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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:28 Fr 22.04.2011 | | Autor: | GeMir |
| Aufgabe | Lösen Sie die folgenden Anfangswertprobleme. Geben Sie jeweils das maximale Lösungsintervall an und diskutieren Sie insbesondere auch die Eindeutigkeit der Lösung.
b) $y' = [mm] \cos^{3}(x)y^{2}, [/mm] y(0) = 1$ |
Ich habe folgende Lösung der Aufgabe erstellt:
$f(x):= [mm] \cos^{3}(x)$ [/mm]
$g(y):= [mm] y^{2}$
[/mm]
$f(x)$ und $g(x)$ sind stetig (Analysis Vorlesung).
Mit dem Satz 3.1 (Separation der Variablen) folgt:
$F(x):= [mm] \integral_{0}^{x} \cos^{3}(t) [/mm] dt = [mm] \frac{1}{12}(9\sin(x) [/mm] + [mm] \sin(3x))$
[/mm]
$G(y):= [mm] \integral_{1}^{y} \frac{1}{s^{2}} [/mm] ds = [mm] \integral_{1}^{y} s^{-2} [/mm] ds = [mm] \frac{1}{-1}y^{-1} [/mm] + 1 = 1 - [mm] \frac{1}{y}$
[/mm]
$1 - [mm] \frac{1}{y} [/mm] = [mm] \frac{1}{12}(9\sin(x) [/mm] + [mm] \sin(3x)) \iff [/mm] y = [mm] \frac{1}{1 - \frac{1}{12}(9\sin(x) + \sin(3x))}$
[/mm]
Nach dem Satz ist diese Lösung eindeutig.
Das maximale Existenzintervall der Lösung ist [mm] $\IR\backslash \{ \text{(Nullstelle von} \frac{1}{12}(9\sin(x) + \sin(3x)) - 1) + 2\pi n \}$
[/mm]
Meine Frage wäre, ob die Lösung in der Form (na ja, die oben erwähnte Nullstelle werde ich noch ausrechnen müssen) als "formal korrekt" bezeichnet werden kann und falls nicht, was an Definitionen oder Zwischenschritten etc. fehlt?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo GeMir,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Lösen Sie die folgenden Anfangswertprobleme. Geben Sie
> jeweils das maximale Lösungsintervall an und diskutieren
> Sie insbesondere auch die Eindeutigkeit der Lösung.
>
> b) [mm]y' = \cos^{3}(x)y^{2}, y(0) = 1[/mm]
> Ich habe folgende
> Lösung der Aufgabe erstellt:
>
> [mm]f(x):= \cos^{3}(x)[/mm]
> [mm]g(y):= y^{2}[/mm]
>
> [mm]f(x)[/mm] und [mm]g(x)[/mm] sind stetig (Analysis Vorlesung).
>
> Mit dem Satz 3.1 (Separation der Variablen) folgt:
>
> [mm]F(x):= \integral_{0}^{x} \cos^{3}(t) dt = \frac{1}{12}(9\sin(x) + \sin(3x))[/mm]
>
> [mm]G(y):= \integral_{1}^{y} \frac{1}{s^{2}} ds = \integral_{1}^{y} s^{-2} ds = \frac{1}{-1}y^{-1} + 1 = 1 - \frac{1}{y}[/mm]
>
> [mm]1 - \frac{1}{y} = \frac{1}{12}(9\sin(x) + \sin(3x)) \iff y = \frac{1}{1 - \frac{1}{12}(9\sin(x) + \sin(3x))}[/mm]
>
> Nach dem Satz ist diese Lösung eindeutig.
> Das maximale Existenzintervall der Lösung ist
> [mm]\IR\backslash \{ \text{(Nullstelle von} \frac{1}{12}(9\sin(x) + \sin(3x)) - 1) + 2\pi n \}[/mm]
>
> Meine Frage wäre, ob die Lösung in der Form (na ja, die
> oben erwähnte Nullstelle werde ich noch ausrechnen
> müssen) als "formal korrekt" bezeichnet werden kann und
> falls nicht, was an Definitionen oder Zwischenschritten
> etc. fehlt?
Die Lösung kann als formal korrekt bezeichnet werden.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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