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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:30 Sa 29.11.2008 | | Autor: | Fatih17 |
Hi nochmals,
in einer Beispielaufgabe sollte ich die Schnittgerade von zwei Ebenen bestimmen.
Die Ebenen sehen folgendermaßen aus:
E1: [mm] -4x_{1}+4x_{2}+2x_{3}=12
[/mm]
E2: [mm] \vec{X}=\vektor{1\\2\\0 }+s*\vektor{-2\\0\\-6 }+t*\vektor{9\\6\\-6 }
[/mm]
Ich habe dann E2 von der Paramterform in die Normalenform und dann in die Koordinatenform und so sehen die aus:
[mm] [\vec{x}-\vektor{1\\2\\0 }]*\vektor{-6\\11\\2 }=0
[/mm]
[mm] -6x_{1}+11x_{2}+2x_{3}=16
[/mm]
Dann habe ich noch E1 in die Normalform gebracht:
[mm] [\vec{x}-\vektor{0\\0\\6 }]*\vektor{-4\\4\\2 }=0
[/mm]
So die Schnittgerade muss ja lauten:
[mm] \vec{X}=\vec{u}+r*\vec{v}
[/mm]
Hier muss [mm] \vec{v} [/mm] Orthogonal zum Normalenvektor von E1 und E2 sein also:
[mm] \vec{v} \perp \vec{n_{e1}} [/mm] und [mm] \vec{v} \perp \vec{n_{e2}} [/mm]
dann hatte ich zwei Gleichungen:
[mm] -4v_{1}+4v_{2}+2v_{3}=0
[/mm]
[mm] -6v_{1}+11v_{2}+2v_{3}=0
[/mm]
daraus hatte ich dann :
[mm] \vec{v}=\vektor{7 \\2\\ 10}
[/mm]
So jetzt muss ich dann noch den Stützvektor berechnen:
dazu habe ich folgendes gemacht:
[mm] -4x_{1}+4x_{2}+2x_{3}=12
[/mm]
[mm] -6x_{1}+11x_{2}+2x_{3}=16
[/mm]
und hatte dann für [mm] \vec{u}:
[/mm]
[mm] \vec{u}=\vektor{-2 \\0\\ 2}
[/mm]
dann lautet die Schnittgerade:
[mm] \vec{X}=\vektor{-2 \\0\\ 2}+r*\vektor{7 \\2\\ 10}
[/mm]
Nun meine frage:
Geht das nicht auch einfacher ohne die ganzen Umformungen damit man sich Zeit sparen kann?
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Hi, Fatih,
> in einer Beispielaufgabe sollte ich die Schnittgerade von
> zwei Ebenen bestimmen.
>
> Die Ebenen sehen folgendermaßen aus:
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> E1: [mm]-4x_{1}+4x_{2}+2x_{3}=12[/mm]
>
> E2: [mm]\vec{X}=\vektor{1\\2\\0 }+s*\vektor{-2\\0\\-6 }+t*\vektor{9\\6\\-6 }[/mm]
>
> Ich habe dann E2 von der Parameterform in die Normalenform
> und dann in die Koordinatenform und so sehen die aus:
>
> [mm][\vec{x}-\vektor{1\\2\\0 }]*\vektor{-6\\11\\2 }=0[/mm]
>
> [mm]-6x_{1}+11x_{2}+2x_{3}=16[/mm]
>
> Dann habe ich noch E1 in die Normalform gebracht:
>
> [mm][\vec{x}-\vektor{0\\0\\6 }]*\vektor{-4\\4\\2 }=0[/mm]
>
> So die Schnittgerade muss ja lauten:
>
> [mm]\vec{X}=\vec{u}+r*\vec{v}[/mm]
>
> Hier muss [mm]\vec{v}[/mm] Orthogonal zum Normalenvektor von E1 und
> E2 sein also:
>
> [mm]\vec{v} \perp \vec{n_{e1}}[/mm] und [mm]\vec{v} \perp \vec{n_{e2}}[/mm]
>
> dann hatte ich zwei Gleichungen:
>
> [mm]-4v_{1}+4v_{2}+2v_{3}=0[/mm]
> [mm]-6v_{1}+11v_{2}+2v_{3}=0[/mm]
>
> daraus hatte ich dann :
>
> [mm]\vec{v}=\vektor{7 \\2\\ 10}[/mm]
>
> So jetzt muss ich dann noch den Stützvektor berechnen:
>
> dazu habe ich folgendes gemacht:
>
> [mm]-4x_{1}+4x_{2}+2x_{3}=12[/mm]
> [mm]-6x_{1}+11x_{2}+2x_{3}=16[/mm]
>
> und hatte dann für [mm]\vec{u}:[/mm]
>
> [mm]\vec{u}=\vektor{-2 \\0\\ 2}[/mm]
>
> dann lautet die Schnittgerade:
>
> [mm]\vec{X}=\vektor{-2 \\0\\ 2}+r*\vektor{7 \\2\\ 10}[/mm]
>
> Nun meine frage:
>
> Geht das nicht auch einfacher ohne die ganzen Umformungen
> damit man sich Zeit sparen kann?
Klar geht's einfacher!
Du setzt die Parameterform von [mm] E_{2} [/mm] in die Koordinatenform von [mm] E_{1} [/mm] ein:
-4(1-2s+9t) + 4(2+6t) + 2(-6s-6t) = 12
formst um und löst z.B. nach s auf: s = -2 - 6t
(OHNE GEWÄHR! NACHRECHNEN!)
setzt das dann in die PF von [mm] E_{2} [/mm] ein um formst zu einer Geradengleichung um:
Schnittgerade fertig!
mfG!
Zwerglein
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