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Hallo, heute in der Übung haben wir folgende Aufgabe gehabt:
"Bestätigen Sie den Satz von Stokes für folgendes Flächenstück:
[mm] S=\{(x,y,z)\in\IR^3: x^2+y^2=z^2; 1 \le z \le 2 \} [/mm] und das Vektorfeld [mm] \vec{v} [/mm] auf [mm] \IR^3 [/mm] gegeben durch [mm] \vec{v}(x,y,z)=(z,x,y). [/mm] Rechne nach, dass gilt:
[mm] \integral_{\partial B}{\vec{v}\cdot dx}=\integral{\integral_{S}{(rot \vec{v} \cdot \vec{n}) dO} }".
[/mm]
Die Seite mit dem Doppelintegral ist mir klar gewesen, jedoch hätte ich bei der anderen Seite noch fragen. Geometrisch gesehen habe wir doch einen Kegel, der auf der z-Achse bei 1 und zwei begrenzt wird, also quasi einen Kegelstumpf, ne?
Jetzt haben wir in der Übung gesagt, dass [mm] \partial [/mm] S (der Rand) = [mm] C_1 \cup C_2 [/mm] ist mit [mm] C_k=\{(x,y,z) \in \IR^3: x^2+y^2=k^2; z=k\} [/mm] mit k=1,2.
Jetzt stellt sich mir die FRage: [mm] C_1 [/mm] und [mm] C_2 [/mm] sind doch nur zwei Kreise, warum gehört zum Rand von S nicht auch die "Außenummantellung" des Kegelstumpfes???
Dann wurde [mm] C_k [/mm] parametrisiert durch [mm] \gamma_k:[0;2\pi] \to \IR^3 [/mm] mit [mm] \gamma_k=(k*cos(\phi), k*sin(\phi), [/mm] k), also ja Zylinderkoordinaten.
Jetzt wurde gesagt: "Dabei ist [mm] \gamma_1 [/mm] verträglich mit [mm] \vec{n} [/mm] orientert, während [mm] \gamma_2 [/mm] entgegengesetzt zu der von [mm] \vec{n} [/mm] induzierten Orientierung ist." (--> [mm] \vec{n} [/mm] wurde oben berechnet als [mm] \frac{1}{\w(2)}(cos(\theta), sin(\theta), [/mm] -1) )
Woher weiss ich, welches meiner Gammas richtig orientiert ist??? Liegt das daran, dass [mm] \vec{n} [/mm] in der z-KOmponente ein -1 hat, also nach unten zeigt und [mm] \gamma_1 [/mm] ja gerade den unteren Kreisring beschreibt, wärend es für [mm] \gamma_2 [/mm] ein nach oben gerichteter Normalenvektor sein müsste??!
Der Rest der Aufgabe ist mir dann klar. Es kommt dann [mm] -3\pi [/mm] raus.
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> Hallo, heute in der Übung haben wir folgende Aufgabe
> gehabt:
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> "Bestätigen Sie den Satz von Stokes für folgendes
> Flächenstück:
> [mm]S=\{(x,y,z)\in\IR^3: x^2+y^2=z^2; 1 \le z \le 2 \}[/mm] und das
> Vektorfeld [mm]\vec{v}[/mm] auf [mm]\IR^3[/mm] gegeben durch
> [mm]\vec{v}(x,y,z)=(z,x,y).[/mm] Rechne nach, dass gilt:
> [mm]\integral_{\partial B}{\vec{v}\cdot dx}=\integral{\integral_{S}{(rot \vec{v} \cdot \vec{n}) dO} }".[/mm]
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> Die Seite mit dem Doppelintegral ist mir klar gewesen,
> jedoch hätte ich bei der anderen Seite noch Fragen.
> Geometrisch gesehen habe wir doch einen Kegel, der auf der
> z-Achse bei 1 und zwei begrenzt wird, also quasi einen
> Kegelstumpf, ne?
Es ist wichtig, dass du zwischen Körpern (mit Volumen)
und Flächen unterscheidest.
Das Flächenstück S ist die Mantelfläche des Kegelstumpfs K,
welch letzteren ich als einen Körper bzw. ein 3D-Raumgebiet
betrachten würde.
S muss orientiert werden, indem man sich entweder für den
einen oder den anderen möglichen Normaleneinheitsvektor
entscheidet. Wählen wir also z.B. denjenigen, der von einem
Punkt [mm] P\in{S} [/mm] jeweils ins Äußere von K zeigt.
> Jetzt haben wir in der Übung gesagt, dass [mm]\partial[/mm] S (der
> Rand) = [mm]C_1 \cup C_2[/mm] ist mit [mm]C_k=\{(x,y,z) \in \IR^3: x^2+y^2=k^2; z=k\}[/mm]
> mit k=1,2.
> Jetzt stellt sich mir die Frage: [mm]C_1[/mm] und [mm]C_2[/mm] sind doch nur
> zwei Kreise, warum gehört zum Rand von S nicht auch die
> "Außenummantellung" des Kegelstumpfes???
Auch hier: Dimensionen klar auseinanderhalten: [mm] C_1 [/mm] und [mm] C_2
[/mm]
sind nicht (2D-) Kreisscheiben, sondern (1D-) Kreislinien !
> Dann wurde [mm]C_k[/mm] parametrisiert durch [mm]\gamma_k:[0;2\pi] \to \IR^3[/mm]
> mit [mm]\gamma_k=(k*cos(\phi), k*sin(\phi),[/mm] k), also ja
> Zylinderkoordinaten.
>
> Jetzt wurde gesagt: "Dabei ist [mm]\gamma_1[/mm] verträglich mit
> [mm]\vec{n}[/mm] orientert, während [mm]\gamma_2[/mm] entgegengesetzt zu der
> von [mm]\vec{n}[/mm] induzierten Orientierung ist." (--> [mm]\vec{n}[/mm]
> wurde oben berechnet als [mm]\frac{1}{\w(2)}(cos(\theta), sin(\theta),[/mm]
> -1) )
> Woher weiss ich, welches meiner Gammas richtig orientiert
> ist??? Liegt das daran, dass [mm]\vec{n}[/mm] in der z-KOmponente
> ein -1 hat, also nach unten zeigt und [mm]\gamma_1[/mm] ja gerade
> den unteren Kreisring beschreibt, ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Kreisring ??? Nee !
> wärend es für [mm]\gamma_2[/mm]
> ein nach oben gerichteter Normalenvektor sein müsste??!
Der Rand [mm] \partial{S} [/mm] muss für die Integration so durchlaufen
werden, dass das umlaufene Flächenstück S jeweils links von
der Kurve liegt, wenn man den Kegelstumpf K von außen
betrachtet. Dann ist klar, dass die Kreislinien [mm] C_1 [/mm] und [mm] C_2
[/mm]
in gegenläufigem Umlaufsinn durchwandert werden müssen.
LG Al-Chwarizmi
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Hm, das mit der Orientierung will mir nicht ganz einleuchten...
Was genau, bzw. warum braucht man eigtl. diesen Normalenvektor und wie sehe ich bei der Aufgabe genau, wie die Orientierung ist?...
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> Hm, das mit der Orientierung will mir nicht ganz
> einleuchten...
> Was genau, bzw. warum braucht man eigtl. diesen
> Normalenvektor und wie sehe ich bei der Aufgabe genau, wie
> die Orientierung ist?...
Du weißt (so ungefähr), was man unter dem "Uhrzeigersinn"
versteht, oder ?
Nun stell dir vor, du bist Uhrmeister in einem Kirchturm
aus dem 14. Jahrhundert. Wenn du zum Turm hingehst
und zum Zifferblatt hochschaust, so drehen sich die Zeiger -
wer hätte das gedacht - im Uhrzeigersinn.
Nun steigst du die 268 Stufen durch enge Wendeltreppen
hoch bis zum Uhrwerk mit seinen großen und kleineren
Zahnrädern. Durch einige Nischen hindurch siehst du auch,
wie sich die großen Uhrzeiger langsam drehen: in welchem
Drehsinn ? ... im Gegenuhrzeigersinn !
Und was ist die Lehre aus dieser Betrachtung: einen
Drehsinn einer in einer Ebene stattfindenden Drehung
kann man nur dann eindeutig festlegen, wenn vorher
festgelegt ist, von welcher Seite her man auf die Ebene
blickt !
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:22 Mi 20.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu 1 Es geht um die Randkurven, also die beiden Kreise, die alle 3 Flächenstücke beranden.
zu 2: man muss immer so umlaufen, dass die Fläche auf der linken Seite bleibt
Gruss leduart
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Danke schonmal für die Antwort, aber mein Problem besteht immer noch in der Vorstellung von Punkt 2, also wie man da laufen muss, damit ich die Fläche auf der linken Seite habe...
Warum geht es beim unteren Kreis, aber beim oberen nicht?! Kann man sich das irgendwie bildlich veranschaulichen?
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man kann es sogar berechnen ;)
hausnummer du hast nen normalvektor (0,1,-1) und der "test-punkt" lautet (0,-2,1) dann schaut der normalvektor in die falsche richtung ... (das ding schaut in die entgegengesetzte richtung)
da gehts im endeffekt um die orientierung
ich hoffe ich hab deine frage richtig verstanden ^^
LG
EDIT: Damit ich dich nicht verwirre: du musst als erstes deinen Normalvektor berechnen und anschließend feste Werte einsetzten und die selben setzt du auch für deinen "Test-Punkt" ein. Wenn dein Normalvektor nicht die selben Vorzeichen hat musst du diesen mit (-1) multiplizieren.
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