Schnittgerade? < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 06:22 Fr 18.05.2012 | | Autor: | lzaman |
| Aufgabe | geg.: 2 Ebenen, Ortsvektor von P
[mm]E_1:\vec{x}\cdot(-1,1,2)=1[/mm] und [mm]E_2:\vec{x}\cdot(0,1,1)=0[/mm]
[mm]\vec{y}=(1,2,3)[/mm] Ortsvektor von P
a) Gerade [mm]g=E_1\cap E_2[/mm] bestimmen
b) Abstand der Geraden [mm]g[/mm] von [mm]P[/mm] bestimmen
c) Liegt [mm]E_1[/mm] zwischen [mm]\vec{0}[/mm] und [mm]\vec{y}[/mm] ?
d) Welchen Winkel [mm]\alpha\in(0,\dfrac{\pi}{2}][/mm] schließen die Ebenen [mm]E_1, \ E_2[/mm] miteinander ein? |
Hallo zusammen. Zu dieser Aufgabe ergeben sich jede Menge Fragen meinerseits. Ich fange einfach mal an.
Zu a) ist hier die Schnittgerade gesucht?
Falls ja, würde ich den Richtungsvektor der Geraden mit den Normalenvektoren [mm] $(-1,1,2)\times [/mm] (0,1,1)=(-1,1,-1)$ bestimmen.
Wie kann ich denn einen Ortsvektor von $g$ nun bestimmen? Dann gehts mit b) weiter.
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:53 Fr 18.05.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
einfach einen beliebigen Punkt suchen, der beide ebenengl erfuellt.
Gruss keduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:22 Fr 18.05.2012 | | Autor: | lzaman |
Aber klar doch, ich kann doch eine Variable frei (z. B. [mm]x_3=0[/mm]) wählen und erhalte somit den Ortsvektor:
[mm]\vec{x}_0=(-1,0,0)[/mm] und die Geradengleichung [mm]\vec{x}_g=(-1,0,0)+\lambda(1,-1,1)[/mm].
So nun zu b). Da darf ich wohl [mm]d=\dfrac {|\vec{a} \times (\vec{y}-\vec{x}_0)|}{|\vec{a}|} [/mm] anwenden. Mit:
[mm]\vec{a}[/mm]: Richtungsvektor der Geraden
[mm]\vec{y}[/mm]: Ortsvektor des Punktes P
[mm]\vec{x}_0[/mm]: Ortsvektor der Geraden
[mm]d=\dfrac {|(1,-1,1) \times (2,2,3)|}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{42}}{\sqrt{3}}=\sqrt{14} [/mm]
Ich ziehe mal d) vor, da hier nur das Skalarprodukt der Form [mm]cos \ \alpha =\dfrac{\vec{n}_1\vec{n}_2}{|\vec{n}_1|\cdot |\vec{n}_2|}[/mm]
gelöst werden muss:
[mm]cos \ \alpha =\dfrac{(-1,1,2)(0,1,1)}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\pi}{6}[/mm]
Jetzt nur noch Aufgabeteil c). Wie kann ich denn überprüfen, ob [mm]E_1[/mm] zwischen [mm]\vec{0}[/mm] und [mm]\vec{y}[/mm] liegt?
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Hallo,
das läuft ja im Prinzip darauf hinaus, zu prüfen, ob zwei Punkte auf der gleichen Seite einer Ebene liegen oder nicht. Dafür gibt es unterschiedliche Ansätze. Zwei davon wären:
i). Gerade durch die Punkte mit der Ebene schneiden. Falls kein Schnittpunkt existiert, liegen die Punkte auf einer Seite. Fall ein Schnittpunkt existiert, muss man überprüfen, ob die Vektoren von diesem Schnittpunkt zu den beiden fraglichen Punkten den gleichen Richtungssinn haben oder nicht.
ii). Die elegantere Version in meinen Augen: setze beide Punkte in die HNF bzw. einfach nur in die Normalenform ein, lasse aber (bei der HNF-Version) die Betragsklammern im Zähler weg. Dann sieht man am Vorzeichen des Resultats, auf welcher Seite der Ebene der betreffende Punkt liegt.
Gruß, Diophant
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:17 Fr 18.05.2012 | | Autor: | lzaman |
Ja danke, dann wollen wir mal:
Ich bringe mal die Ebenengleichung [mm]E_1[/mm] in Hessesche Normalform:
[mm] $-x_1+x_2+2x_3-1=d$
[/mm]
gegebenen Punkt [mm] $\vec{y}$ [/mm] einsetzen:
$-1+2+6-1=6=d$
und das ist falsch! Das sagt mir mein Gefühl.
Habe das noch nicht ganz verstanden...
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Hallo Izaman,
>
> Ja danke, dann wollen wir mal:
>
> Ich bringe mal die Ebenengleichung [mm]E_1[/mm] in Hessesche
> Normalform:
>
> [mm]-x_1+x_2+2x_3-1=d[/mm]
>
Das ist nicht die Hessesche Normalenform,
dazu musst Du noch durch den Betrag des Normalenvektors dividieren:
[mm]\bruch{-x_1+x_2+2x_3-1}{\wurzel{\left(-1\right)^{2}+1^{2}+2^{2}}}=0[/mm]
Dann ist
[mm]d=\bruch{\vmat{-x_1+x_2+2x_3-1}}{\wurzel{\left(-1\right)^{2}+1^{2}+2^{2}}}[/mm]
> gegebenen Punkt [mm]\vec{y}[/mm] einsetzen:
>
> [mm]-1+2+6-1=6=d[/mm]
>
> und das ist falsch! Das sagt mir mein Gefühl.
>
> Habe das noch nicht ganz verstanden...
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:36 Fr 18.05.2012 | | Autor: | lzaman |
Oh ja, ich habe die Normierung vergessen. Korrektur ergibt [mm] $d=\sqrt{6}>0$
[/mm]
Nun ja, jetzt kann ich sagen, dass es zwischen den beiden Punkten liegt, aber werde das Gefühl nicht los, dass es noch eleganter geht.
Und es geht noch eleganter, allerdings verstehe ich diese Überlegung nicht:
Für die Ebene gilt: [mm] $\vec{y}\cdot(-1,1-2)=(1,2,3)\cdot(-1,1,2)=7$.
[/mm]
Könntet Ihr mir das in wenigen Worten näher erläutern?
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Hallo,
setze doch einfach mal beide Punke in die Koordinatenform
[mm] ax_1+bx_2+cx_3+d=0
[/mm]
ein. Die Resultate sind natürlich nicht der Abstand, aber wenn unterschiedliche Vorzeichen herauskommen, dann liegen die Punkte auf unterschiedlichen Seiten der Ebene. Dein zweiter Punkt wäre übrigens der Ursprung. Und das ist nach meiner Kenntnis hier der eleganteste Weg. 
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 Fr 18.05.2012 | | Autor: | lzaman |
Oh man, ich bin gleich schon am aufgeben.
Also eingesetzt für die Punkte P(0,0,0) und Y(1,2,3) in Koordinatenform
erhalte ich für P den Wert -1 und für Y den Wert 6?
Die Punkte liegen dann auf unterschiedlichen Seiten der Ebene deiner Aussage nach.
Und wieso soll die Gleichung für [mm] $E_1$ [/mm] gelten:
[mm] $\vec{y}\cdot\vec{n}$? [/mm] Mir fällt das mittlerweile so schwer, dass ich anfange alles durcheinander zu bringen.
Eine Lösung, die richtig sein soll lautet:
Für [mm] $E_1$ [/mm] gilt: [mm] $\vec{y}\cdot{n}=7>1>0. [/mm] Damit soll [mm] $E_1$ [/mm] "echt" zwischen den Punkten [mm] $\vec{0}$ [/mm] und [mm] $\vec{y}$ [/mm] liegen.
Diese Lösung kann ich aber überhaupt nicht deuten
Bitte vermittelt mir Ruhe, sonst mache ich erst Montag weiter...
Danke für eure Geduld
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Hallo,
> Oh man, ich bin gleich schon am aufgeben.
>
> Also eingesetzt für die Punkte P(0,0,0) und Y(1,2,3) in
> Koordinatenform
>
> erhalte ich für P den Wert -1 und für Y den Wert 6?
>
> Die Punkte liegen dann auf unterschiedlichen Seiten der
> Ebene deiner Aussage nach.
Ja, genau so ist es.
>
> Und wieso soll die Gleichung für [mm]E_1[/mm] gelten:
>
> [mm]\vec{y}\cdot\vec{n}[/mm]? Mir fällt das mittlerweile so schwer,
> dass ich anfange alles durcheinander zu bringen.
Das ist keine Gleichung. Was du meinst, ist das [mm] \vec{y} [/mm] in die Normalenform von [mm] E_1 [/mm] eingesetzt wurde, und genau darauf beruht diese, weitere und natürlich ebenfalls gültige Rechnung:
> Eine Lösung, die richtig sein soll lautet:
>
> Für [mm]E_1[/mm][/mm] gilt: [mm]\vec{y}\cdot{n}=7>1>0.[/mm] Damit soll [mm][/mm][mm] E_1$[/mm] [/mm]
> "echt" zwischen den Punkten [mm]\vec{0}[/mm][/mm] und [mm]\vec{y}[/mm][/mm] liegen.
>
> Diese Lösung kann ich aber überhaupt nicht deuten
Es ist jetzt ein wenig schwierig, da Licht ins Dunkel zu bringen, weil ich nicht weiß, wo ich ansetzen soll. Wenn wir mal die geometrische Deutung des Skalarprodukts voraussetzen dürfen, dann kommt man sehr schnell darauf, dass die Gleichung
[mm] \vec{x}*\vec{n}=d
[/mm]
im [mm] \IR^3 [/mm] eine Ebene beschreibt. Ebenso leicht macht man sich klar, dass diese Ebene für d=0 den Ursprung enthalten muss, und für [mm] d\ne{0} [/mm] den Ursprung nicht enthält. Ein wenig kniffliger (es hat mit der Kosinusfunktion und deren Zusammenhang zum Skalarprodukt zu tun) macht man sich ebenso klar, dass die Zahl d bei Parallelverschiebung der Ebene proportional zum Abstand der Ebene zum Ursprung ist (darauf beruht übrigens letztendlich auch die Hessesche Normalenform). Wird also d betragsmäßig größer, so wird (bei gleichem Normalenvektor!) der Abstand zum Ursprung größer. Das dürfte jetzt auf jeden Fall die Musterlösung, welche dir vorliegt, sofort erklären, und wenn du ein wenig darüber nachdenkst, wist du feststellen, dass der von mir vorgeschlagene Weg im Prinzip zu dieser Musterlösung äquivalent ist, nur ein wenig mehr auf 'automatisches Rechnen' setzt.
Ruhe kann ich dir bei der Sache nicht verschaffen: aber gib dich nicht der Illusion hin, das wäre alles so einfach. Die Vektorrechnung hat vieles in der räumlichen Geometrie vereinfacht und stellt Konzepte zur Verfügung, die auch komplizierte Probleme zu Zwei- bis Dreizeilern machen. Man denke nur an den Beweis, dass der Schwerpunkt im Dreieck die Seitenhalbierenden im Verhältnis 1:2 teilt. Das ist mit Elementargeometrie recht anspruchsvoll, mit Vektoren und der Definition der linearen Unabhängigkeit das reinste Kinderspiel.
Was ich damit sagen möchte: gerade so einfache Dinge wie das Standardskalarprodukt enthalten ein hohes Maß an Vorüberlegungen bzw. Grundlagen, auf denen sie aufbauen. Von daher sollte man nicht in Ungeduld verfallen, wenn sich einem gerade in diesem Gebiet der Sinn mancher Verfahren nicht unmittelbar erschließt.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:48 Fr 18.05.2012 | | Autor: | lzaman |
| Aufgabe | gegeben:
[mm] $E_1=\vec{x}\cdot(-1,1,2)=1$ [/mm] und Punkt [mm] $\vec{y}=(1,2,3)$ [/mm] |
Danke für deine Mühe, ich versuche es dann mal die Deutung mit meinen Worten zu beschreiben:
Die Lösung verwirrt, da mit [mm] $\vec{y}\cdot\vec{n}$ [/mm] nicht [mm] $E_1$ [/mm] betrachtet wird.Hier wird viel mehr eine parallele Ebene, zu der der Punkt [mm] $\vec{y}$ [/mm] gehört, betrachtet. Und da diese den Abstand 7 zum Nullpunkt hat und [mm] $E_1$ [/mm] den Abstand 1, kann man sagen das [mm] $E_1$ [/mm] zwischen [mm] $\vec{0}$ [/mm] und [mm] $\vec{y}$ [/mm] liegt.
Ist das alles logisch, was ich da von mir gebe?
Jetzt nochmal zum Abstand. Ist die 1 rechts in der Gleichung der Abstand der Ebene [mm] $E_1$ [/mm] zum Ursprung? Denn wenn ich das in die Hessesche Normalform bringe, so erhalte ich für den Abstand [mm] $d=\sqrt{6}$. [/mm] Das ist bekanntlich [mm]\neq 1[/mm]. Wo mache ich den Fehler in meiner Überlegung, es kann doch nur an der Deutung des Normalenvektors liegen?
Danke
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Hallo,
> gegeben:
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> [mm]E_1=\vec{x}\cdot(-1,1,2)=1[/mm] und Punkt [mm]\vec{y}=(1,2,3)[/mm]
>
>
>
> Danke für deine Mühe, ich versuche es dann mal die
> Deutung mit meinen Worten zu beschreiben:
>
> Die Lösung verwirrt, da mit [mm]\vec{y}\cdot\vec{n}[/mm] nicht [mm]E_1[/mm]
> betrachtet wird.Hier wird viel mehr eine parallele Ebene,
> zu der der Punkt [mm]\vec{y}[/mm] gehört, betrachtet.
Soweit ist es richtig.
> Und da diese
> den Abstand 7 zum Nullpunkt hat und [mm]E_1[/mm] den Abstand 1, kann
> man sagen das [mm]E_1[/mm] zwischen [mm]\vec{0}[/mm] und [mm]\vec{y}[/mm] liegt.
Nein. Das habe ich oben ausführlich erklärt. d ist i.a. nicht der Abstand zum Ursprung, man kann nur sagen, dass für alle Ebenen mit gleichem Normalenvektor |d| proportional zu diesem Absatnd ist, mehr nicht; aber das reicht dir vollkommen!
> Ist das alles logisch, was ich da von mir gebe?
Das ist ausbaufähig.
> Jetzt nochmal zum Abstand. Ist die 1 rechts in der
> Gleichung der Abstand der Ebene [mm]E_1[/mm] zum Ursprung?
Nein, siehe oben!
> Denn wenn
> ich das in die Hessesche Normalform bringe, so erhalte ich
> für den Abstand [mm]d=\sqrt{6}[/mm]. Das ist bekanntlich [mm]\neq 1[/mm]. Wo
> mache ich den Fehler in meiner Überlegung, es kann doch
> nur an der Deutung des Normalenvektors liegen?
Nur die Hessesche Normalnform liefert dir den Abstand zum Ursprung, aus dem einfachen Grund, weil ihr Normalenvktor normiert ist, sprich: Einheitslänge besitzt. Aber nochmal: so einfach ist das nicht zu verstehen. Du solltest dich ausführlich mit dem Skalarprodukt und seiner geometrischen Deutung auskennen, wenn du das nachvollziehen möchtest.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Fr 18.05.2012 | | Autor: | lzaman |
Super, vielen Dank. Ich hatte zwischenzeitlich Wutausbrüche, die Du mir nehmen konntest.
Jetzt aber nochmal zum Abstand mit der Hesseschen Normalform:
Die Abstände lauten dann:
[mm] $d=\dfrac{1}{\sqrt{6}}$ [/mm] und [mm] $d=\sqrt{6}$, [/mm] jedoch ist der erste Abstand <0, wenn man ohne Beträge rechnet. Das klingt dann irgendwie falsch, wenn man dann sagt: "die Ebene 1 liegt zwischen 0 und dem Punkt Y". Oder darf man sich das gar nicht so vorstellen, da die Abstände laut Hesse immer positiv sein müssen?
Danke
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Hallo,
> Super, vielen Dank. Ich hatte zwischenzeitlich
> Wutausbrüche, die Du mir nehmen konntest.
Aus dem Grund übe ich manchmal KLavier, wenn ich bei Mathe nicht weiter komme. ^^
> Jetzt aber nochmal zum Abstand mit der Hesseschen
> Normalform:
>
> Die Abstände lauten dann:
>
> [mm]d=\dfrac{1}{\sqrt{6}}[/mm] und [mm]d=\sqrt{6}[/mm], jedoch ist der erste
> Abstand <0, wenn man ohne Beträge rechnet.
Ich weiß nicht, auf was sich das bezieht. Abstände darf man natürlich nicht berechnen, indem man die Betragsklammernweglässt. Die dienen ja genau dem Zweck, dass das Ergebnis nichtnegativ wird!
Die in der Aufgabe auszurechnenden Abstände von P zu den beiden Ebenenen [mm] E_1 [/mm] und [mm] E_2 [/mm] ergeben sich jedenfalls zu
[mm] d_1=\bruch{|-1+2+6-1|}{\wurzel{6}}=\wurzel{6} [/mm] LE
[mm] d_2=\bruch{|0+2+3|}{\wurzel{6}}=\bruch{5}{2}\wurzel{2} [/mm] LE
> Das klingt dann
> irgendwie falsch, wenn man dann sagt: "die Ebene 1 liegt
> zwischen 0 und dem Punkt Y". Oder darf man sich das gar
> nicht so vorstellen, da die Abstände laut Hesse immer
> positiv sein müssen?
Was das angeht noch einmal: wir betrachten hier keine Abstände, weder in meiner Version noch in deiner Musterlösung!
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:42 Fr 18.05.2012 | | Autor: | lzaman |
So, es werden sich wahrscheinlich noch mehr Fragen ergeben, wenn ich mich weiter damit beschäftige, deshalb höre ich hier auf. Eins sei gesagt: Durch die Koordinatenform hat man gesehen, dass der Punkt [mm] $\vec{0}$ [/mm] sich auf der einen Seite der Ebene befindet under der Punkt [mm] $\vec{y}$ [/mm] auf der anderen Seite der Ebene liegt. Das lässt die Folgerung zu, dass die Ebene zwischen diesen beiden Punkten bzw. zwischen Nullvektor und gegebenen Vektor [mm] $\vec{y}$ [/mm] liegt.
Danke, hat viel Spaß gemacht mit Dir diese Aufgabe zu lösen.
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