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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Schnittgerade Ebene
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Schnittgerade Ebene: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:07 Mo 26.01.2015
Autor: bobbybrown

Aufgabe
berechnen sie den durchschnitt der ebenen E1 und E2

[mm]E1={ \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +t \begin{pmatrix} 3 \\ 2\\ -1 \end{pmatrix} +s \begin{pmatrix} 3\\ 2\\ 1\end{pmatrix}} E2={ \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} t+\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} s+\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} } [/mm]


als erstes habe ich die ebenen in koordinatenform gebracht um dann die gleichungssysteme zu lösen und erhalte


[mm]E1 : 4x_1-6x_2=12 und E2: 4x_1-8x_2=0[/mm]


=> [mm] x_2=6 [/mm] in E1 einsetzten und ich erhalte

[mm] x_1=12 [/mm]
was soll mir das sagen wie komme ich jetzt auf eine geradengleichung???

        
Bezug
Schnittgerade Ebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:20 Mo 26.01.2015
Autor: abakus


> berechnen sie den durchschnitt der ebenen E1 und E2

>

> [mm]E1={ \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +t \begin{pmatrix} 3 \\ 2\\ -1 \end{pmatrix} +s \begin{pmatrix} 3\\ 2\\ 1\end{pmatrix}} E2={ \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} t+\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} s+\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} } [/mm]

>

> als erstes habe ich die ebenen in koordinatenform gebracht
> um dann die gleichungssysteme zu lösen und erhalte

>
>

> [mm]E1 : 4x_1-6x_2=12 und E2: 4x_1-8x_2=0[/mm]

>
>

> => [mm]x_2%3D6[/mm] in E1 einsetzten und ich erhalte

>

> [mm]x_1=12[/mm]
> was soll mir das sagen wie komme ich jetzt auf eine
> geradengleichung???

Das sagt dir, dass der Punkt (12|6|...) in beiden Ebenen liegt. Da die Wahl der z-Koordinate (also der [mm] $x_3$-Koordinate) [/mm] in keiner der beiden Ebenengleichungen irgendwelche Auswirkungen hat, kann ... beliebig gewählt werden. Somit kennst du unendlich viele Punkte der Schnittgeraden (wobei zwei bereits zum Aufstellen einer Geradengleichung genügen). 

Bezug
        
Bezug
Schnittgerade Ebene: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:33 Mo 26.01.2015
Autor: bobbybrown

vielen dank ich nehme also zb die punkte
[mm] \begin{pmatrix} 12 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 12 \\ 6 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm] und erhalte als gradengleichung [mm]g:x=\begin{pmatrix} 12 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ -1\end{pmatrix}[/mm]

hoffe das ist so richtig

Bezug
        
Bezug
Schnittgerade Ebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:34 Mo 26.01.2015
Autor: chrisno

Setz mal zur Probe die Stützvektoren in die Koordinatenform ein.

Bezug
                
Bezug
Schnittgerade Ebene: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:39 Mo 26.01.2015
Autor: bobbybrown

klaro mache ich und erhalte[mm]4x_1-6x_2=12 mit \begin{pmatrix} 12\\ 6 \\ 1 \end{pmatrix} =>4*12-6*6=12=> 12=12[/mm]

denke das stimmt also vielen dank für die hilfe

Bezug
                        
Bezug
Schnittgerade Ebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:45 Mo 26.01.2015
Autor: chrisno

$ [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ [/mm] in $ E1 : [mm] 4x_1-6x_2=12$ [/mm] gibt bei mir -4-12=-16 und nicht +12


Bezug
                                
Bezug
Schnittgerade Ebene: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:14 Di 27.01.2015
Autor: bobbybrown

ich werde aus deiner vorherrigen antwort auch nicht schlau für mich habe ich das bewiesen indem ich den stützvektor in die koordinatenform eingesetzt habe.


Bezug
                                        
Bezug
Schnittgerade Ebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:00 Di 27.01.2015
Autor: fred97


> ich werde aus deiner vorherrigen antwort auch nicht schlau
> für mich habe ich das bewiesen indem ich den stützvektor
> in die koordinatenform eingesetzt habe.

In Deinem ersten Post hast Du von



$ E1: [mm] \quad [/mm] { [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] +t [mm] \begin{pmatrix} 3 \\ 2\\ -1 \end{pmatrix} [/mm] +s [mm] \begin{pmatrix} 3\\ 2\\ 1\end{pmatrix}}$ [/mm]

die Koordinatenform berechnet.

chrisno will Dir sagen: dabei hast Du Dich verrechnet.

FRED

>  


Bezug
                                                
Bezug
Schnittgerade Ebene: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:11 Di 27.01.2015
Autor: bobbybrown

vielen dank herr doktor

für gewöhnlich stelle ich meine koordinatenform nach dem folgenden muster auf:

n*x=n*r

mit
n=kreuzprodukt aus meinen richtungsvektoren
r =stützvektor
sodas ich erhalte :
[mm] E1= {\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +t \begin{pmatrix} 3 \\ 2\\ -1 \end{pmatrix} +s \begin{pmatrix} 3\\ 2\\ 1\end{pmatrix}} => \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}x \begin{pmatrix} 3 \\ 2\\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 4 \\ -6 \\ 0 \end{pmatrix}=n =>\begin{pmatrix} 4 \\ -6 \\ 0 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 \\ -6 \\ 0 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} =4x_1-6x_2=-16=koordinatenform für E_1 [/mm]
das selbe noch für [mm] E_2 [/mm] glaube das ist auch falsch
und die neue form ist [mm]E_2=4x_1+8x_2=-8[/mm]

ok und wenn ich das gleichsetzte erhalte ich
[mm]x_1=-22/7 und x_2 =4/7[/mm]

leider kann ich damit keine grade aufstellen bitte um hilfe

Bezug
                                                        
Bezug
Schnittgerade Ebene: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:33 Di 27.01.2015
Autor: bobbybrown


Bezug
                                                        
Bezug
Schnittgerade Ebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:00 Di 27.01.2015
Autor: chrisno

Gehe zurück nach Los. Da wurde genau auf diese Frage, nur mit anderen Zahlen, schon die Antwort gegeben.
Ob die Koordiantengleichungen stimmen, kannst Du selbst nachrechnen:
Nimm drei Punkte aus der Ebene (r=s=0; r=1,s=0; r=0,s=1) setze sie ein und prüfe, ob die Gleichung stimmt.

Bezug
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