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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:30 So 05.06.2005 | | Autor: | drzero |
Hallo Matheräumer,
Ich grübele an folgender Aufgabe, vielleicht mag jemand meine Lösung prüfen:
Bestimmen Sie eine Parametergleichung der Schnittgeraden der Ebenen E und F:
E: x-y+z=6
F: x+y-4z=-2
1.) Ich hab ein Gleichungsystem daraus gemacht, indem ich erstmal x=0 gesetzt habe:
y + z = 6
y - 4z = -2
Da bekomme ich dann
y= 4,4 und z=1,6 raus, also meinen ersten Punkt auf der Schnittgeraden: (0 / 4,4 / 1,6)
2.) Dann z = 0 gesetzt
x - z = 6
x + y = -2
Da bekomme ich dann
x= 2 und y= -4 raus, also meinen zweiten Punkt auf der Schnittgeraden: (2 / -4 / 0)
Diese beiden Punkte drücke ich dann so aus:
g: (x / y / z)=(0 / 4,4 / 1,6) + t(2 / -8,4 / -1,6)
Ist das eine mögliche richtige Lösung?
Oder bin ich "mathe-eintagsfliege" mal wieder total auf dem holzigen weg?
Vielen Dank für die Hilfe, mfg, drzero
P.S.: Ich bin immer wieder beeindruckt von dem Wissen, welches ihr hier anhäuft 
Und gefragt habe ich dies noch garnicht irgendwo, auch nicht woanders...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:11 So 05.06.2005 | | Autor: | raimund |
deine lösung:
g:x= [mm] \vektor{0 \\ 4,4 \\ 1,6} [/mm] + t [mm] \vektor{2 \\ -8,4 \\ -1,6}
[/mm]
kannst du leicht prüfen in dem du zeigst:
g [mm] \in [/mm] E und [mm] g\in [/mm] F.
für t=3 erhälst du den Punkt P (6 \ -20,8 \ -3,2).
P ist zwar Teil von F aber nicht von E, d.h. g ist nicht die schnittgerade da alle punkte von g auch punkte von E und F sein müssen.
dein fehler liegt im lösungsweg beim nullsetzen von x und z.
um das LGS zu lösen musst du die gleichungen miteinander "in verbindung" setzen:
E x-y+z=6
F x+y-4z=-2
E x- y+ z=6
F-E 2y-5z=-8
da du 2 gleichungen aber 3 unbekannte hast musst du eine unbekannte durch einen parameter ersetzen. hier: z= [mm] \lambda
[/mm]
x und y lassen sich also jetzt in abhängigkeit von [mm] \lambda [/mm] bestimmen.
du solltest damit mal weiterkommen...
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Hi, Dr Zero,
> Bestimmen Sie eine Parametergleichung der Schnittgeraden
> der Ebenen E und F:
> E: x-y+z=6
> F: x+y-4z=-2
>
> 1.) Ich hab ein Gleichungsystem daraus gemacht, indem ich
> erstmal x=0 gesetzt habe:
>
> y + z = 6
Vorzeichenfehler! Richtig wäre -y + z = 6
> y - 4z = -2
>
> Da bekomme ich dann
> y= 4,4 und z=1,6 raus, also meinen ersten Punkt auf der
> Schnittgeraden: (0 / 4,4 / 1,6)
Der erste Punkt wäre demnach (0 / [mm] -\bruch{22}{3} [/mm] / [mm] --\bruch{4}{3})
[/mm]
(Ohne Garantie auf Rechenfehler!)
>
> 2.) Dann z = 0 gesetzt
> x - z = 6
Schreibfehler! Du meinst: x - y = 6
> x + y = -2
>
> Da bekomme ich dann
> x= 2 und y= -4 raus, also meinen zweiten Punkt auf der
> Schnittgeraden: (2 / -4 / 0)
Der Punkt ist OK!
> Diese beiden Punkte drücke ich dann so aus:
>
> g: (x / y / z)=(0 / 4,4 / 1,6) + t(2 / -8,4 / -1,6)
>
> Ist das eine mögliche richtige Lösung?
Wie gesagt: Bis auf den Vorzeichenfehler von oben ist Dein Lösungsweg OK! Das von Dir benutzte Verfahren berechnet praktisch die Spurpunkte der Schnittgeraden in den Basisebenen, in Deinem Fall für x=0 in der yz-Ebene und für z=0 in der xy-Ebene. Wenn's da mal einen Widerspruch geben sollte, heißt das: Die Schnittgerade liegt parallel zu dieser Basisebene; dann wählst Du halt y=0.
> Oder bin ich "mathe-eintagsfliege" mal wieder total auf
> dem holzigen weg?
Nein, nein! Aber schau' Dir mal in aller Ruhe den Vorschlag von Raimund an und entscheide (für Dich!), ob Du in Zukunft lieber so vorgehen möchtest! Beide Wege sind vom Rechenaufwand etwa gleichwertig.
Es gibt noch (mindestens) eine weitere Alternative, sozusagen eine Variante Deines Lösungsvorschlages:
Du rechnest nur EINEN Punkt mit Deiner Methode aus, z.B. für x=0; den nimmst Du als Aufpunkt der Geraden.
Den Richtungsvektor aber berechnest Du nicht mit Hilfe eines zweiten Punktes, sondern direkt als Kreuzprodukt der Normalenvektoren der beiden Ebenen:
[mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 1} \times \vektor{1 \\ 1 \\ -4} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 5 \\ 2}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:30 So 05.06.2005 | | Autor: | drzero |
Super!
Da habt ihr beiden mir ordentlich weitergeholfen
Vielen Dank, ich bin garnicht darauf gekommen, dass das Kreuzprod. ja auch noch geht...
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