Schnittmenge von Gerade/Ebene < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Im [mm] \IR^4 [/mm] seien die Gerade
g={ [mm] (-6,2,-3,5)+\lambda(4,3,-4,3) [/mm] | [mm] \lambda \in \IR [/mm] }
und die Ebene
E={ [mm] (1,1,1,2),+\mu(1,-3,0,0)+\nu(1,2,0,0) [/mm] | [mm] \mu, \nu \in \IR [/mm] }
gegeben.
a) Berechnen Sie die Schnittmenge von g mit E
b) Konstruieren Sie eine Ebene F, deren Richtungsvektoren senkrecht auf der Ebene E stehen und die durch den Punkt (-6,2,-3,5) geht.
c) Berechnen Sie die Schnittmenge von E und F
d) Geben Sie den Winkel an, in dem die Gerade g die Ebene E schneidet. |
Hallo, ich muss euch leider mal wieder wegen ein paar Ansätzen belästigen...
Also zu Aufgabe a) ist es meiner Meinung nach so, dass man die Gerade und die Ebene gleichsetzt und Werte für [mm] \lambda, \mu [/mm] und [mm] \nu [/mm] ausrechnet, aber dann...berechnet man den Schnittpunkt oder? Oder ist mit Schnittmenge etwas anderes gemeint?
b) woah...leider gar keine Ahnung. Also ein Vektor, der auf E senkrecht steht...das klingt ganz nach Kreuzprodukt. Also vielleicht (-6,2,-3,5) als ortsvektor und die beiden richtungsvektoren irgendwie mit dem kreuzprodukt berechnen? aber wie?
c)Na gut, da sollte dann eine Gerade als Schnittmenge rauskommen, falls mit Schnittmenge nicht doch etwas anderes gemeint ist?
d)Also hier hört es dann endgültig auf mit meinem Wissen über analytische geometrie, da brauch ich euch um zu überleben...
Vielen Dank im Voraus.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:29 Sa 03.11.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> a) Berechnen Sie die Schnittmenge von g mit E
> b) Konstruieren Sie eine Ebene F, deren Richtungsvektoren
> senkrecht auf der Ebene E stehen und die durch den Punkt
> (-6,2,-3,5) geht.
> c) Berechnen Sie die Schnittmenge von E und F
> d) Geben Sie den Winkel an, in dem die Gerade g die Ebene
> E schneidet.
> Hallo, ich muss euch leider mal wieder wegen ein paar
> Ansätzen belästigen...
>
> Also zu Aufgabe a) ist es meiner Meinung nach so, dass man
> die Gerade und die Ebene gleichsetzt und Werte für [mm]\lambda, \mu[/mm]
> und [mm]\nu[/mm] ausrechnet, aber dann...berechnet man den
> Schnittpunkt oder? Oder ist mit Schnittmenge etwas anderes
> gemeint?
Nein, das ist schon OK. Eventuell ist die Schnittmenge aber auch leer oder die Gerade g selbst.
> b) woah...leider gar keine Ahnung. Also ein Vektor, der
> auf E senkrecht steht...das klingt ganz nach Kreuzprodukt.
> Also vielleicht (-6,2,-3,5) als ortsvektor und die beiden
> richtungsvektoren irgendwie mit dem kreuzprodukt berechnen?
> aber wie?
Das Kreuzprodukt kannst du hier leider vergessen, wir sind im [mm] $\IR^4$.
[/mm]
Verwende den Punkt als Ortsvektor.
2 linear unabhängige Richtungsvektoren die senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren der Ebene stehen sollten dir schnell ins Auge fallen, wenn du mal genauer die beiden Richtungsvektoren der Ebene anschaust.
> c)Na gut, da sollte dann eine Gerade als Schnittmenge
> rauskommen, falls mit Schnittmenge nicht doch etwas anderes
> gemeint ist?
ja, vielleicht ist es eine Gerade, aber vielleicht schneiden sich die beiden Ebenen auch in genau einem Punkt.
Ich weiß, das mußt du jetzt erstmal verdauen, 2 Ebenen, die sich in einem Punkt schneiden?!?! das gibts doch gar nicht, oder?
doch, schon, im [mm] $\IR^4$ [/mm] nämlich 
Oder sie sind identisch, dann hast du eine Schnittebene.
LG und Gute N8
Will
|
|
|
| |
|
Hallo, ich konnte soweit schon einiges errechnen, habe aber noch Probleme bei Aufgabe c):
Als Ebene F hatte ich errechne F={ (-6,2,-3,5) + [mm] \delta(0,0,1,0) [/mm] + [mm] \gamma(0,0,0,1) [/mm] }, um die Schnittmenge von E und F zu errechnen habe ich beide gleichgesetzt und erhalten
[mm] \mu [/mm] + [mm] \nu [/mm] = -7
[mm] -3\mu [/mm] + [mm] \nu [/mm] = 1
[mm] \delta [/mm] = 4
[mm] \gamma [/mm] = -3
Also [mm] \mu=-17, \nu=10, \delta=4, \gamma=-3
[/mm]
Setze ich [mm] \delta [/mm] und [mm] \gamma [/mm] in E ein, bekomme ich den Punkt (-6,2,1,2) heraus, aber setze ich [mm] \mu [/mm] und [mm] \nu [/mm] in F ein, erhalte ich (-6,72,1,2), also einen anderen Punkt. Wie kann das sein?
Vielen Dank im Voraus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:45 Di 06.11.2007 | | Autor: | koepper |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
> Als Ebene F hatte ich errechne F={ (-6,2,-3,5) + [mm]\delta(0,0,1,0)[/mm] + [mm]\gamma(0,0,0,1)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
},
richtig.
> um die Schnittmenge
> von E und F zu errechnen habe ich beide gleichgesetzt und
> erhalten
> [mm]\mu[/mm] + [mm]\nu[/mm] = -7
> [mm]-3\mu[/mm] + [mm]\nu[/mm] = 1
bitte nachrechnen.
> [mm]\delta[/mm] = 4
> [mm]\gamma[/mm] = -3
> Also [mm]\mu=-17, \nu=10, \delta=4, \gamma=-3[/mm]
>
> Setze ich [mm]\delta[/mm] und [mm]\gamma[/mm] in E ein, bekomme ich den Punkt
> (-6,2,1,2) heraus, aber setze ich [mm]\mu[/mm] und [mm]\nu[/mm] in F ein,
> erhalte ich (-6,72,1,2), also einen anderen Punkt. Wie kann
> das sein?
gar nicht
Gruß
Will
|
|
|
|
