Schnittebene zweier Kugeln < Sonstiges < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo, wir sollen die Schnittebene zwischen 2 Kugeln berechnen. Der erste Weg war einfach, da habe ich es über die Koordinatengleichungen der Kugeln gemacht dieses voneinander subtrahert usw. und sofort. Ich kam auf eine Ebene 10x+4y=63.
Nun sollen wir die gleiche Schnittebene aber auch über die Strecke die die Mittelpunkte der beiden Kugeln verbindet errechnen. Ich kriege das einfach nicht hin. Kann mir jemand den entscheidenen Denkanstoss geben damit ich die Aufgabe auch auf diese Art und Weise lösen kann:
Kugel1: [mm] (x-(-1/3/1))^2=36
[/mm]
Kugel2: [mm] (x-(4/5/1))^2=4 [/mm]
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://matheplanet.com/
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:42 Mo 05.11.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Der Verbindungsvektor [mm] \overrightarrow{M_{1}M_{2}} [/mm] steht senkrecht auf der Schnittebene, ist also ein Normalenvektor der Schnittebene S: [mm] \vec{n_{s}}*\vec{x}=d. [/mm]
Bleibt noch das d zu berechnen. Dazu nimmst du dir jetzt einen Punkt A auf der Schnittebene, dann gilt: [mm] d=\vec{a}*\vec{n_{s}}
[/mm]
Dann hast du die gewünschte Ebene.
Marius
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Erstmal vielen Dank für die superschnelle Antwort. Aber ich habe doch die Schnittebene noch nicht, wie kann ich da einen Punkt A finden, der in der Ebene liegt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:53 Mo 05.11.2007 | | Autor: | Luette |
Hallo,
lustigerweise habe ich genau dieselbe Hausaufgabe auf.... kennen wir uns vll ^^
Na jedenfalls, hab eich im Internet eine Formel zum Berechnen des Mittelpunktes des Schnittkreises gefunden. Mithilfe dieser Formel kann man dann die Schnittebenengleichung aufstellen. Leider kann ich die Formel nicht komplett erklären bzw. herleiten.
M3=Vektor M1 + ((r1²-r2²)/2d² + 0,5) * Vektor M1M2
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Hallo Yankee!
Zeichne Dir mal einen Schnitt durch die beiden Kugeln auf. Da entstehen mit den beiden Kugelradien [mm] $r_1$ [/mm] und [mm] $r_2$ [/mm] sowie den jeweiligen Abständen der Kugelmittelpunkte zur Schnittebene [mm] $d_1$ [/mm] und [mm] $d_2$ [/mm] und dem Radius $R_$ des Schnittkreises zwei rechtwinklige Dreiecke, für welche man den Satz des Pythagoras anwenden kann:
[mm] $$d_1^2+R^2 [/mm] \ = \ [mm] r_1^2$$
[/mm]
[mm] $$d_2^2+R^2 [/mm] \ = \ [mm] r_2^2$$
[/mm]
[mm] $$d_1+d_2 [/mm] \ = \ [mm] \left|\overrightarrow{M_1M_2}\right| [/mm] \ [mm] \text{ (= Abstand der Kugelmittelpunkte)}$$
[/mm]
Damit hast Du nun ein (lösbares) Gleichungssystem, um die Abstände der Kugelmittelpunkte zur Schnittebene zu bestimmen.
Gruß vom
Roadrunner
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