Satz von Picard-Lindelöf < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 Mo 28.03.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Satz von Picard-Lindelöf
Gegeben sei für $\lambda \in R $ das Anfangswertproblem auf $ R \times R^2$
$ y' = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \lambda^2 & 0 \end{pmatrix} *y $ mit
$y(0) = \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix} $
Berechnen Sie mit Hilfe des Picard-Lindelöfschen Iterationsverfahrens eine Lösung des Anfangswertproblems. |
bevor ich den Grenzwert der Reihe bestimmte, würde ich gerne wissen, ob mein Ansatz richtig ist.
$ f_0= \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix} $
$f_1= f_0+ \int_0^x \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \lambda^2 & 0 \end{pmatrix}*f_0(t) dt } $
$f_2= f_1(x)+ \int_0^x \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \lambda^2 & 0 \end{pmatrix}*f_1(t) dt } $
usw...
kann ich so vorgehen ?
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Hallo Nadia..,
> Satz von Picard-Lindelöf
> Gegeben sei für [mm]\lambda \in R[/mm] das Anfangswertproblem auf [mm]R \times R^2[/mm]
>
> [mm]y' = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \lambda^2 & 0 \end{pmatrix} *y [/mm]
> mit
>
> [mm]y(0) = \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}[/mm]
>
>
> Berechnen Sie mit Hilfe des Picard-Lindelöfschen
> Iterationsverfahrens eine Lösung des Anfangswertproblems.
> bevor ich den Grenzwert der Reihe bestimmte, würde ich
> gerne wissen, ob mein Ansatz richtig ist.
>
> [mm]f_0= \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix} [/mm]
>
> [mm]f_1= f_0+ \int_0^x \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \lambda^2 & 0 \end{pmatrix}*f_0(t) dt } [/mm]
>
> [mm]f_2= f_1(x)+ \int_0^x \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \lambda^2 & 0 \end{pmatrix}*f_1(t) dt } [/mm]
>
Hier muss doch stehen:
[mm]f_2= f_{\blue{0}}+ \int_0^x \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \lambda^2 & 0 \end{pmatrix}*f_1(t) dt } [/mm]
Allgemein steht hier:
[mm]f_{k+1}= f_{\blue{0}}+ \int_0^x \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \lambda^2 & 0 \end{pmatrix}*f_ {k}(t) dt } [/mm]
>
> usw...
>
>
> kann ich so vorgehen ?
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 Mo 28.03.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Danke für die Antwort.
$ f_1= f_0+ \int_0^x \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \lambda^2 & 0 \end{pmatrix}\cdot{}f_0(t) dt } = \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix} + \int_0^x \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \lambda^2 & 0 \end{pmatrix}* \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}= \int_0^x \begin{pmatrix}0 \\ \lambda^2 \end{pmatrix} dt = \begin{pmatrix}1 \\ \lambda^2*x\end{pmatrix} $
$ f_2= f_0+ \int_0^x \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \lambda^2 & 0 \end{pmatrix}\cdot{}f_1(t) dt } = \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix} + \int_0^x \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \lambda^2 & 0 \end{pmatrix}* \begin{pmatrix}1 \\ \lambda^2*t\end{pmatrix}= \int_0^x \begin{pmatrix}\lambda^2*t \\ \lambda^2 \end{pmatrix} dt = \begin{pmatrix}1 + \frac{\lambda^2x^2}{2} \\ \lambda^2*x\end{pmatrix} $
$ f_3= f_0+ \int_0^x \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \lambda^2 & 0 \end{pmatrix}\cdot{}f_3(t) dt } = \begin{pmatrix}1 + \frac{\lambda^2x^2}{2} +\frac{\lambda^4x^4}{24} \\ \lambda^2x + \frac{\lambda^4x^3}{6} \end{pmatrix} $
Und erhalte ganz am ende,
$\begin{pmatrix}\sum_{k=0}^n \frac{\lambda^{2k}*x^{2k}}{k!} \\ \sum_{k=1}^n \frac{\lambda^{2k}*x^{2k-1}}{(2k-1!) \end{pmatrix} $
Richtig so ?
Lg
Nadia
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Hallo Nadia..,
> Danke für die Antwort.
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> [mm]f_1= f_0+ \int_0^x \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \lambda^2 & 0 \end{pmatrix}\cdot{}f_0(t) dt } = \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix} + \int_0^x \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \lambda^2 & 0 \end{pmatrix}* \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}= \int_0^x \begin{pmatrix}0 \\ \lambda^2 \end{pmatrix} dt = \begin{pmatrix}1 \\ \lambda^2*x\end{pmatrix} [/mm]
>
>
> [mm]f_2= f_0+ \int_0^x \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \lambda^2 & 0 \end{pmatrix}\cdot{}f_1(t) dt } = \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix} + \int_0^x \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \lambda^2 & 0 \end{pmatrix}* \begin{pmatrix}1 \\ \lambda^2*t\end{pmatrix}= \int_0^x \begin{pmatrix}\lambda^2*t \\ \lambda^2 \end{pmatrix} dt = \begin{pmatrix}1 + \frac{\lambda^2x^2}{2} \\ \lambda^2*x\end{pmatrix} [/mm]
>
>
> [mm]f_3= f_0+ \int_0^x \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \lambda^2 & 0 \end{pmatrix}\cdot{}f_3(t) dt } = \begin{pmatrix}1 + \frac{\lambda^2x^2}{2} +\frac{\lambda^4x^4}{24} \\ \lambda^2x + \frac{\lambda^4x^3}{6} \end{pmatrix} [/mm]
>
Der Summand [mm]\bruch{\lambda^{4}*x^{4}}{24}[/mm] ist in dem Ausdruck
[mm]\begin{pmatrix}1 + \frac{\lambda^2x^2}{2} +\blue{\frac{\lambda^4x^4}{24}} \\ \lambda^2x + \frac{\lambda^4x^3}{6} \end{pmatrix} [/mm]
zuviel.
>
> Und erhalte ganz am ende,
>
> [mm]\begin{pmatrix}\sum_{k=0}^n \frac{\lambda^{2k}*x^{2k}}{k!} \\ \sum_{k=1}^n \frac{\lambda^{2k}*x^{2k-1}}{(2k-1!) \end{pmatrix} [/mm]
Hier muss doch stehen:
[mm]\begin{pmatrix}\sum_{k=0}^n \frac{\lambda^{2k}*x^{2k}}{\left(\blue{2}k\right)!} \\ \sum_{k=1}^n \frac{\lambda^{2k}*x^{2k-1}}{(2k-1!) \end{pmatrix} [/mm]
>
> Richtig so ?
>
>
> Lg
>
> Nadia
>
>
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:10 Mo 28.03.2011 | | Autor: | Nadia.. |
ja das stimmt,
Vielen Dank!!
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