Satz von Vieta < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:54 So 30.01.2005 | | Autor: | fidelio |
hallo und schönne sonntag nachmittag - habe mal wieder ein problem!
folgende gleichung ist gegeben: 2x²+x+a=0 x1=3 die aufgabe lautet: vervollständigen sie die aufgabe!
na gut wäre auch nicht wirklich das große problem denn dafür gib es ja den satz von vieta:
[mm] x²+px+q=(x-x_{1})\*(x-x_{2})
[/mm]
spriche die obige gleichung durch 2 dividieren und dann den satz von vieta verwenden also:
[mm] x²+\bruch{1}{2}x+\bruch{1}{2}a=x²-(3+x_{2})\*x+(3\*x_{2})
[/mm]
super .....dachte ich und jetzt weiß ich nicht mehr weiter.....
ich bitte euch um hilfe - ein kleiner denkanstoß würde mit schon weiterhelfen!
lg
fidelio
ps: habe in der mathedatenbank schon nachgelesen - bestättigt eigentlich nur, daß das obig von mir geschriebene richtig seinsollte!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:33 So 30.01.2005 | | Autor: | cirrus |
Hallo,
also x²+px+q=0 kenne ich unter dem Namen p-q-Formel. Unter Vietscher Wurzelsatz habe ich folgendes gefunden:
(x-x1)*(x-x2)=x²-(x1+x2)+x1*x2
wobei x1+x2=p und x1*x2=q (wäre also wieder meine p-q Formel)
Laut deiner Aufgabe ist p=1/2 und q= a/2
daraus folgt: x1,2 = -p/2 [mm] \pm \wurzel{(p/2)²-q}
[/mm]
x1,2= -1/4 [mm] \pm \wurzel{(1/4)²-a/2}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 So 30.01.2005 | | Autor: | fidelio |
hi,
da gebe ich dir recht nur was ist die wurzel aus a/2???
aus meiner sicht der dinge soll man dieses beispiel mit dem satz von vieta lösen und dann die gleichung vervollständigen mit den werten die für p und q ermittelt werden durch die lösung in x1 und x2
gruß
stephan
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Hallo Stephan,
> hallo und schönne sonntag nachmittag - habe mal wieder ein problem!
nur eins? 
> hi,
> da gebe ich dir recht nur was ist die wurzel aus a/2???
> aus meiner sicht der dinge soll man dieses beispiel mit
> dem satz von vieta lösen und dann die gleichung
> vervollständigen mit den werten die für p und q ermittelt
> werden durch die lösung in x1 und x2
>
cirrus schrieb:
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[mm] (x-x_1)*(x-x_2)=x²-(x_1+x_2)+x_1*x_2
[/mm]
wobei [mm] x_1+x_2=p [/mm] und [mm] x_1*x_2=q [/mm] (wäre also wieder meine p-q Formel)
Laut deiner Aufgabe ist p=1/2 und q= a/2
daraus folgt: x1,2 = -p/2 $ [mm] \pm \wurzel{(p/2)²-q} [/mm] $
x1,2= -1/4 $ [mm] \pm \wurzel{(1/4)²-a/2} [/mm] $
---
Nun weißt du doch, dass [mm] x_1 [/mm] = 3 sein soll:
[mm] $x_{1,2}= [/mm] -1/4 [mm] \pm \wurzel{(1/4)^2- a/2}= [/mm] 3 $
Rechter Teil der Gleichung:
[mm] $\pm \wurzel{(\bruch{1}{4})^2 - \bruch{a}{2}}= [/mm] 3 + [mm] \bruch{1}{4} [/mm] = [mm] \bruch{13}{4}$ [/mm] quadrieren:
[mm] $\bruch{1}{16} [/mm] - [mm] \bruch{a}{2} [/mm] = [mm] (\bruch{13}{4})^2 [/mm] = [mm] \bruch{169}{16}$
[/mm]
$ - [mm] \bruch{a}{2} [/mm] = [mm] \bruch{169}{16}-\bruch{1}{16}$ [/mm] | *(-2)
$ a = -2* [mm] \bruch{168}{16} [/mm] = -21$
Alles klar?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:45 So 30.01.2005 | | Autor: | fidelio |
hallo informix!
nun ich habe "heute" wirklich nur dieses eine problem!!!
zu deiner antwort möchte ich gerne bemerken, daß die ursprüngliche gleichung folgend ausgesehen hat:
2x²+x+a=0
nur habe ich diese gleichung durch 2 dividiert um ein "reines"x² zu bekommen, daher ist dann natürlich aus [mm] x\rightarrow x\bruch{1}{2}und [/mm] aus [mm] a\rightarrow a\bruch{1}{2}
[/mm]
ich hätte de facto mit der lösung aus deiner antwort nur die halbe gleichung!?
sprich es müßte dann die vollständige gleichung heißen 2x²+x-21=0
was meinst du dazu?
bitte um info und danke im voraus
stephan
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hallo Stephan!
> zu deiner antwort möchte ich gerne bemerken, daß die
> ursprüngliche gleichung folgend ausgesehen hat:
>
> 2x²+x+a=0
>
> nur habe ich diese gleichung durch 2 dividiert um ein
> "reines"x² zu bekommen, daher ist dann natürlich aus
> [mm]x\rightarrow x\bruch{1}{2}und[/mm] aus [mm]a\rightarrow a\bruch{1}{2}[/mm]
völlig richtig: du veränderst die Nullstellen nicht, wenn du einen Term mit einem konstanten Faktor ( [mm] \not= [/mm] 0) multiplizierst.
>
> ich hätte de facto mit der lösung aus deiner antwort nur
> die halbe gleichung!?
durchaus nicht.
> sprich es müßte dann die vollständige gleichung heißen
> 2x²+x-21=0 ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> was meinst du dazu?
so ist es.
offensichtlich habe diese beiden Gleichungen dieselben Nullstellen:
$2*(x-3)(x+3,5) = 0 = (x-3)(x+3,5) $ : Hauptsache, (mind.) eine Klammer wird Null.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:56 So 30.01.2005 | | Autor: | fidelio |
hallo informix,
danke für die info
gruß
stephan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:44 So 30.01.2005 | | Autor: | Fugre |
> hallo und schönne sonntag nachmittag - habe mal wieder ein
> problem!
>
>
> folgende gleichung ist gegeben: 2x²+x+a=0 x1=3 die
> aufgabe lautet: vervollständigen sie die aufgabe!
>
> na gut wäre auch nicht wirklich das große problem denn
> dafür gib es ja den satz von vieta:
>
> [mm]x²+px+q=(x-x_{1})\*(x-x_{2})
[/mm]
>
> spriche die obige gleichung durch 2 dividieren und dann den
> satz von vieta verwenden also:
>
>
> [mm]x²+\bruch{1}{2}x+\bruch{1}{2}a=x²-(3+x_{2})\*x+(3\*x_{2})
[/mm]
>
> super .....dachte ich und jetzt weiß ich nicht mehr
> weiter.....
>
> ich bitte euch um hilfe - ein kleiner denkanstoß würde mit
> schon weiterhelfen!
> lg
> fidelio
>
> ps: habe in der mathedatenbank schon nachgelesen -
> bestättigt eigentlich nur, daß das obig von mir
> geschriebene richtig seinsollte!
>
>
Hallo Stephan,
diese Aufgabe kann man sicherlich auch wunderbar mit dem Satz von Vieta lösen, ich möchte dir aber eine vielleicht einfachere Möglichkeit eröffnen.
Wir haben die Funktion [mm] $f(x)=2x^2+x+a$ [/mm] und wir wissen, dass sie eine Nullstelle bei [mm] $x_0=3$ [/mm] hat.
[mm] $\rightarrow [/mm] f(3)=18+3+a=0 $ Jetzt nach $a$ auflösen und wir erhalten $a=-21$.
Eine andere Möglichkeit wäre auch die Anwendung der pq-Formel.
[mm] $x_{1,2}=-\bruch{1}{4} \pm \wurzel{\bruch{1}{16}-\bruch{a}{2}}$
[/mm]
Der Wert der Wurzel muss nun $3+0,25$ betragen. Wir kommen wieder auf das gleiche Ergebnis wie oben und freuen uns, dass
wir höchstwahrscheinlich richtig gerechnet haben. 
Soll diese Aufgabe denn mit dem Satz des Vieta gelöst werden? Wenn ja dann melde dich einfacn noch mal, das kriegen wir sicherlich auch hin.
Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte. Sollte etwas unklar sein, so frag bitte nach.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 So 30.01.2005 | | Autor: | fidelio |
hi,
danke für den lösungsansatz,
doch verstehe ich nicht wie du darauf kommst, daß der wert unter der wurzel 3+0,25 betragen muß?
und wie sieht dann die gleichung vollständig aus?
sprich wie groß ist p und wie groß ist q?
alle diese punte sollten eigentlich mit dem satz von vieta lösbar sein doch weiß ich eben nach meinem ansatz nicht weiter!
gruß
stephan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:27 So 30.01.2005 | | Autor: | Fugre |
> hi,
> danke für den lösungsansatz,
>
> doch verstehe ich nicht wie du darauf kommst, daß der wert
> unter der wurzel 3+0,25 betragen muß?
>
> und wie sieht dann die gleichung vollständig aus?
>
> sprich wie groß ist p und wie groß ist q?
>
> alle diese punte sollten eigentlich mit dem satz von vieta
> lösbar sein doch weiß ich eben nach meinem ansatz nicht
> weiter!
>
> gruß
> stephan
>
Hallo Stephan,
also da steht dann $ [mm] x_{1,2}=-\bruch{1}{4} \pm \wurzel{\bruch{1}{16}-\bruch{a}{2}} [/mm] $.
Spalten wir diese Gleichung in 2 auf, so erhalten wir:
(1) [mm] $x_1=-\bruch{1}{4} [/mm] + [mm] \wurzel{\bruch{1}{16}-\bruch{a}{2}} [/mm] $
(2) [mm] $x_2=-\bruch{1}{4} [/mm] - [mm] \wurzel{\bruch{1}{16}-\bruch{a}{2}} [/mm] $
Wenn wir diese Gleichungen betrachten, sehen wir, dass [mm] $x_2$ [/mm] maximal $-0,25$ ist, also kann es nicht $3$ sein.
Also kann unser [mm] $x_1$ [/mm] nur in der ersten Gleichung $3$ sein. Jetzt steht vor der Wurzel $-0,25$ und wir wissen,
dass [mm] $x_1=3$ [/mm] ist. Wir können schreiben $3=-0,25 + [mm] \wurzel{\bruch{1}{16}-\bruch{a}{2}} [/mm] $, jetzt auf beiden Seiten
$|+0,25$ und wir erhalten [mm] $3,25=\wurzel{\bruch{1}{16}-\bruch{a}{2}} [/mm] $
Das sollte die erste Frage beantwortet haben. Wenden wir uns nun der 2. zu. Die Größe von $p$ war uns schon immer
bekannt, sie beträgt $0,5$. $q$ ist $0,5*a$ , also $q=-10,5$ .
Liebe Grüße
Fugre
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:22 Mo 31.01.2005 | | Autor: | pold |
Nach Vieta ist die Lösung:
p = [mm] -(x_{1}+x_{2})
[/mm]
q = [mm] x_{1}*x_{2}
[/mm]
d.h
[mm] -(3+x_{2}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \Rightarrow x_{2} [/mm] = [mm] -\bruch{7}{2}
[/mm]
und aus [mm] x_{2} [/mm] = [mm] \bruch{a}{6} \Rightarrow [/mm] a = -21
die Gleichung lautet also: [mm] 2x^{2} [/mm] + x - [mm] \bruch{21}{2}
[/mm]
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