Satzbeweis - Basis von UVR < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:40 Fr 25.11.2011 | | Autor: | RoughNeck |
| Aufgabe | Sei V ein [mm] \IK [/mm] - Vektorraum und [mm] B:=(b_1,...,b_n) [/mm] eine Basis von V. Sei v:= [mm] \alpha_1 b_1 +...+\alpha_n b_n [/mm] mit [mm] \alpha_i \in\ \IK [/mm] für i=1,...,n.
Zeige:
[mm] B':=(b_1-v,...,b_n-v) [/mm] Basis von V [mm] \gdw \alpha_1 +...+\alpha_n \not= [/mm] 1 |
Hallo liebe Leser.
Ich komme bei diesem Beweis leider überhaupt nicht voran. Das liegt daran, dass ich mir nicht erklären kann, wieso gelten muss [mm] \alpha_1 +...+\alpha_n \not= [/mm] 1 damit diese Äquivalenz gilt.
Vielleicht könnte mir jemand einen Tipp geben?
Liebe Grüße,
euer Roughi
PS: Und wieder: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei V ein [mm]\IK[/mm] - Vektorraum und [mm]B:=(b_1,...,b_n)[/mm] eine Basis
> von V. Sei v:= [mm]\alpha_1 b_1 +...+\alpha_n b_n[/mm] mit [mm]\alpha_i \in\ \IK[/mm]
> für i=1,...,n.
> Zeige:
> [mm]B':=(b_1-v,...,b_n-v)[/mm] Basis von V [mm]\gdw \alpha_1 +...+\alpha_n \not=[/mm]
> 1
> Hallo liebe Leser.
>
> Ich komme bei diesem Beweis leider überhaupt nicht voran.
Hallo,
statt einer Aussage A ==> B kannst Du auch die Kontraposition nichtB ==> nichtA zeigen.
Vielleicht hilft Dir das bei einer der Richtungen.
Es wäre auch gut, wenn man mal Deine Beweisansätze sehen könnte.
Schreib genau auf, was Du zeigen möchtest, was die Voraussetzung ist, und was Du für die zu zeigende Aussage nachweisen mußt.
Oft liegt in diesen Überlegungen schon der Schlüssel zur Lösung.
Gruß v. Angela
> Das liegt daran, dass ich mir nicht erklären kann, wieso
> gelten muss [mm]\alpha_1 +...+\alpha_n \not=[/mm] 1 damit diese
> Äquivalenz gilt.
>
> Vielleicht könnte mir jemand einen Tipp geben?
>
> Liebe Grüße,
>
> euer Roughi
>
> PS: Und wieder: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf
> anderen Internetseiten gestellt.
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Das ist leider im Grunde mein Problem. Ich verstehe nicht einmal ansatzweise, wieso diese [mm] \alpha_i [/mm] aufaddiert [mm] \not=1 [/mm] sein müssen. Ich hab das Problem mit der Addition dieser [mm] \alpha_i [/mm] ´s... Wieso dürfen die aufaddiert nicht 1 sein? Wenn ich mir das so vorstelle, denke ich, die [mm] b_i [/mm] ´s sind Vektoren und dann haben an sich, durch die lineare Unabhängigkeit die nicht einmal was miteinander zu tun und werden nicht einmal aufaddiert, wenn man beispielsweise annimmt:
[mm] b_i=e_i [/mm] mit i=1,2,3 die Einheitsvektoren des [mm] \IR^3. [/mm] Dann würde wenn die [mm] \alpha_i [/mm] ´s =0 wären auch =0 rauskommen, dass würde für mich Sinn machen. Aber von mir aus können doch die [mm] \alpha_i [/mm] ´s aufaddiert werden und =1 sein, dann ist das trotzdem ne Basis...
Fang ich mal so an.
Die [mm] b_i´s [/mm] sind wirklich Vektoren?
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Noch ein wenig genauer mein Beispiel.
B= [mm] \{\vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0\\ 1\\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1}}
[/mm]
seien [mm] \alpha_1 =\alpha_2 =\alpha_3 [/mm] = 1/3
=> B'= [mm] \{\vektor{2/3 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0\\ 2/3\\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 2/3}}
[/mm]
und das ist eine Basis mit [mm] \alpha_1 +\alpha_2 +\alpha_3 [/mm] = 1.
Ich versteh das nicht...
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> Noch ein wenig genauer mein Beispiel.
>
> B= [mm]\{\vektor{1 \\
0 \\
0}, \vektor{0\\
1\\
0}, \vektor{0 \\
0 \\
1}}[/mm]
>
> seien [mm]\alpha_1 =\alpha_2 =\alpha_3[/mm] = 1/3
Dann ist [mm] v=\vektor{1/3\\1/3\\1/3}
[/mm]
>
> => B'= [mm]\{\vektor{2/3 \\
\red{-1/3} \\
\red{-1/3}}, \vektor{\red{-1/3}\\
2/3\\
\red{-1/3}}, \vektor{\red{-1/3} \\
\red{-1/3} \\
2/3}}[/mm]
>
> und das ist eine Basis mit [mm]\alpha_1 +\alpha_2 +\alpha_3[/mm] =
> 1.
>
> Ich versteh das nicht...
Die sind linear abhängig.
Gruß v. Angela
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> Das ist leider im Grunde mein Problem. Ich verstehe nicht
> einmal ansatzweise, wieso diese [mm]\alpha_i[/mm] aufaddiert [mm]\not=1[/mm]
> sein müssen.
Hallo,
daß mußt Du auch nicht aus dem Stand verstehen, es sollte sich im Laufe des Beweises ergeben.
> Ich hab das Problem mit der Addition dieser
> [mm]\alpha_i[/mm] ´s... Wieso dürfen die aufaddiert nicht 1 sein?
> Wenn ich mir das so vorstelle, denke ich, die [mm]b_i[/mm] ´s sind
> Vektoren und dann haben an sich, durch die lineare
> Unabhängigkeit die nicht einmal was miteinander zu tun und
> werden nicht einmal aufaddiert, wenn man beispielsweise
> annimmt:
>
> [mm]b_i=e_i[/mm] mit i=1,2,3 die Einheitsvektoren des [mm]\IR^3.[/mm] Dann
> würde wenn die [mm]\alpha_i[/mm] ´s =0 wären auch =0 rauskommen,
> dass würde für mich Sinn machen. Aber von mir aus können
> doch die [mm]\alpha_i[/mm] ´s aufaddiert werden und =1 sein, dann
> ist das trotzdem ne Basis...
Okay. Wir prüfen die Sache mal an Deinem Beispiel.
Die [mm] b_i [/mm] sind die Standardvektoren des [mm] \IR^3.
[/mm]
Jetzt nehmen wir mal [mm] v:=\vektor{0.5\\0.4\\0.1}
[/mm]
[mm] b_1-v=\vektor{0.5\\-0.4\\-0.1}
[/mm]
[mm] b_2-v=\vektor{-0.5\\0.6\\-0.1}
[/mm]
[mm] b_3-v=\vektor{-0.5\\-0.4\\0.9}
[/mm]
Was stellen wir fest?
Sie sind linear abhängig.
Was ist zu tun?
Ich würde sagen:vorerst das Philosophieren einstellen, wirklich mal die zu beweisenden Behauptungen hinschreiben, sich überlegen, was man dafür zu zeigen hat - wie ich halt schon schrieb.
Ich möchte Dir das nicht abnehmen.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:30 So 27.11.2011 | | Autor: | Ashley22 |
Hallo, ich sitze im Moment an der selben Aufgabe von wollte fragen, ob ich die Hinrichtung mit einem Wiederspruchsbeweis angehen kann?
Wenn ich also sage a1+,..+an=1 bedeutet das dann, dass a1+,...,+an linear abhängig ist?
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> Hallo, ich sitze im Moment an der selben Aufgabe von wollte
> fragen, ob ich die Hinrichtung mit einem
> Wiederspruchsbeweis angehen kann?
Hallo,
mit einem Widerspruchsbeweis.
>
> Wenn ich also sage a1+,..+an=1 bedeutet das dann, dass
> a1+,...,+an linear abhängig ist?
???
Auf dem Hinweg ist zu zeigen, daß aus der linearen Unabhängigkeit von B' folgt, daß [mm] a_1+...+a_n\not=1.
[/mm]
Dies kannst Du in der Tat mit einem Widerspruchsbeweis versuchen.
Nimm an, daß B' linear unabhängig ist und daß [mm] a_1+...+a_n=1 [/mm] ist, und führe dies dann zu einem Widerspruch.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 Mo 28.11.2011 | | Autor: | Ashley22 |
Irgendwie weiß ich nicht so richtig wie ich das dann angehen muss.
Was bedeutet es denn für B' wenn a1,...,an=0 wäre?
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> Irgendwie weiß ich nicht so richtig wie ich das dann
> angehen muss.
>
> Was bedeutet es denn für B' wenn a1,...,an=0 wäre?
Hallo,
???
Dann wäre B'=B.
Wie kommst Du auf [mm] a_1,...,a_n=0?
[/mm]
Ich kann Deinen Gedanken nicht folgen.
Gehen wir's mal an.
Du sollst zeigen, daß B' linear unabhängig ist.
Was ist dafür zu zeigen?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:17 Di 29.11.2011 | | Autor: | Ashley22 |
Oh ja tut mir leid da hatte ich mich verschrieben ich meinte a1+...+an=1 wegen des Wiederspruchbeweises.
um zu zeigen, dass B' linear unabängig ist muss ich zeigen, dass (b1-v,...,bn-v)=0 gilt, oder? aber wie soll das gehen und ist das überhaupt notwendig? Soll ich nich eigentlich nur die Äquivalenz zwischen V und a1,...,an ungleich 1 zeigen?
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Also ich denke, wir müssen zeigen, dass aus der linearen Unabhängigkeit
[mm] \lambda_1 (b_1 [/mm] - v) + [mm] \lambda_2 (b_2 [/mm] - v) +...+ [mm] \lambda_n (b_n [/mm] -v) = 0
=> [mm] \lambda_1 [/mm] = [mm] \lambda_2 [/mm] = ... = [mm] \lambda_n [/mm] = 0 mit [mm] \lambda_i \in\ \IK
[/mm]
mit den v´s ausgeschrieben:
[mm] \lambda_1 (b_1 [/mm] - [mm] \alpha_1 b_1 [/mm] - ... - [mm] \alpha_n b_n) [/mm] + [mm] \lambda_2 (b_2 [/mm] - [mm] \alpha_1 b_1 [/mm] - ... - [mm] \alpha_n b_n) [/mm] +...+ [mm] \lambda_n (b_n -\alpha_1 b_1 [/mm] - ... - [mm] \alpha_n b_n) [/mm] = 0
=> [mm] \lambda_1 [/mm] = [mm] \lambda_2 [/mm] = ... = [mm] \lambda_n [/mm] = 0 mit [mm] \lambda_i \in\ \IK [/mm] folgt, dass die [mm] \alpha_i [/mm] aufaddiert [mm] \not=1 [/mm] sein müssen, damit die lineare Unabhängigkeit bestehen bleibt.
Aber ich habe keine Ahnung wie man da vorgehen könnte. Die [mm] \lambda_i [/mm] ´s sind doch sowieso =0 für lineare Unabhängigkeit, also versteh ich nicht, wieso da jetzt nun folgen sollte, dass gerade die [mm] \alpha_i [/mm] ´s aufaddiert [mm] \not=1 [/mm] sein dürfen...
Für die Rückrichtung weiß man ja, dass das nicht gelten darf, damit die Basis B' ihre lineare Unabhängigkeit erhält. Aber auch hier, man muss doch irgendwie durch Umformungen die [mm] \alpha_i [/mm] aufaddiert da stehen haben, dass kriege ich aber leider nicht hin.
Brauch man das überhaupt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:10 Mi 30.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
die [mm] \lambda [/mm] müssen 0 sein, das musst du benutzen, und dass
[mm] \alpha_1*b1+\alpha_2 [/mm] b2 + [mm] \alpha_n*bn=0 [/mm] nur füe alle [mm] \alpha_i=0 [/mm] gilt.
die Gl mit den lambda kann man umschreiben zu
(....)b1+(...)b2+....=0 nur wenn alle klammern 0 sind.in den klammern kommen die [mm] \lambdas [/mm] vor!
aus (...)=0 muss [mm] \\lambda_i=0 [/mm] folgen
(Ich habs erstmal in [mm] R^2 [/mm] probiert, da sieht man wie es läuft.)
Gruss leduart
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> um zu zeigen, dass B' linear unabängig ist muss ich
> zeigen, dass (b1-v,...,bn-v)=0 gilt, oder?
Hallo,
nein.
Die Vektoren sind linear unabhängig, wenn aus
[mm] \lambda_1(b_1-v)+....+\lambda_n(b_n-v)=0 [/mm] folgt, daß zwangsläufig alle [mm] \lambda_i [/mm] =0 sind.
Gibt es auch andere Lösungen, so sind die Vektoren linear abhängig.
> aber wie soll
> das gehen und ist das überhaupt notwendig? Soll ich nich
> eigentlich nur die Äquivalenz zwischen V und a1,...,an
> ungleich 1 zeigen?
???
Du hast die Aufgabe überhaupt nicht verstanden.
Was sollte denn das für eine Äquivalenz sein? Weißt Du, was ein VR ist?
Wie kann der äquivalent zu einer Ungleichung sein? Mannomann.
Nochmal, was zu zeigen ist - obgleich es ja in der Aufgabenstellung steht.
Gegeben hast Du einen K-Vektorraum V und eine Basis [mm] B:=(b_1,...,b_n), [/mm] sowie einen Vektor [mm] v:=a_1b_1+...+a_nb_n [/mm] mit [mm] a_i\in [/mm] K.
Behauptet wird nun zweierlei:
A.
Wenn auch [mm] B':=(b_1-v,...,b_n-v) [/mm] eine Basis von V ist, dann kann es nicht anders sein, als daß [mm] a_1+...+a_n\not=1 [/mm] ist.
B. Sofern [mm] a_1+...+a_n\not=1, [/mm] dann ist [mm] B':=(b_1-v,...,b_n-v) [/mm] automatisch eine Basis.
Es ist allerdings sinnlos, irgendwelche Lösungsversuche zu machen, solange Du nicht weißt, was sich hinter den Begriffen Vektorraum, linear unabhängig, Basis verbirgt. Das mußt Du unbedingt nacharbeiten, denn wie willst Du sonst mit den Begriffen arbeiten?
zu A.
Deine Idee war ja ein Widerspruchsbeweis.
Sei also B' eine Basis. Das bedeutet, daß nur die triviale Linearkombination der n Vektoren die Null ergeben kann.
Nimm nun an, daß die Summe der [mm] a_i [/mm] die 1 ergibt.
Jetzt zeige, daß es in diesem Fall eine nichttriviale Linearkombination der Vektoren von B' gibt, welche 0 ergibt. Damit hast Du Deinen Widerspruch. Also kann die Summe der [mm] a_i [/mm] nicht 1 sei, wenn B' linear unabhängig ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:30 Mi 30.11.2011 | | Autor: | Balodil |
Dann stell ich folgendes auf:
[mm] \lambda_1 (b_1 [/mm] - [mm] (a_1b_1 [/mm] + ... + [mm] a_nb_n)) [/mm] + ... + [mm] \lambda_n (b_n [/mm] - [mm] (a_1b_1 [/mm] + ... + [mm] a_nb_n)) [/mm] = 0
So jetzt habe ich das erstmal der einfachheithalber in [mm] \IR^2 [/mm] betrachtet:
[mm] \lambda_1 (b_1 [/mm] - [mm] (a_1b_1 [/mm] + [mm] a_2b_2)) [/mm] + [mm] \lambda_2 (b_2 [/mm] - [mm] (a_1b_1 [/mm] + [mm] a_2b_2))
[/mm]
Und nach unserer Annahme soll [mm] a_1 [/mm] + [mm] a_2 [/mm] = 1
Sei nun [mm] a_1 [/mm] = 1 und [mm] a_2 [/mm] = 0
Dann hebt sich beim ersten das [mm] b_1 [/mm] weg und das [mm] b_2 [/mm] wird ebenfalls zu 0, also ist die Klammer bereits null und das [mm] \lambda [/mm] kann jede beliebige Zahl annehmen es muss also nicht zwangsläufig null sein.
Ist das die Idee dahinter?
oder Humbug?
lg
Balodil
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:46 Mi 30.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Dann stell ich folgendes auf:
Ich vermute, Du machst Dich über A her, so wie es Angela vorgeschlagen hat.
>
> [mm]\lambda_1 (b_1[/mm] - [mm](a_1b_1[/mm] + ... + [mm]a_nb_n))[/mm] + ... + [mm]\lambda_n (b_n[/mm]
> - [mm](a_1b_1[/mm] + ... + [mm]a_nb_n))[/mm] = 0
Was soll das ? Nach Vor. sind doch
[mm] $b_1-v,...,b_n-v$ [/mm]
linear unabhängig.
>
> So jetzt habe ich das erstmal der einfachheithalber in
> [mm]\IR^2[/mm] betrachtet:
> [mm]\lambda_1 (b_1[/mm] - [mm](a_1b_1[/mm] + [mm]a_2b_2))[/mm] + [mm]\lambda_2 (b_2[/mm] -
> [mm](a_1b_1[/mm] + [mm]a_2b_2))[/mm]
>
> Und nach unserer Annahme soll [mm]a_1[/mm] + [mm]a_2[/mm] = 1
> Sei nun [mm]a_1[/mm] = 1 und [mm]a_2[/mm] = 0
Das kannst Du nicht machen.
Für [mm]a_1[/mm] + [mm]a_2[/mm] = 1 gibt es unendlich viele Möglichkeiten !
> Dann hebt sich beim ersten das [mm]b_1[/mm] weg und das [mm]b_2[/mm] wird
> ebenfalls zu 0, also ist die Klammer bereits null und das
> [mm]\lambda[/mm] kann jede beliebige Zahl annehmen es muss also
> nicht zwangsläufig null sein.
>
> Ist das die Idee dahinter?
> oder Humbug?
Humbug !
Wir setzen Voraus, dass
$ [mm] b_1-v,...,b_n-v [/mm] $
linear unabhängig sind. Zu zeigen: [mm] a_1+...+a_n \ne [/mm] 1.
Annahme: [mm] a_1+...+a_n [/mm] = 1.
Damit berechne
[mm] a_1(b_1-v)+...+a_n(b_n-v).
[/mm]
Siehst Du den Widerspruch ?
FRED
>
> lg
> Balodil
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:57 Mi 30.11.2011 | | Autor: | Balodil |
Damit wäre die lineare Unabhängigkeit von [mm] (b_1 [/mm] - v, ..., [mm] b_n [/mm] - v) nicht mehr gegeben oder?
Und damit hätten wir einen Widerspruch zu [mm] a_1 [/mm] + ... + [mm] a_n [/mm] = 1
Und es muss gelten [mm] a_1 [/mm] + ... + [mm] a_n \not= [/mm] 1
Aber gilt das dann nicht auch für [mm] a_1 [/mm] + ... + [mm] a_n \not= [/mm] 2 ???
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Hallo,
> Damit
Womit genau?
Mir ist nicht klar, ob Du es verstanden hast.
> wäre die lineare Unabhängigkeit von [mm](b_1[/mm] - v, ...,
> [mm]b_n[/mm] - v) nicht mehr gegeben oder?
> Und damit hätten wir einen Widerspruch zu [mm]a_1[/mm] + ... + [mm]a_n[/mm]
> = 1
> Und es muss gelten [mm]a_1[/mm] + ... + [mm]a_n \not=[/mm] 1
Ja.
>
> Aber gilt das
Was denn genau?
> dann nicht auch für [mm]a_1[/mm] + ... + [mm]a_n \not=[/mm] 2
> ???
Formuliere Deine Behauptung.
Bastele Dir ein paar Beispiele.
Findest Du ein Gegenbeispiel? Dann gilt die Behauptung nicht.
Findest Du keins, so versuche einen Beweis.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:21 Mi 30.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Damit wäre die lineare Unabhängigkeit von [mm](b_1[/mm] - v, ...,
> [mm]b_n[/mm] - v) nicht mehr gegeben oder?
Ja, aber warum ? Wo ist die zugeh. Rechnung ?
> Und damit hätten wir einen Widerspruch zu [mm]a_1[/mm] + ... + [mm]a_n[/mm] =1
Nein, nicht dazu, sondern zur Vor. dass [mm] b_1 [/mm] - v, ..., [mm]b_n[/mm] - v lin. unabhängig sind.
> Und es muss gelten [mm]a_1[/mm] + ... + [mm]a_n \not=[/mm] 1
Ja
>
> Aber gilt das dann nicht auch für [mm]a_1[/mm] + ... + [mm]a_n \not=[/mm] 2
> ???
Du bist entlarvt !!
Du hast überhaupt nicht begriffen, was es mit
[mm]a_1[/mm] + ... + [mm]a_n \not=[/mm] 1
auf sich hat.
FRED
>
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Ich komme nicht ganz mit euren Hilfen klar, tut mir leid.
Versuche ich es mal so, prinzipiell ohne sauberes ausformulieren an dieser Stelle: reicht es die Hinrichtung mit einem Widerspruch zu zeigen?
Seien [mm] \alpha_i [/mm] aufaddiert=1 .... ein Gegenbeispiel hinschreiben und darauß folgt der Widerspruch, also müssen sie ungleich 1 sein? Ich versteh nicht worauf ihr hinaus wollt (meine das nicht böse, aber ich fang gleich an zu weinen xD)...
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Hallo,
Vorraussetzung: B' sei eine Basis => [mm] a_1(b_1-v)+...+a_n(b_n-v) [/mm] = 0
Mit dern Annahme [mm] a_1+...+a_n [/mm] = 1 folgern, dass B' keine Basis ist.
Damit machst du einen Widerspruchsbeweis:
[mm] \neg [/mm] (B' ist Basis von V) => [mm] \neg (a_1+...+a_n [/mm] = 1)
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 18:54 Mi 30.11.2011 | | Autor: | RoughNeck |
Das heißt also ich nehme erneut die [mm] \alpha_i [/mm] wieder für die lineare Unabhängigkeit? Darf ich das einfach machen?
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Ha ich hab's verstanden. So geht das auch auf. Vielen Dank. Für die Rückrichtung kann man das gleiche annehmen? Ist ja dann fast zweimal das Gleiche wenn ich das gerade richtig sehe?
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> Ha ich hab's verstanden. So geht das auch auf. Vielen Dank.
> Für die Rückrichtung kann man das gleiche annehmen? Ist
> ja dann fast zweimal das Gleiche wenn ich das gerade
> richtig sehe?
Hallo,
für den Rückweg mußt Du zeigen, daß aus
[mm] \summe a_i\not=1 [/mm] folgt, daß B' unabhängig ist.
Ob's das Gleiche ist, sieht man, wenn der Beweis steht.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:01 Mi 30.11.2011 | | Autor: | RoughNeck |
Das ist klar und ging recht einfach. Angela und alle anderen. Vielen Dank für eure Hilfen. Ich wusste nicht, dass ich die [mm] \alpha_i [/mm] 's auch noch davor schreiben darf. Das war der entscheidende Hinweis. Ansonsten muss ich sagen, war die Aufgabe ja dann doch deutlich leichter als gedacht. Aber gut zu wissen, dass man sowas darf und vor allem, darf man nicht zurückschrecken, wenn nach Umformungen gefragt ist von Gleichungen mit der Form [mm] b_1+...+b_n [/mm] . Sprich zwar endlich viele Summanden, aber letztendlich doch sehr sehr vielen...
Diese Aufgabe hat viel Verständnis gebracht, daher vielen Dank!:)
Mit lieben Grüßen,
euer Roughi
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:42 Mi 30.11.2011 | | Autor: | Balodil |
Also jetzt nochmal ein Versuch:
Vorraussetzung: B' ist linear unabhängig
Annahme: [mm] a_1 [/mm] + ... + [mm] a_2 [/mm] = 1
Führe [mm] a_1(b_1-v) [/mm] + ... + [mm] a_n(b_n [/mm] - v) = 0 zu einem Widerspruch
Zuerst habe ich alles aufgelöst und nach v umgestellt damit ergibt sich:
[mm] \bruch{a_1b_1 + ... + a_nb_n}{a_1 + ... + a_n} [/mm] = v
Das habe ich mir nochmal umgeschrieben zu:
[mm] \bruch{a_1}{a_1 + ... + a_n} b_1 [/mm] + ... + [mm] \bruch{a_n}{a_1 + ... + a_n} b_n [/mm] = v
Nur jetzt weiß ich nicht so recht wie ich damit umgehen soll bzw. was es mir sagt ...
vielen Dank!
lg Balodil
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:24 Do 01.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Also jetzt nochmal ein Versuch:
> Vorraussetzung: B' ist linear unabhängig
> Annahme: [mm]a_1[/mm] + ... + [mm]a_2[/mm] = 1
> Führe [mm]a_1(b_1-v)[/mm] + ... + [mm]a_n(b_n[/mm] - v) = 0 zu einem
> Widerspruch
>
> Zuerst habe ich alles aufgelöst und nach v umgestellt
> damit ergibt sich:
> [mm]\bruch{a_1b_1 + ... + a_nb_n}{a_1 + ... + a_n}[/mm] = v
>
> Das habe ich mir nochmal umgeschrieben zu:
> [mm]\bruch{a_1}{a_1 + ... + a_n} b_1[/mm] + ... + [mm]\bruch{a_n}{a_1 + ... + a_n} b_n[/mm]
> = v
Wenn du nun im Nenner die Summe nach vors=1 stzt hast du
[mm] v=\summe_{i=1}^{n}a_ib_i
[/mm]
eine richtige gleichung, also hast du für
die gleichung [mm] \summe_{i=1}^{n}\lambda_i(b_i-v)=0 [/mm] eine losung für [mm] \lambda_i\ne0 [/mm] gefunden, entgegen der Annahme B' lin unabhängig.
Gruss leduart
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