Schnitte von UVR Beweis < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:19 Mo 24.03.2014 | | Autor: | Boastii |
| Aufgabe 1 | Gegeben seien ein K-Vektorraum V sowie die Untervektorräume [mm] U_1 , U_2 , U_3 [/mm] von V.
(1) Beweisen Sie, dass
[mm] (U_1 \cap U_2 ) +(U_1 \cap U_3) \subseteq U_1 \cap (U_2 + U_3 ) [/mm] |
| Aufgabe 2 | | (2) Geben Sie für [mm] V=\mathbb R^6 [/mm] Beispiele von Untervektorräumen [mm] U_1, U_2 , U_3 [/mm] von V an, für die in (1) keine Gleichheit gilt. |
Guten Abend,
nun ich tippe jetzt wie ich damit anfangen könnte, bin mir aber nicht sicher. Ich habe es zuerst mit der Definition des Schnittes von Untervektorräumen versucht, bin dabei aber leider nicht weiter gekommen. Jetzt denke ich das ich das evt. über die Dimension beweisen könnte. Ist mein Tipp da richtig?
Bräuchte einen Ansatz für die Aufgabe.
Wäre für Eure Hilfe dankbar.
Mfg boastii
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:05 Mo 24.03.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Gegeben seien ein K-Vektorraum V sowie die
> Untervektorräume [mm]U_1 , U_2 , U_3[/mm] von V.
>
> (1) Beweisen Sie, dass
> [mm](U_1 \cap U_2 ) +(U_1 \cap U_3) \subseteq U_1 \cap (U_2 + U_3 )[/mm]
>
> (2) Geben Sie für [mm]V=\mathbb R^6[/mm] Beispiele von
> Untervektorräumen [mm]U_1, U_2 , U_3[/mm] von V an, für die in (1)
> keine Gleichheit gilt.
> Guten Abend,
>
> nun ich tippe jetzt wie ich damit anfangen könnte, bin mir
> aber nicht sicher. Ich habe es zuerst mit der Definition
> des Schnittes von Untervektorräumen versucht, bin dabei
> aber leider nicht weiter gekommen.
Das passt aber doch ganz ausgezeichnet, wenn du es als zweites mit der Definition des Schnittes von Untervektorräumen versuchst.
Zuerst steht natürlich die Definition der Summe zweier Untervektorräume an.
Sei also $ [mm] v\in [/mm] ( [mm] U_1 \cap U_2 [/mm] ) [mm] +(U_1 \cap U_3) [/mm] $ das bedeutet, dass es eine Darstellung der Form [mm] v=\alpha*v_{12}+\beta*v_{13} [/mm] gibt mit [mm] v_{12}\in U_1 \cap U_2 [/mm] und [mm] v_{13} \in U_1 \cap U_3 [/mm] . Über die Schnitte weißt du ja Bescheid, so dass du jetzt zeigen kannst, dass $ [mm] v\in U_1 \cap (U_2 [/mm] + [mm] U_3 [/mm] ) $ ist.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:22 Mo 24.03.2014 | | Autor: | Boastii |
Hallo vielen Dank für deine Antwort, ach misst da hätte ich drauf kommen können, also ich habe jetzt:
Sei [mm] v \in ((U_1 \cap U_2) + ( U_1 \cap U_3)) [/mm] So kann man [mm] v=\alpha v_{12} + \beta v_{13} [/mm] schreiben mit [mm] v_{12}\in U_1 \wedge v_{12} \in U_2 [/mm] und [mm] v_{13}\in U_1 \wedge v_{13} \in U_3 [/mm]
Weiter gilt für [mm] v\in (U_1 \cap (U_2 + U_3 ) ) [/mm] dass man [mm] v_1= \alpha v_2 + \beta v_3 [/mm] schreiben kann mit [mm] v_2 \in U_2 \wedge v_2 \in U_1 [/mm] und [mm] v_3 \in U_3 \wedge v_3 \in U_1 [/mm] damit ist [mm] v\in (U_1 \cap (U_2 +U_3) ) [/mm]
wäre das so korrekt? oder fehlt da etwas?
NOchmal danke für Deine Hilfe soweit
Liebe Grüße
Boastii
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:46 Mo 24.03.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Hallo vielen Dank für deine Antwort, ach misst da hätte
> ich drauf kommen können, also ich habe jetzt:
>
> Sei [mm]v \in ((U_1 \cap U_2) + ( U_1 \cap U_3))[/mm] So kann man
> [mm]v=\alpha v_{12} + \beta v_{13}[/mm] schreiben mit [mm]v_{12}\in U_1 \wedge v_{12} \in U_2[/mm]
> und [mm]v_{13}\in U_1 \wedge v_{13} \in U_3[/mm]
>
> Weiter gilt für [mm]v\in (U_1 \cap (U_2 + U_3 ) )[/mm] dass man
> [mm]v_1= \alpha v_2 + \beta v_3[/mm] schreiben kann mit [mm]v_2 \in U_2 \wedge v_2 \in U_1[/mm]
> und [mm]v_3 \in U_3 \wedge v_3 \in U_1[/mm] damit ist [mm]v\in (U_1 \cap (U_2 +U_3) )[/mm]
>
> wäre das so korrekt? oder fehlt da etwas?
>
Das ist überhaupt nicht korrekt.
Abgesehen davon, dass du vorne [mm] v_1 [/mm] schreiben solltest und abgesehen davon, dass du die schon verwendeten Bezeichnungen [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] nicht erneut in anderem Zusammenhang benutzen solltest, ist deine Aussage auch inhaltlich falsch.
Erstens wird die Mengenbeziehung nicht korrekt auf das Element [mm] v_1 [/mm] übertragen. Du schreibst ja vielmehr nur die alte Voraussetzung $ [mm] v_1 \in (U_1 \cap U_2) [/mm] + ( [mm] U_1 \cap U_3) [/mm] $ ab.
Überlege dir vielmehr, was $ [mm] v\in U_1 \cap (U_2 [/mm] + [mm] U_3 [/mm] ) $ wirklich bedeutet und dass man das aus der Voraussetzung folgern kann.
Zweitens kann das natürlich nicht stimmen, wenn es ein Gegenbeispiel wie in Teil b. der Aufgabe angesprochen geben sollte (und es gibt tatsächlich eines).
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:53 Di 25.03.2014 | | Autor: | Boastii |
OKay, da war ich ein bisschen zu leichtsinnig.
Also:
Ich habe jetzt für die rechte Seite:
Es gilt für [mm] v_1 \in (U_1 \cap (U_2 + U_3)) [/mm] folgende Gestalt: [mm] v_1 = \lambda_1 v_2 + \lambda_2 v_3 \in U_1 [/mm] Also die Summe die auch in [mm] U_1 [/mm] ist.
So würde ich sagen das dass aussehen muss bzw. was das zu bedeuten hat. Wäre das soweit richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:01 Di 25.03.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> OKay, da war ich ein bisschen zu leichtsinnig.
> Also:
>
> Ich habe jetzt für die rechte Seite:
> Es gilt für [mm]v_1 \in (U_1 \cap (U_2 + U_3))[/mm] folgende
> Gestalt: [mm]v_1 = \lambda_1 v_2 + \lambda_2 v_3 \in U_1[/mm] Also
> die Summe die auch in [mm]U_1[/mm] ist.
>
> So würde ich sagen das dass aussehen muss bzw. was das zu
> bedeuten hat. Wäre das soweit richtig?
>
du meinst das Richtige, schreibst es aber formal nicht korrekt auf. Benutze eine [mm] \wedge [/mm] - Aussage so wie in deinem ersten Beitrag.
Dann gilt es, die Inklusion zu zeigen, also dass wenn [mm] v\in [/mm] ... dann gibt es ..., so dass ...
Gruß Sax.
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