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Schnittgerade: Vorgehensweise
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:29 Mi 02.05.2018
Autor: Mathilda1

Aufgabe
Bestimmen Sie die Schnittgerade der Ebene E mit der x-y-Koordinatenebene.

E: x = (4/5/0) + s (1/3/5) t (1/-1/1)

Ich weiß, dass bei der Koordinatenebene z=0 ist. Außerdem habe ich umgestellt:

X = 4+s+t
Y = 5+3s-t
Z = 5s+t

2. Schritt:
5s+t = 0

Ab hier komme ich nicht mehr weiter.
Vielen Dank im Voraus

        
Bezug
Schnittgerade: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:58 Mi 02.05.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Bestimmen Sie die Schnittgerade der Ebene E mit der
> x-y-Koordinatenebene.

>

> E: x = (4/5/0) + s (1/3/5) t (1/-1/1)
> Ich weiß, dass bei der Koordinatenebene z=0 ist.
> Außerdem habe ich umgestellt:

>

> X = 4+s+t
> Y = 5+3s-t
> Z = 5s+t

>

> 2. Schritt:
> 5s+t = 0

>

> Ab hier komme ich nicht mehr weiter.

Mache dir klar, dass dein Ziel hier keinesfalls ist, ein LGS zu lösen, sondern die Gleichung einer Geraden aufzustellen, und zwar einer Geraden im [mm] \IR^3. [/mm] Im dreidimensionalen kann man Geraden nur durch die Parameterdarstellung angeben. Da Geraden eindimensionale Objekte sind, enthält eine solche Darstellung genau einen Parameter.

So, jetzt kannst du dich fragen, wozu eine solch ausschweifende Vorüberlegung gut sein könnte. Davor sieh dir aber bitte nochmals deine dritte Gleichung

5s+t=0

genauer an. Das ist eine lineare Gleichung mit zwei Unbekannten. Man kann hier also nur nach einer der Variablen auflösen. Nehmen wir t:

[mm]\begin{aligned} 5s+t&=0\ \gdw\\ t&=-5s\\ \end{aligned}[/mm]

Setze in deiner Ebenengleichung t=-5s, fasse konstante und von s abhängige Vektoren zusammen und vergib anstelle des Parameters s am besten noch einen neuen Buchstaben - und das war es dann auch schon.


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Schnittgerade: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:59 Mi 02.05.2018
Autor: abakus

"Mache dir klar, dass dein Ziel hier keinesfalls ist, ein LGS zu lösen,"

...im Prinzip aber schon doch irgendwie.
Es handelt sich um ein unterbestimmtes Gleichungssystem (mehr Variablen als Gleichungen), und die unendlich vielen Lösungen ergeben die Koordinaten der unendlich vielen Punkte der Schnittgeraden.
Da eine Gerade bereits durch zwei ihrer Punkte eindeutig bestimmt ist, ergibt sich daraus eine leichte Lösungsmöglichkeit.
Es reicht völlig aus, zwei verschiedene Lösungspaare der Gleichung
5s+t=0
zu finden. So findet man mit s=0, t=0 und auch mit s=1, t=-5 zwei verschiedene Punkte der Ebene, die auch auf der Schnittgeraden liegen und somit die Schnittgerade bestimmen.


Bezug
                        
Bezug
Schnittgerade: Warum einfach, ...
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:44 Mi 02.05.2018
Autor: Diophant

... wenn es auch umständlich geht?

Bezug
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