www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Satz von Roche
Satz von Roche < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Komplexe Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Satz von Roche: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:53 Di 19.09.2017
Autor: Paivren

Guten Abend,

brauche Tipps zu folgendem Vorgehen:

Gesucht sind die Nullstellen in der Einheitskugel der komplexen Ebene von p(z)= [mm] z^{7}+(z(z-3))^{3}+1 [/mm]

Mit dem Satz von Roche gilt: Gilt für eine holom. Funktion g(Z), dass |p-g|< |p|+|g| für alle z auf dem Rand des Gebiets, dann hat p genau so viele Nullstellen in dem Gebiet wie g.

In der Hausaufgabe wurde g immer als höchste Potenz von p gewählt, also [mm] z^{7}. [/mm] Aber das führt auf den ersten Blick nicht zum Ziel.
Mit der Dreiecksungleichung kann ich zeigen, dass [mm] |p-g|\le [/mm] 45 ist, aber das ist größer als |g|.

Muss ich nun den Betrag von f nach unten abschätzen und dann hoffen, dass 45 < |f| oder |f|+|g| ist?

Das ist eine Klausuraufgabe, aber in der Klausur hat man doch keine Zeit, um verschiedene g auszuprobieren.
Woher weiß ich, womit ich am besten anfange??

Verzweifelte Grüße

Paivren

        
Bezug
Satz von Roche: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:04 Mi 20.09.2017
Autor: HJKweseleit


> Guten Abend,
>  
> brauche Tipps zu folgendem Vorgehen:
>  
> Gesucht sind die Nullstellen in der Einheitskugel der
> komplexen Ebene von p(z)= [mm]z^{7}+(z(z-3))^{3}+1[/mm]
>  
> Mit dem Satz von Roche gilt: Gilt für eine holom. Funktion
> g(Z), dass |p-g|< |p|+|g| für alle z auf dem Rand des
> Gebiets, dann hat p genau so viele Nullstellen in dem
> Gebiet wie g.

Ich halte diese Version des Satzes für recht schwierig, weil du dabei den Betrag der gesamten (und damit relativ "weitläufigen") Funktion bestimmen musst. In einer m.E. einfacheren Fassung heißt der Satz:

Gilt für die holom. Fkt. f und g die Beziehung |f|>|g| für alle z auf dem Rand, so haben f und f+g gleich viele Nullstellen.

Dabei ist nun f+g die Gesamtfunktion, von der du aber nicht den Betrag bestimmen musst, sondern nur von den Teilen f und g.



>  
> In der Hausaufgabe wurde g immer als höchste Potenz von p
> gewählt, also [mm]z^{7}.[/mm] Aber das führt auf den ersten Blick
> nicht zum Ziel.
>  Mit der Dreiecksungleichung kann ich zeigen, dass [mm]|p-g|\le[/mm]
> 45 ist, aber das ist größer als |g|.
>
> Muss ich nun den Betrag von f nach unten abschätzen und
> dann hoffen, dass 45 < |f| oder |f|+|g| ist?
>  
> Das ist eine Klausuraufgabe, aber in der Klausur hat man
> doch keine Zeit, um verschiedene g auszuprobieren.
>  Woher weiß ich, womit ich am besten anfange??
>  
> Verzweifelte Grüße



Sei nun [mm] f(z)=(z(z-3))^3 [/mm] und [mm] g(z)=z^7+1. [/mm]

Dann gilt für g: [mm] |g(z)|=|z^7+1|\le |z^7|+|1|=|z|^7+1=1^7+1=2. [/mm]

Für f [mm] gilt:|z(z-3)|=|z||3-z|=1*|3-z|\ge [/mm] |3|-|z|=3-1=2 und damit
[mm] |f(z)|=|(z(z-3))^3|=|z(z-3)|^3\ge 2^3=8. [/mm]
Insgesamt also [mm] |f(z)|\ge8>2\ge [/mm] |g(z)|.


Damit ist die obige Bedingung erfüllt.

f hat die 3-fache Nullstelle z=0 im Einheitskreis und die dreifache Nullstelle z=3 außerhalb, also 3 Nullstellen im Einheitskreis, und damit gilt das auch für die Ausgangsfunktion.

  



Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Bezug
                
Bezug
Satz von Roche: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:34 Mi 20.09.2017
Autor: Paivren

Hey, danke dir für die Ausführung.

Ich kannte diese Version gar nicht! Ja, das Abschätzen meiner ursprünglichen Gesamtfunktion war immer ziemlich unschön.

So werde ich es morgen machen :))

Bezug
                        
Bezug
Satz von Roche: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:06 Mi 20.09.2017
Autor: HJKweseleit


> Hey, danke dir für die Ausführung.
>  
> Ich kannte diese Version gar nicht! Ja, das Abschätzen
> meiner ursprünglichen Gesamtfunktion war immer ziemlich
> unschön.

Deine Version ist viel leichter zu beweisen:

[mm] |p-g|=|p+(-g)|\le [/mm] |p|+|-g|= |p|+|g| gemäß Dreiecksungleichung.

Du musst nur noch beweisen, dass das Gleichheitszeichen nicht gilt.

Merkst du was?...

>  
> So werde ich es morgen machen :))


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Komplexe Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de