Schnittpunkt stetiger Funktion < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:02 So 12.12.2010 | | Autor: | Lilium |
| Aufgabe | a.) Sei [a,b] [mm] \subset \IR [/mm] ein abgeschlossenes Intervall und f,g : [a,b] [mm] \to \IR [/mm] seien zwei stetige Funktionen mit
f(a) > g(a) f(b) < g(b)
Man beweise, dass es ein [mm] x_{0} \in [/mm] [a,b] mit [mm] f(x_{0}) [/mm] = [mm] g(x_{0}) [/mm] gibt.
b.) Sei f: [a,b] [mm] \to \IR [/mm] eine stetige Funktion. Dann gibt es zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 Treppenfunktionen [mm] \partial, \nu [/mm] : [a,b] [mm] \to \IR [/mm] mit folgenden Eigenschaften:
[mm] \partial(x) \le [/mm] f(x) [mm] \le \nu(x) [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] [a,b]
| [mm] \partial(x) [/mm] - [mm] \nu(x) [/mm] | [mm] \le \varepsilon [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] [a,b] |
Hallo zusammen,
Für a.) denke ich, dass man die Aufgabe mit einem Wiederspruchsbeweis lösen könnte:
Ich dachte mir, man könnte annehmen, dass es kein [mm] x_{0} [/mm] gibt, für das f( [mm] x_{0}) [/mm] = g( [mm] x_{0}) [/mm] gilt.
Dann würde ja f(a) [mm] \to [/mm] z
und g(a) [mm] \to [/mm] y mit y [mm] \not= [/mm] z.
Weil ja f(a) > g(a) muss auch z [mm] \ge [/mm] y gelten.
Andersherum ist dann ja
f(b) [mm] \to [/mm] z
und g(b) [mm] \to [/mm] y mit y [mm] \not= [/mm] z
Weil f(b) < g(b) ist auch z [mm] \le [/mm] y und das ist ein Wiederspruch, weil diese Aussage nur gültig ist, wenn y=z . Aber dann existiert ja ein Schnittpunkt.
Soweit zu meinem Lösungsansatz, aber ich möchte gerne wissen, wie das formal zu beweisen ist. Vielleicht kann mir ja jemand einen Tipp geben?
Teilaufgabe b.) verstehe ich leider nicht. Es wäre schön, wenn mir jemand erklären könnte, was ich da machen muss.
Vielen Dank im Voraus und einen frohen 3. Advent,
Lilium
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:06 So 12.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> a.) Sei [a,b] [mm]\subset \IR[/mm] ein abgeschlossenes Intervall und
> f,g : [a,b] [mm]\to \IR[/mm] seien zwei stetige Funktionen mit
>
> f(a) > g(a) f(b) < g(b)
>
> Man beweise, dass es ein [mm]x_{0} \in[/mm] [a,b] mit [mm]f(x_{0})[/mm] =
> [mm]g(x_{0})[/mm] gibt.
>
> b.) Sei f: [a,b] [mm]\to \IR[/mm] eine stetige Funktion. Dann gibt
> es zu jedem [mm]\varepsilon[/mm] > 0 Treppenfunktionen [mm]\partial, \nu[/mm]
> : [a,b] [mm]\to \IR[/mm] mit folgenden Eigenschaften:
>
> [mm]\partial(x) \le[/mm] f(x) [mm]\le \nu(x)[/mm] für alle x [mm]\in[/mm] [a,b]
>
> | [mm]\partial(x)[/mm] - [mm]\nu(x)[/mm] | [mm]\le \varepsilon[/mm] für alle x [mm]\in[/mm]
> [a,b]
> Hallo zusammen,
>
> Für a.) denke ich, dass man die Aufgabe mit einem
> Wiederspruchsbeweis lösen könnte:
> Ich dachte mir, man könnte annehmen, dass es kein [mm]x_{0}[/mm]
> gibt, für das f( [mm]x_{0})[/mm] = g( [mm]x_{0})[/mm] gilt.
>
> Dann würde ja f(a) [mm]\to[/mm] z
> und g(a) [mm]\to[/mm] y mit y [mm]\not=[/mm] z.
>
> Weil ja f(a) > g(a) muss auch z [mm]\ge[/mm] y gelten.
>
> Andersherum ist dann ja
>
> f(b) [mm]\to[/mm] z
> und g(b) [mm]\to[/mm] y mit y [mm]\not=[/mm] z
>
> Weil f(b) < g(b) ist auch z [mm]\le[/mm] y und das ist ein
> Wiederspruch, weil diese Aussage nur gültig ist, wenn y=z
> . Aber dann existiert ja ein Schnittpunkt.
Alles was grün ist, ist kompletter Unsinn und ich habe keine Lust, auf Einzelheiten einzugehen.
Tipp: betrachte h:=f-g und denke an den Zwischenwertsatz
>
> Soweit zu meinem Lösungsansatz, aber ich möchte gerne
> wissen, wie das formal zu beweisen ist. Vielleicht kann mir
> ja jemand einen Tipp geben?
>
>
> Teilaufgabe b.) verstehe ich leider nicht. Es wäre
> schön, wenn mir jemand erklären könnte, was ich da
> machen muss.
Es steht klar und deutlich da, was zu tun ist. Was verstehst Du nicht ?
FRED
>
> Vielen Dank im Voraus und einen frohen 3. Advent,
>
> Lilium
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
|
|
|
|
