Schnittmenge von 4 Ebenen < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:01 Sa 15.12.2007 | | Autor: | sabsirro |
| Aufgabe | Bestimmen sie die Schnittmenge der Ebenen in Abhängigkeit von den Parametern a,b (Element) R
E1: x - 2y + 3z = 5
E2: 2x + y + 4z = 3
E3: 4x - 3y +az = 13
E4: x + 3y + z = b |
Hallo
Wie muss ich hier ansetzen um auf eine Lösung zu kommen?
Könnte mir das vll auch mal jemand beispielhaft lösen und erklären?
Das wäre sehr nett.
Mein Lösungsansatz war hier:
1. Ich wollte schauen dass ich, wenn ich 2 Gleichungen miteinander
kombiniere eine Variable rausschmeisse.
2. Für eine der verbleibenden Variablen setze ich zB.: [mm] \lambda [/mm] und löse das ganze dann nach der anderen Variable auf.
3. Einsetzen der ausgerechneten Variablen in eine der Gleichungen...fertig.
Das ist ja der Lösungsweg wie man normalerweise 2 Ebenen miteinander schneidet. Ich weiss aber nicht wie das genau mit den Parametern a,b gehen soll. Und wie ich diesen Weg mit 4 Ebenen gehen soll.
MfG Sab.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Du hast hier ein lineares Gleichunggsystem vorliegen, welches aus 4 Gleichungen mit den drei Variablen x,y,z besteht.
Bei Deinen Rechnungen behandle a und b so, als stünden dort irgendwelche Zahlen.
Die Variablen, nach denen aufzuösen ist, sind x,y,z.
Während Deiner Rechnungen mußt Du aufpassen, daß Du nicht durch Null dividierst.
Wenn Du z.B. durch a-5 dividierst, mußt Du notieren "für [mm] a\not=5", [/mm] der Fall a=5 ist dann anschließend gesondert zu untersuchen.
Wenn Du mit diesen Hinweisen nicht zum Ziel kommst, solltest Du mal vorrechnen, da sieht man dann, was Du kannst - das ist Deinem Profil nicht zu entnehmen.
Am bequemsten ist es hier sicher, wenn man mit dem Gauß-Algorithmus die dem GS entsprechende Matrix auf Zeilenstufenform bringt.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:51 So 16.12.2007 | | Autor: | sabsirro |
1 -2 3 5 | mal (-2) + die 2.Zeile, mal (-4) + die 3. , mal (-1) + die 4.
2 1 4 3
4 -3 +a 13
1 3 1 b
ergibt:
1 -2 3 5
0 5 -2 -7 | mal (-1) + die 3. , mal (-1) + die 4.
0 5 (-12+a) -7
0 5 -2 (-5+b)
ergibt die Stufenform:
1 -2 3 5
0 5 -2 -7
0 0 (-10+a) 0
0 0 0 (-2 + b)
Doch was soll ich damit jetzt anfangen? Wie kann ich daraus eine Schnittmenge in Abhängigkeit der beiden Parameter entnehmen?
EDIT:
Heisst das jetzt etwa...:
Wenn a= 10 und b= 2 dann gibt es unendlich viele lösugen und die Ebenen sind identisch?
Wenn sie etwas anderes sind bekomme ich überhaupt keine Lösung da dann die beiden unteren Aussagen falsch sind?
Oder gibt es auch noch andere möglichkeiten für a,b so dass sich etwas ergibt?
MfG Sab.
|
|
|
| |
|
> 1 -2 3 5 | mal (-2) + die 2.Zeile, mal (-4) + die 3. , mal
> (-1) + die 4.
> 2 1 4 3
> 4 -3 +a 13
> 1 3 1 b
>
> ergibt:
>
> 1 -2 3 5
> 0 5 -2 -7 | mal (-1) + die 3. , mal (-1) + die 4.
> 0 5 (-12+a) -7
> 0 5 -2 (-5+b)
>
> ergibt die Stufenform:
>
> 1 -2 3 5
> 0 5 -2 -7
> 0 0 (-10+a) 0
> 0 0 0 (-2 + b)
Hallo,
an der letzten Position muß es 2+b bzw. -2-b heißen.
>
> Doch was soll ich damit jetzt anfangen? Wie kann ich daraus
> eine Schnittmenge in Abhängigkeit der beiden Parameter
> entnehmen?
>
> EDIT:
>
> Heisst das jetzt etwa...:
Zunächst einmal stellt man fest: für [mm] b\not=-2 [/mm] gibt es überhaupt keine Lösung, denn hier ist der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix ungleich dme Range der Koeffizientenmatrix.
Für b=-2 ist der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix gleich dem Range der Koeffizientenmatrix, also gibt es in diesem Fall (mindestens) eine Lösung.
Sei b=-2, dann hat man
1 -2 3 |5
0 5 -2 |-7
0 0 (-10+a) |0
0 0 0 |0
Schaut man nun die vorletze Zeile an, so sieht man:
>
> Wenn a= 10
ist der Rang der Koeffizientenmatrix =2, das Schnittgebilde hat also die Dimension 1, ist also eine Gerade, deren Gleichung noch zu bestimmen ist.
Für [mm] a\not=10 [/mm] ist der Rang der Koeffizientenmatrix =3, das Schnittgebilde ist ein Punkt.
Ich verstehe die Aufgabe so, daß Du nun auch noch die Gleichung der Schnittgeraden bzw. die Koordinaten des Punktes angeben sollst.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 So 16.12.2007 | | Autor: | sabsirro |
Wie komme ich dann auf die Gleichung der Geraden?
ist das dann die Gerade mit der Steigung z= a/10 ?
MfG Sab.
|
|
|
| |
|
> Wie komme ich dann auf die Gleichung der Geraden?
>
> ist das dann die Gerade mit der Steigung z= a/10 ?
Mit der Steigung 1? Ich denke nicht.
Du hast für a=10 und b=-2
1 -2 3 |5
0 5 -2 |-7
0 0 0 |0
0 0 0 |0,
und diese GS mußt Du lösen.
Der Rang =2, Du kannst also 3-2=1 Parameter frei ählen, etwa
[mm] z=\lambda.
[/mm]
Dann ist
y=...
x=...,
also
[mm] \vektor{x \\ y\\z}= \vektor{ \\ \\ } [/mm] + [mm] \lambda \vektor{ \\ \\ }, [/mm] und damit hast Du dann die Parameterform der schnittgeraden.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 So 16.12.2007 | | Autor: | sabsirro |
Tut mir leid das verstehe ich nicht. Ich weiss nicht was du mit diesen Rängen meinst und wie man darauf kommt was für Werte man frei wählen darf. Zudem welche beiden G.S muss ich dann lösen? Die ersten beiden? Und wie komme ich auf die Form die du unten angegeben hast?
EDIT:
Ich habe es versucht so zu rechenen und habe glaube ich eine Lösung bekommen. Ist nur die Frage ob es so richtig ist.
[mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{21/5 \\ -7/5 \\0} [/mm] * t [mm] \vektor{-19/5 \\ -2/5 \\ 1}
[/mm]
MfG Sab.
MfG Sab.
|
|
|
| |
|
> Ich habe es versucht so zu rechenen und habe glaube ich
> eine Lösung bekommen. Ist nur die Frage ob es so richtig
> ist.
Hallo,
Deine Lösung sieht so aus, als hättest Du verstanden, was zu tun ist. Daß sie dennoch nicht ganz richtig ist, scheint mir lediglich an einem Rechenfehler zu liegen, ein Vorzeichenfehler vielleicht.
Gruß v. Angela
>
> [mm]\vektor{x \\ y \\ z}[/mm] = [mm]\vektor{21/5 \\ -7/5 \\0}[/mm] * t
> [mm]\vektor{-19/5 \\ -2/5 \\ 1}[/mm]
|
|
|
|
