(x) [mm]\le[/mm]
> p(x) für [mm]x\in[/mm] U
>
> gibt es eine lineare Abbildung L: X [mm]\to \IK[/mm]
> mit Re L(x)
> [mm]\le[/mm] p(x) für [mm]x\in[/mm] X
>
> Hallo,
>
> ich verstehe an dem Satz nicht, wie ich die
> Ungleichungseigenschaft mit der Sublinearform p
> interpretieren soll. Da der Satz ja auch für normierte
> Räume gilt, vermute ich, dass es sich dabei um eine
> Norm-Abschätzung handeln kann.
Die Sublinearform kann eine Norm sein, oder eine Halbnorm, oder etwas ganz anderes... Meistens wird der Satz zusammen mit einer Norm verwendet.
> Aber wie kann ich die Bedingung interpretieren, und
> weswegen ist sie für die Existenz der Fortsetzung L
> notwendig?
Notwendig ist sie nicht. Eine Fortsetzung kann man immer finden, mit dem Zornschen Lemma, aber die ist im Allgemeinen sehr ekelig. Die Sublinearform hilft, die Fortsetzung zu `kontrollieren': die Fortsetzung darf nicht `wilder' sein als die Sublinearform.
Meistens ist es so, dass man eine stetige Linearform $f : X [mm] \to \IC$ [/mm] haben moechte, die an einer gewissen Stelle nicht 0 ist, etwa an einem $x [mm] \in [/mm] X [mm] \setminus \{ 0 \}$. [/mm] Dann schaut man sich den Untervektorraum $U$ an, der von $x$ erzeugt wird und definiert sich dadaruf eine Linearform $g$ an, die $x$ einen Wert [mm] $\neq [/mm] 0$ zuweist, und skaliert sie so, dass [mm] $\Re [/mm] g(y) [mm] \le \| [/mm] y [mm] \|$ [/mm] gilt fuer alle $y [mm] \in [/mm] U$ (und alle solchen $y$ sind von der from $y = [mm] \lambda [/mm] x$, [mm] $\lambda \in \IC$).
[/mm]
Nach dem Satz von Hahn-Banach kann man das ganze dann zu einer Linearform $f : X [mm] \to \IC$ [/mm] fortsetzen mit $f(y) = g(y)$ fuer $y [mm] \in [/mm] U$, also insbesondere mit $f(x) = g(x) [mm] \neq [/mm] 0$, und mit [mm] $\Re [/mm] f(x) [mm] \le \| [/mm] x [mm] \|$ [/mm] fuer alle $x [mm] \in [/mm] X$. Indem man $x$ durch $-x$, $i x$, $-i x$ ersetzt, bekommt man im Endeffekt $|f(x)| [mm] \le \sqrt{2} \| [/mm] x [mm] \|$, [/mm] woraus folgt, dass $f$ beschraenkt, also stetig ist!
LG Felix
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