Schnittkreis < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:39 Do 24.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Guten Abend
Kugel K: [mm] (x-1)^2 [/mm] + (y + [mm] 3)^2 [/mm] + (z [mm] -2)^2 [/mm] = 25 und die Ebene E: 2x + y - 2z = 4
Nun soll ich den Mittelpunkt und den Radius des Schnittkreises bestimmen
Also hier stehe an
Ich habe leider keine Ahnung wie ich den Schnittkreis berechnen kann.
Gibts dafür eine bestimmte Formel?
Danke
Gruss Dinker
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:52 Do 24.09.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Schneiden heisst beide Gl. muessen erfuellt sein.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:56 Do 24.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Guten Abend
Das verstehe ich nicht.
Es gibt ja nahezu unzählig viele Lösungen, da es auch unzählige Punkte gibt. Wenn ich nun diese Bedingung ausgerechnet habe, wie kann ich dann den Kreismittelpunkt und Radius erschliessen?
Danke
Gruss Dinker
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:12 Do 24.09.2009 | | Autor: | leduart |
hallo dinker
Entschuldige, ich hab die Aufgabe falsch gelesen.
Du musst den Abstand des kugelmittelpunkts von der ebene Berechnen. dann die Senkrechte von M der Kugel auf die Ebene gibt den Mittelpunkt des Kreises, der Radius mit Phythagoras.
Schreib die ebene erst so, dass der Normalenvektor normiert ist. Kommst du dann weiter?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:28 Fr 25.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo
Also die Gerade: [mm] \vektor{1\\ -3 \\ 2 } [/mm] + k [mm] \vektor{2\\ 1 \\ -2 } [/mm]
Lasse ich mit der Ebene schneiden. Dies ergibt den Durchstosspunkt, was dem Kreismittelunkt entspricht.
Ist das soweit richtig?
Wie erhalte ich den Kreisradius?
Ich lasse die Kugel mit der Ebene schneiden...wähe dann einen Punkt und Rechne den Abstand dieses Punktes zum Kreismittelpunkt?
Danke
Gruss Dinker
|
|
|
| |
|
Hallo Dinker!
> Also die Gerade: [mm]\vektor{1\\ -3 \\ 2 }[/mm] + k [mm]\vektor{2\\ 1 \\ -2 }[/mm]
>
> Lasse ich mit der Ebene schneiden. Dies ergibt den
> Durchstosspunkt, was dem Kreismittelunkt entspricht.
> Ist das soweit richtig?
Genau, so ist es richtig.
> Wie erhalte ich den Kreisradius?
>
> Ich lasse die Kugel mit der Ebene schneiden...wähe dann
> einen Punkt und Rechne den Abstand dieses Punktes zum
> Kreismittelpunkt?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau so musst du es machen. Du musst einen Punkt finden, der auf dem Kreisrand liegt, d.h. du musst ein einziges Tripel (x,y,z) finden, was beide Gleichungen, die der Kugel (damit liegt dann (x,y,z) auf dem Kugelrand) und die der Ebene (damit liegt (x,y,z) dann auch auf der Ebene und damit auf dem gesuchten Kreisrand) erfüllt.
Also: Finde eine Lösung des Gleichungssystems
$2x + y - 2z = 4 $
[mm] $(x-1)^{2}+(y+3)^{2}+(z-2)^{2} [/mm] = 25$
Eine Möglichkeit wäre: Umstellen der oberen Gleichung nach z, dann in die untere für z einsetzen, dann eine Variable, z. B. x frei wählen und das entsprechende y herausfinden. Dann z mit der oberen Gleichung ausrechnen.
So, und dann hast du schon richtig erkannt: Da jeder Punkt, der auf dem Kreisrand liegt, natürlich denselben Abstand zu seinem Mittelpunkt hat, nämlich gerade den Radius des Kreises, kannst du so den Radius des Kreises ausrechnen.
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:40 Fr 25.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Guten Abend
Irgend etwas lief schief
M'(3/-2/0)
(1) z = x + 0.5y - z
(2) x = 0; und eingesetzt z = x + 0.5y - z
y1 = 0
y2 = -1.6 (diese genommen)
Als P(0/-1.6/0.4)
[mm] \overrightarrow{M'P} [/mm] = [mm] \vektor{-3 \\ 0.4 \\ 0.4} [/mm] = 3.0528...
Der lehrer hat versichert bei ihm würden die Aufgaben aufgehen, also kann da was nicht stimmen.
Gruss Dinker
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:50 Fr 25.09.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich durchschau deine Rechnung nicht ganz. Du hast soweit ich sehe einfach irgendeinen Punkt der Ebene ausgerechnet?
was war der Mittelpunkt deines Kreises? dann Abstand MM' bestimmen ,daraus wie steppenhan vorgeschlagen den Radius mit Pythagoras ausrechnen ist sicher einfacher als nen pkt des Kreises zu suchen.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:43 Fr 25.09.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Eine andere Variante für den Radius wäre die Gleichung R²=d²(M,E)+r², wobei R der Radius der Kugel, d(M,E) der Abstand von Kugelmittelpunkt und Ebene und r das Radius des Schnittkreises ist.
Zeichne dir mal eine Skizze von einer Kugel und einer Ebene, die diese schneidet (auf dem Blatt also ein Kreis mit einer Geraden dadurch).
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:50 Sa 26.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo
d(M,E) ) 3
also r = 4?
Danke
Gruss Dinker
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:13 Sa 26.09.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Jo, sieht super aus.
Teufel
|
|
|
|
