Schneidige Zahlen < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:34 So 11.12.2005 | | Autor: | Gwendi |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Aufgabe aus dem Landeswettbewerb 1992: Eine natürliche Zahl n>1 heißt schneidig, wenn sich ein gleichseitiges Dreieck in n (nicht notwendig gleich große) gleichseitige Dreiecke zerschneiden lässt. Gib alle schneidigen Zahlen an und weise für sie diese Eigenschaft nach. (Ein Nachweis, dass die anderen Zahlen nicht schneidig sind, wird nicht verlangt.)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:37 Di 13.12.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
die erste sZ ist 1, die nächste Möglichkeit 4, und dann kann man jedes Teidreick wieder in 4 teilen, deshalb 1+n*3 nächste Möglichkeit 9, daraus 9+n*3, und 9+n*8.Und 1+n*8 usw.usw. jetzt muss man nur noch feststelle, wie sich die Mengen überlappen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:54 Di 13.12.2005 | | Autor: | Gwendi |
Sind 6, 7 und 8 nicht die ersten drei aufeinanderfolgenden sZ, mit denen man dann weiterrechnen sollte (immer plus 3, denn 6+3=9)?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:36 Di 20.12.2005 | | Autor: | Brinki |
Die 1 ist keine SZ (Definition SZ: n>1)
Die erste ist die 4. Hierzu zerteilt man das Dreieck mit einer Parallelen zu einer Seite in ein (gleichseitiges) Dreieck und ein Trapez so, dass man das Trapez in 3 weitere gleichseitige Dreiecke teilen kann.
Auch 6, 8, 10, usw. sind schneidige Zahlen.
Analog kann man die Parallele auch so zeichnen, dass das Trapez in 5 (7, 9 oder allg. 2k+1) gleichseitige Dreiecke zerlegbar ist.
Die ungeraden Zahlen >= 7 erreicht man indem man ein "inneres" Dreieck wieder in 4 Dreiecke zerlegt. So kommen zu SZ 4 drei weitere Dreiecke hinzu - macht SZ 7. Analog macht 6+3 ->SZ 9. usw.
Damit sind die 4 und alle Zahlen größer gleich 6 schneidig.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:09 So 25.12.2005 | | Autor: | Cool-Y |
rein interessehalber: gibt es eigentlich auch einen beweis mit elementaren mitteln, dass 2, 3 und 5 nicht schneidig sind?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:47 Sa 31.12.2005 | | Autor: | Brinki |
Eine Fläche wird mit einer Linie in zwei Flächen zerlegt. Damit kann die
Zwei keine schneidige Zahl sein.
(denn dazu müsste man das gleichseitige Dreieck mit einer Linie in zwei gleichseitige Dreiecke zerlegen. Das geht nicht, denn entweder entsteht ein Dreieck und ein Viereck oder zwei Dreiecke, bei denen je eine Seite noch die Ausgangseite ist.)
Ähnlich lässt sich das auch für die 3 zeigen.
Bei der 5 wird man wohl die Winkel benutzen müssen. (drei 60°-Winkel ergeben zusammen 180°)
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