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| Aufgabe | | Seien [mm] (D_i)_{i \in I} [/mm] Dynkinsysteme auf [mm] \Omega [/mm] für eine Indexmenge [mm] I\subset \IR. [/mm] Zeigen Sie, dass [mm] \bigcap_{i \in I}^{} D_i [/mm] ein Dynkinsystem ist |
Hallo,
ich habe Probleme, die Aufgabe zu lösen.
Also zu zeigen sind 3 Dinge
1) [mm] \Omega \in \bigcap_{i \in I}^{} D_i
[/mm]
Also wir wissen nach Vor. , dass [mm] \Omega \in (D_i)_{i \in I}. [/mm] Da ja in alle Mengen [mm] \Omega [/mm] liegt, liegt [mm] \Omega [/mm] dementsprechend auch im Schnitt => [mm] \Omega \in \bigcap_{i \in I}^{} D_i
[/mm]
2) A,B [mm] \in \bigcap_{i \in I}^{} D_i [/mm] und B [mm] \subset [/mm] A => A\ B [mm] \in \bigcap_{i \in I}^{} D_i
[/mm]
Ich muss zeigen, dass A\ B [mm] \in \bigcap_{i \in I}^{} D_i. [/mm] A \ B= A [mm] \cap B^c. [/mm] A liegt im Schnitt nach Vor. und [mm] B^c=\Omega [/mm] \ B und das auch im Schnitt. Reicht das als Begründung? Wobei mir das noch nicht so gefällt. Oder wäre es besser, mit A [mm] \B [/mm] = A \ (A [mm] \cap [/mm] B) zu arbeiten.
3) [mm] A_i \in \bigcap_{i \in I}^{} A_i [/mm] mit [mm] A_i \cap A_j= \emptyset [/mm] mit i [mm] \not= [/mm] j => [mm] \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \in \bigcap_{i \in I}^{} D_i
[/mm]
Aus der Vor. folgt, dass [mm] A_i \in (D_j)_{j \in I} \forall [/mm] i [mm] \forall [/mm] j => [mm] \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \in (D_j)_{j \in I} \forall [/mm] j => [mm] \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \in \bigcap_{j \in I}^{} D_j.
[/mm]
Bin da unsicher, wie man es richtig aufschreibt.
Danke für jeden Kommentar schonmal
Mit freundlichem Gruß
TheBozz-mismo
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Hiho,
> Also zu zeigen sind 3 Dinge
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 1) [mm]\Omega \in \bigcap_{i \in I}^{} D_i[/mm]
> Also wir wissen
> nach Vor. , dass [mm]\Omega \in (D_i)_{i \in I}.[/mm] Da ja in alle
> Mengen [mm]\Omega[/mm] liegt, liegt [mm]\Omega[/mm] dementsprechend auch im
> Schnitt => [mm]\Omega \in \bigcap_{i \in I}^{} D_i[/mm]
> 2) A,B [mm]\in \bigcap_{i \in I}^{} D_i[/mm]
> und B [mm]\subset[/mm] A => A\ B [mm]\in \bigcap_{i \in I}^{} D_i[/mm]
> Ich
> muss zeigen, dass A\ B [mm]\in \bigcap_{i \in I}^{} D_i.[/mm] A \
> B= A [mm]\cap B^c.[/mm] A liegt im Schnitt nach Vor. und [mm]B^c=\Omega[/mm]
> \ B und das auch im Schnitt.
> Reicht das als Begründung?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Wieso sollte nun [mm] $A\cap B^c$ [/mm] auch im Schnitt liegen?
Du hast das Problem also nur darauf verschoben, das zu zeigen.
Dein Ansatz ist auch nicht zielführend.
Mach dir mal klar, was es bedeutet "Im Schnitt zu liegen" und verwende, dass alle [mm] $D_i$ [/mm] selbst Dynkin-Systeme sind.
> 3) [mm]A_i \in \bigcap_{i \in I}^{} A_i[/mm] mit [mm]A_i \cap A_j= \emptyset[/mm]
> mit i [mm]\not=[/mm] j => [mm]\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \in \bigcap_{i \in I}^{} D_i[/mm]
>
> Aus der Vor. folgt, dass [mm]A_i \in (D_j)_{j \in I} \forall[/mm] i
> [mm]\forall[/mm] j => [mm]\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \in (D_j)_{j \in I} \forall[/mm]
> j => [mm]\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \in \bigcap_{j \in I}^{} D_j.[/mm]
> Bin da unsicher, wie man es richtig aufschreibt.
Genau so!
Wieso hast du das nicht auch bei 2.) gemacht?
Gruß,
Gono
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Hallo,
danke für deine Antwort.
Ich tu mir mit der Anschauung da ein wenig schwer.
Also zu 2) die Eigenschaft, die mir noch fehlt.
> > 2) A,B [mm]\in \bigcap_{i \in I}^{} D_i[/mm]
> > und B [mm]\subset[/mm] A => A\ B [mm]\in \bigcap_{i \in I}^{} D_i[/mm]
> >
> Ich
> > muss zeigen, dass A\ B [mm]\in \bigcap_{i \in I}^{} D_i.[/mm] A \
> > B= A [mm]\cap B^c.[/mm] A liegt im Schnitt nach Vor. und [mm]B^c=\Omega[/mm]
> > \ B und das auch im Schnitt.
>
> > Reicht das als Begründung?
>
> Wieso sollte nun [mm]A\cap B^c[/mm] auch im Schnitt liegen?
> Du hast das Problem also nur darauf verschoben, das zu
> zeigen.
> Dein Ansatz ist auch nicht zielführend.
> Mach dir mal klar, was es bedeutet "Im Schnitt zu liegen"
> und verwende, dass alle [mm]D_i[/mm] selbst Dynkin-Systeme sind.
Für mich ist die Aussage logisch, da ja A im Schnitt liegt und wenn man nun [mm] A\B [/mm] betrachtet,dann wird die Menge ja kleiner, aber bleibt trotzdem im Schnitt, aber das formal aufzuschreiben klappt irgendwie nicht.
Oder vielleicht so: Nach Vor. gilt ja A\ B [mm] \in (D_i)_{i \in I} [/mm] und folgt daraus nicht, dass es auch im Schnitt der [mm] D_i [/mm] 's liegen muss, da ja beide auch im Schnitt liegen und dort liegen ja alle gemeinsamen Elemente.
Ich habe die Gleichung [mm] A\B= \Omega [/mm] \ (B [mm] \cup [/mm] ( [mm] \Omega [/mm] \ A) gefunden. B ist nach Vor. im Schnitt und [mm] \Omega [/mm] \ A auch und da beide disjunkt sind, liegt die gesamte Menge auch im Durchschnitt.
Hoffe, mir kann einer meine Verwirrung nehmen.
Lieben Gruß
TheBozz-mismo
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Hiho,
> Für mich ist die Aussage logisch, da ja A im Schnitt liegt
> und wenn man nun [mm]A\B[/mm] betrachtet,dann wird die Menge ja
> kleiner, aber bleibt trotzdem im Schnitt
Warum sollte sie das? Das hast du noch nicht gezeigt und ist im Allgemeinen für Mengensysteme ja auch falsch.
Du behauptest ja indirekt: Liegt A in einem Schnitt von Mengensystemen, so auch jede "kleinere" Menge [mm] $A\setminus [/mm] B$ und das stimmt wie gesagt, im allgemeinen nicht.
> Oder vielleicht so: Nach Vor. gilt ja A\ B [mm]\in (D_i)_{i \in I}[/mm]
Hier mit der Notation aufpassen!
Was du meinst ist: [mm] $A\setminus [/mm] B [mm] \in D_i$ [/mm] für alle [mm] $i\in [/mm] I$.
Das ist was anderes als: $ [mm] A\setminus [/mm] B [mm] \in (D_i)_{i \in I}$
[/mm]
Wenn dir das nicht klar ist, frag nochmal nach.
Nichtsdestotrotz stimmt deine (gemeinte) Aussage (warum?).
> und folgt daraus nicht, dass es auch im Schnitt der [mm]D_i[/mm] 's liegen muss
Ja! Denn wann liegt denn ein Element nach Definition des Schnitts im Schnitt von Elementen?
> , da ja beide auch im Schnitt liegen und dort liegen ja alle gemeinsamen Elemente.
Hier schreibst du wieder wirr.
> Ich habe die Gleichung [mm]A\setminus B= \Omega[/mm] \ (B [mm]\cup[/mm] ( [mm]\Omega[/mm] \ A) gefunden. B ist nach Vor. im Schnitt und [mm]\Omega[/mm] \ A auch und da beide disjunkt sind, liegt die gesamte Menge auch im Durchschnitt.
Wenn du 3.) gezeigt hast, kannst du das so machen.
Aber das ist natürlich unnötig, weil du oben ja bereits fertig warst.
Sowohl 2.) als auch 3.) kannst du eigentlich auf die selbe Art beweisen:
Nach Voraussetzung liegen die Ausgangselemente im Schnitt, d.h. in jedem einzelnen Dynkin-System [mm] $D_i$.
[/mm]
Nun nutzt man auf den [mm] $D_i$ [/mm] die Dynkineigenschaft, d.h. es gilt bei 2.) eben [mm] $A\setminus [/mm] B [mm] \in D_i$ [/mm] bzw bei drei [mm] $\bigcup_{i \in I} A_i \in D_i$ [/mm] weil jedes [mm] $D_i$ [/mm] ein Dynkin-System ist
Weil die Ausdrücke nun aber in jedem [mm] D_i [/mm] liegen, liegen sie auch im Schnitt.
Gruß,
Gono
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Hallo!
Vielen Dank nochmal für die ausführliche Antwort. Ich hoff mal, dass ich es nun verstanden habe.
Lieben Gruß
TheBozz-mismo
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