Satz von Min und Max < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:05 Do 12.04.2018 | | Autor: | Trikolon |
Hallo,
ich habe die Funktion f(x)= [mm] \bruch{4}{x^2+1} [/mm] mit [mm] D_f [/mm] = [mm] \IR [/mm] gegeben. Garantiert der Satz vom Min und Max jetzt die Existenz eines kleinsten und größten Funktionswerts?
Die Funktion ist ja stetig und [mm] \IR [/mm] ist eine abgeschlossene Menge, aber wenn ich die Funktion plotte nimmt sie kein Minimum ein.
Wo ist mein Denkfehler?
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 18:14 Do 12.04.2018 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo,
> Hallo,
>
> ich habe die Funktion f(x)= [mm]\bruch{4}{x^2+1}[/mm] mit [mm]D_f[/mm] = [mm]\IR[/mm]
> gegeben. Garantiert der Satz vom Min und Max jetzt die
> Existenz eines kleinsten und größten Funktionswerts?
Nur auf einem kompakten Intervall. Das ist hier nicht der Fall.
> Die Funktion ist ja stetig und [mm]\IR[/mm] ist eine abgeschlossene
> Menge
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
$ [mm] \IR$ [/mm] ist keine abgeschlossene Menge!
> aber wenn ich die Funktion plotte nimmt sie kein
> Minimum ein.
> Wo ist mein Denkfehler?
Mach dich mit den Definitionen von Kompaktheit, Abeschloßenheit und Offenheit vertraut.
LG,
ChopSuey
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 19:04 Do 12.04.2018 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> [mm]\IR[/mm] ist keine abgeschlossene Menge!
na und ob [mm] \IR [/mm] abgeschlossen ist!
Aber [mm] \IR [/mm] ist nicht kompakt, da nicht beschränkt.
Gruß,
Gono
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 20:21 Do 12.04.2018 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Gono,
du hast Recht. Ich sollte mich wohl lieber selbst wieder mit der Definition von Abgeschloßenheit vertraut machen 
LG,
ChopSuey
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:20 Fr 13.04.2018 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> ich habe die Funktion f(x)= [mm]\bruch{4}{x^2+1}[/mm] mit [mm]D_f[/mm] = [mm]\IR[/mm]
> gegeben. Garantiert der Satz vom Min und Max jetzt die
> Existenz eines kleinsten und größten Funktionswerts?
Dieser Satz ist hier nicht anwendbar, denn [mm] D_f= \IR [/mm] ist nicht kompakt.
> Die Funktion ist ja stetig und [mm]\IR[/mm] ist eine abgeschlossene
> Menge, aber wenn ich die Funktion plotte nimmt sie kein
> Minimum ein.
> Wo ist mein Denkfehler?
s.o.
Es ist f(x) [mm] \le [/mm] 4 für alle x [mm] \in D_f [/mm] und f(0)=4, also: [mm] \max \{f(x): x \in D_f\}=4.
[/mm]
Weiter ist f(x)>0 für alle x [mm] \in D_f [/mm] und [mm] \lim_{x \to \pm \infty}f(x)=0. [/mm] Somit ist
[mm] \inf \{f(x): x \in D_f\}=0, [/mm] aber [mm] \min \{f(x): x \in D_f\} [/mm] existiert nicht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:23 So 15.04.2018 | | Autor: | Trikolon |
Vielen Dank für die schnellen Antworten. Eine Frage hätte ich noch:
Kann eine Funktion auch mehrere globale Maximum- und Minimumstellen besitzen?
z.B. f(x)=sin(x). Handelt es sich stets um lokale oder auch um globale (und damit automatisch lokale) Extrema?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:28 Mo 16.04.2018 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank für die schnellen Antworten. Eine Frage hätte
> ich noch:
>
> Kann eine Funktion auch mehrere globale Maximum- und
> Minimumstellen besitzen?
> z.B. f(x)=sin(x).
Ja, der Sinus ist ein Beispiel. jedes lokale Max. (Min.) ist auch ein globales Max. (Min.).
> Handelt es sich stets um lokale oder
> auch um globale (und damit automatisch lokale) Extrema?
1. jedes globale Extremum ist auch ein lokales.
2. f(x)= sin x hat an jeder lokalen Extremstelle auch ein globales Extremum
2. Betrachte die Funktion f(x)=x sin x und plotte mal den Graphen dieser Funktion. Dann solltest Du sehen: diese Funktion hat unendlich viele lokale Extremstellen, aber keine globalen Extremstellen.
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