Schätzer Gleichverteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:50 Sa 19.01.2008 | | Autor: | marcsn |
| Aufgabe | Sei [mm]\mu_\theta[/mm] die Gleichverteilung auf [mm]{1,2,...,\theta}[/mm] und [mm]P_\theta=\mu_\theta^{\otimes n}(\theta \in \Theta = \mathbb{N})[/mm]. Wir betrachten in diesem Modell den Schätzer [mm]T_2 := T_2(X_1,...,X_n)=max(X_1,...,X_n)+min(X_1,...,X_n) - 1 [/mm] für [mm]\theta[/mm].
Zeigen sie:
a)[mm]T_2 [/mm] ist erwartungstreu, d.h. [mm]E_\theta[T_2]=\theta[/mm] [mm] \forall \theta \in (0,\infty)[/mm]
b)Die Folge [mm]T_2[/mm] (T2 hängt von n ab) ist konsistent, d.h.
[mm]P_\theta(|T_2-\theta|\geq \epsilon]=0 [/mm] für [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] |
Nabend zusammen,
haben gerade mit Statistik angefangen und dies ist gleichzeitig der erste Zettel zu diesem Thema und auch der letzte, da dannach die Klausur ansteht. Also mehr als Grund genug dies zu verstehen :(
Hab mir die Aufgabe mal vorgenommen allerdings mit mehr oder weniger katastrophalen Ergebnis:
Ich habe es so probiert:
Es gilt:
[mm]E[T_2]=E[max(X_1,...,X_n)+min(X_1,...,X_n)-1]=E[max(X_1,...,X_n)]+E[min(X_1,...,X_n)]-1[/mm]
Und da wir hier eine Gleichverteilung auf [mm]{1,...,\theta}[/mm] haben ist die Verteilungsfunktion vom Minimum und Maximum:
[mm]F_{Max}(t)=F^n(t)[/mm]
[mm]F_{Min}(t)=1-(1-F(t))^n[/mm]
wobei [mm]F(t) [/mm] die Verteilungsfunktion der Gleichverteilung ist gegeben durch:
[mm]F(t)=\bruch{t-1}{\theta - 1}[/mm]
Da ich nun die Verteilungsfunktionen habe, kann ich auch die Dichte durch differenzieren bestimmen und dannach dann auch die Erwartungswerte :
Für die Dichten bekomme ich heraus:
[mm]f_{Max}(t)=n\cdot \bruch{(t-1)^{n-1}}{(\theta -1)^n}[/mm]
[mm]f_{Min}(t)=n\cdot \bruch{\bruch{t-\theta}{1-\theta}^n}{\theta - t}[/mm]
Und damit für die Erwartungswerte:
[mm]E[max(X_1,...,X_n)]=\bruch{n\theta +1}{n+1}+\bruch{n}{(\theta -1)^n n(n+1)[/mm]
[mm]E[min(X_1,...,X_n)]=\bruch{\theta +n}{n+1}[/mm]
So und wenn ich nun die Erwartungswerte aufaddiere kommt leider das falsche raus.
Ich frage mich nur ob solch ein enormer Rechenaufwand überhaupt angebracht ist oder ob man die Aufgabe irgendwie ganz schnell und einfach llösen kann.
Hoffe jemand kann mir helfen
Gruß
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:36 Mo 21.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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