Schnittmenge von Vektoren < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:11 Mi 10.12.2008 | | Autor: | Foster |
| Aufgabe | Bestimme jeweils paarweise die Schnittmenge
A:= [mm] \vmat{ 1 & -1 & 2 } [/mm] + [mm] \lambda \vmat{ 1 & 0 & 1 } \vmat{ 0 & 1 & 1 }\lambda [/mm] , [mm] \mu \in \IR
[/mm]
B:= [mm] \vmat{ 1 & 1 & 1 } [/mm] + [mm] \lambda \vmat{ -1 & 0 & 1 } \vmat{ 0 & -1 & 1 } \lambda [/mm] , [mm] \mu \in \IR
[/mm]
C:= [mm] \vmat{ 0 & 2 & 3 } [/mm] + [mm] \lambda \vmat{ 1 & 0 & 3 } \lambda \in \IR [/mm] |
Hallo.
Mein Ansatz lautet
Schnittmenge A und B
[mm] \vmat{ 1 & -1 & 2 } [/mm] + [mm] \lambda \vmat{ 1 & 0 & 1 } \vmat{ 0 & 1 & 1 } [/mm] = [mm] \vmat{ 1 & 1 & 1 } [/mm] + [mm] \lambda \vmat{ -1 & 0 & 1 } \vmat{ 0 & -1 & 1 }
[/mm]
1 + 1 [mm] \lambda [/mm] + 0 [mm] \mu [/mm] = 1 - 1 [mm] \lambda [/mm] + 0 [mm] \mu
[/mm]
-1 + 0 [mm] \lambda [/mm] + 1 [mm] \mu [/mm] = 1 + 0 [mm] \lambda [/mm] - 1 [mm] \mu
[/mm]
2 + 1 [mm] \lambda [/mm] + 1 [mm] \mu [/mm] = 1 + 1 [mm] \lambda [/mm] + 1 [mm] \mu
[/mm]
daraus folgt
2 [mm] \lambda [/mm] = 0
2 [mm] \mu [/mm] = 2
[mm] \lambda [/mm] = 0 und [mm] \mu [/mm] = 1
...wenn ich das wieder einsetzte, dann stimmt meine Lösung nicht.
Was mache ich falsch?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Foster,
> Bestimme jeweils paarweise die Schnittmenge
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> A:= [mm]\vmat{ 1 & -1 & 2 }[/mm] + [mm]\lambda \vmat{ 1 & 0 & 1 } \vmat{ 0 & 1 & 1 }\lambda[/mm]
> , [mm]\mu \in \IR[/mm]
>
> B:= [mm]\vmat{ 1 & 1 & 1 }[/mm] + [mm]\lambda \vmat{ -1 & 0 & 1 } \vmat{ 0 & -1 & 1 } \lambda[/mm]
> , [mm]\mu \in \IR[/mm]
>
> C:= [mm]\vmat{ 0 & 2 & 3 }[/mm] + [mm]\lambda \vmat{ 1 & 0 & 3 } \lambda \in \IR[/mm]
>
> Hallo.
> Mein Ansatz lautet
> Schnittmenge A und B
>
> [mm]\vmat{ 1 & -1 & 2 }[/mm] + [mm]\lambda \vmat{ 1 & 0 & 1 } \vmat{ 0 & 1 & 1 }[/mm]
> = [mm]\vmat{ 1 & 1 & 1 }[/mm] + [mm]\lambda \vmat{ -1 & 0 & 1 } \vmat{ 0 & -1 & 1 }[/mm]
>
> 1 + 1 [mm]\lambda[/mm] + 0 [mm]\mu[/mm] = 1 - 1 [mm]\lambda[/mm] + 0 [mm]\mu[/mm]
> -1 + 0 [mm]\lambda[/mm] + 1 [mm]\mu[/mm] = 1 + 0 [mm]\lambda[/mm] - 1 [mm]\mu[/mm]
> 2 + 1 [mm]\lambda[/mm] + 1 [mm]\mu[/mm] = 1 + 1 [mm]\lambda[/mm] + 1 [mm]\mu[/mm]
>
> daraus folgt
>
> 2 [mm]\lambda[/mm] = 0
> 2 [mm]\mu[/mm] = 2
>
> [mm]\lambda[/mm] = 0 und [mm]\mu[/mm] = 1
>
> ...wenn ich das wieder einsetzte, dann stimmt meine Lösung
> nicht
> Was mache ich falsch?
Du mußt hier für A und B unterschiedliche Parameter wählen,
dann kannst Du Schnittmenge hiervon bestimmen.
[mm]A:\pmat{ 1 \\ -1 \\ 2 } + \lambda_{1} \pmat{ 1 \\ 0 \\ 1 } + \mu_{1} \pmat{ 0 \\ 1 \\ 1 }, \lambda_{1}, \mu{1} \in \IR[/mm]
[mm]B: \pmat{ 1 \\ 1 \\ 1 } + \lambda_{2} \pmat{ -1 \\ 0 \\ 1 } +\mu_{2} \pmat{ 0 \\ -1 \\ 1 } \lambda_{2}, \mu_{2} \in \IR[/mm]
Jetzt kannst Du die Schnittmenge bestimmen:
[mm]\pmat{ 1 \\ -1 \\ 2 } + \lambda_{1} \pmat{ 1 \\ 0 \\ 1 } + \mu_{1} \pmat{ 0 \\ 1 \\ 1 }=\pmat{ 1 \\ 1 \\ 1 } + \lambda_{2} \pmat{ -1 \\ 0 \\ 1 } +\mu_{2} \pmat{ 0 \\ -1 \\ 1 }[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:40 Do 11.12.2008 | | Autor: | Foster |
Schnittmenge A und C (habe anstatt Lambda und Mü, r, s, t und u eingesetzt)
1 r -1 t = -1
1 s = 3
1 r + 1 s - 3 t = 1
mit dem Gaußverfahren bekomme ich für r= -0,5 , s= 3 und t= 0,5 heraus.
dies setze ich dann wieder in meine Vektoren ein und bekomme die Schnittmenge [mm] \vmat{ 0,5 & 2 & 4,5 } [/mm] heraus.
analog gilt für Schnittmenge B und C (SChnittmenge = [mm] \vmat{ -0,5 & 2 & 1,5 } [/mm] )
--------hab ich das richtig gemacht ???
Bei der Schnittmenge A und B komme ich nicht weiter:
habe folgenden Ansatz
1 r +1 t = 0
1 s +1 u = 2
1 r +1 s -1 t - 1 u = -1
wie bekomme ich hier r, t, s und u heraus. Habe schon mehrfach gerechnet bekomme aber immer nur 2 unbekannte in eine Gleichung.
Habt ihr einen Tipp?
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> Schnittmenge A und C (habe anstatt Lambda und Mü, r, s, t
> und u eingesetzt)
>
> 1 r -1 t = -1
> 1 s = 3
> 1 r + 1 s - 3 t = 1
>
> mit dem Gaußverfahren bekomme ich für r= -0,5 , s= 3 und
> t= 0,5 heraus.
>
> dies setze ich dann wieder in meine Vektoren ein und
> bekomme die Schnittmenge [mm]\vmat{ 0,5 & 2 & 4,5 }[/mm] heraus.
Hallo,
richtig.
Du bekommst den Schnittpunkt [mm] \vektor{0.5\\2\\4.5}, [/mm] die Schnittmenge der Ebene und der Geraden ist die Menge [mm] \{\vektor{0.5\\2\\4.5}\}, [/mm] welche nur diesen einen Punkt enthält.
>
> analog gilt für Schnittmenge B und C (SChnittmenge =
> [mm]\vmat{ -0,5 & 2 & 1,5 }[/mm] )
>
> --------hab ich das richtig gemacht ???
Ja. Zum Aufschreiben der Schnittmenge s.o.
>
> Bei der Schnittmenge A und B komme ich nicht weiter:
>
> habe folgenden Ansatz
>
> 1 r +1 t = 0
> 1 s +1 u = 2
> 1 r +1 s -1 t - 1 u = -1
>
> wie bekomme ich hier r, t, s und u heraus. Habe schon
> mehrfach gerechnet bekomme aber immer nur 2 unbekannte in
> eine Gleichung.
>
> Habt ihr einen Tipp?
Daß Du das nicht so schön auflösen kannst wie bei den andern beiden Aufgaben wird klar, wenn Du Dir die Geometrie vergegenwärtigst: Du bringst hier zwei Ebenen zum Schnitt, und es ist nicht zu erwarten, daß diese sich in genau einem Punkt schneiden, oder?
Du kannst also keine oder viele Lösungen erwarten.
Steuere darauf zu, daß Du Beziehungen zwischen r und s oder t und u erhältst, also (nur ein Beispiel, rechnen sollst Du selbst) etwa r=3s+12. Dies setzt Du dann in der Ebenengleichung ein und behältst eine Gleichung mit nur einem Parameter, also eine Gerade - die Schnittgerade.
Versuch's mal!
Gruß v. Angela
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Hi habe die selbe Aufgabe und hab die beiden eben glecihgesetzt. bekomme nun für
r = -3/2 + u
s = 2 - u
t = 3/2 - u
ich glaub ich steh im moment auf dem schlauch - wie gehts weiter?^^
LG
Zaphad
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> Hi habe die selbe Aufgabe und hab die beiden eben
> glecihgesetzt. bekomme nun für
> r = -3/2 + u
> s = 2 - u
> t = 3/2 - u
>
> ich glaub ich steh im moment auf dem schlauch - wie gehts
> weiter?^^
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
t = 3/2 - u setzt Du nun in die zugehörige Ebenengleichung
$ B: [mm] \pmat{ 1 \\ 1 \\ 1 } [/mm] +t* [mm] \pmat{ -1 \\ 0 \\ 1 } [/mm] +u* [mm] \pmat{ 0 \\ -1 \\ 1 }
[/mm]
ein und bringst dies auf die Form vektor1 + u* vektor2.
das sit dann die Parameterdarstellung der Schnittgeraden.
Du kannst auch (aus Spaß oder als Probe) die errechneten s und t in die zugehörige Gleichung einsetzen, es ebenfalls in die angegebene Form bringen und darüber sinnieren, ob die beiden erhaltenen Gerade gleich sind - das sollten sie ja sein. (manchmal muß man etwas genauer gucken um die Gleichheit zu sehen).
Gruß v. Angela
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achsoo, ja ich erinnere mich! Seid meinem Abi ist der ganze Mathe Stoff doch schon etwas eingerostet! Vielen Dank für deine Hilfe!!
LG
Zaphod
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:28 Do 11.12.2008 | | Autor: | Foster |
alos habe ich, wenn ich t in meine Gleichung einsetze das heraus?
[mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1 } [/mm] + (1,5-u) [mm] \vektor{ -1 \\ 0 \\ 1 } [/mm] + u [mm] \vektor{0 \\ -1 \\ 1 }
[/mm]
= [mm] \vektor{1,5 + u \\ 1 \\ 2,5 - u } [/mm] + u [mm] \vektor{0 \\ -1 \\ 1 }
[/mm]
also gibt es dort keine Schnittmenge? oder beliebig viele??
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> alos habe ich, wenn ich t in meine Gleichung einsetze das
> heraus?
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> [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1 }[/mm] + (1,5-u) [mm]\vektor{ -1 \\ 0 \\ 1 }[/mm] + u
> [mm]\vektor{0 \\ -1 \\ 1 }[/mm]
>
> = [mm]\vektor{1,5 + u \\ 1 \\ 2,5 - u }[/mm] + u [mm]\vektor{0 \\ -1 \\ 1 }[/mm]
>
> also gibt es dort keine Schnittmenge? oder beliebig viele??
Hallo,
es gibt immer nur eine Schnittmenge.
Die Frage ist, wieviele Punkte in der Schnittmenge enthalten sind: keiner, einer oder viele?
> [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1 }[/mm] + (1,5-u) [mm]\vektor{ -1 \\ 0 \\ 1 }[/mm] + u [mm]\vektor{0 \\ -1 \\ 1 }[/mm]
[mm] =\vektor{1 \\ 1 \\ 1 } +1.5*\vektor{ -1 \\ 0 \\ 1 } -u*\vektor{ -1 \\ 0 \\ 1 } [/mm] +u [mm]\vektor{0 \\ -1 \\ 1 }[/mm]
[mm] =\vektor{-0.5 \\ 1 \\ 2.5 } [/mm] + [mm] u\vektor{1 \\ -1 \\ 0 }
[/mm]
Es ist als [mm] g_{A;B}: \vec{x}==\vektor{-0.5 \\ 1 \\ 2.5 } [/mm] + [mm] u\vektor{1 \\ -1 \\ 0 } [/mm] die Schnittgerade der beiden Ebenen. (Unendlich viele gemeinsame Punkte, die alle auf einer Geraden liegen.)
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:46 Do 11.12.2008 | | Autor: | Foster |
Vielen dank......jetzt hab ich´s verstanden.
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