Schnittpunkt und Schnittwinkel < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimmen Sie Schnittpunkt und Schnittwinkel der Geraden g und h.
a)
g: y= x-1 h: y= 3x-9
b)
g: 2x+4y+3=0 h:6x-8y=11
|
Hey ihr!
Ich bereite mich gerade auf meine Matheklausur vor und bin auf diese zwei Aufgaben gestoßen. Mein Mathebuch hat die Lösungen vorgegben, aber ich kann die nicht nachvoll ziehen, ich habe etwas komplett anderes raus. Leider hat das Buch nicht den Lösungsweg abgedruckt, nur das Ergebnis.
a)
g: y= x-1 h: y= 3x-9
g(x)=h(x)
3x-9=x-1 | +x
4x-9=-1 |+9
4x=8 | :4
x=2
f(2)=3*2-9
=-3
S (2|-3)
[mm] tan^{-1} [/mm] (2) = 63,43°
[mm] tan^{-1} [/mm] (-3) = -71,5°
--> 180°-71,5° = 108,5°
63,43° + (180°-108,5°)
134,93°
--> 180°-134,93° = 45,07°
Mein Lösungsbuch hat einen Winkel von 26,6°, aber ich verstehe nicht, wieso.
b)
g: 2x+4y+3=0 h:6x-8y=11
Aufgelöst nach y:
g: y=2x-0,75 h: y=6x-1,375
g(x)=h(x)
2x-0,75 = 6x-1,375 | -2x
-0,75 = 4x-1,375 | + 1,375
0,625 = 4x | :4
0,15625 = x
X eingesetzt in die erste Gleichung um Y raus zu bekommen:
2*0,15625 - 0.75 = y
-0,4375 = y
S ( 0,15625 | -0,4375)
[mm] tan^{-1} [/mm] (0,15625) = 8,88°
[mm] tan^{-1} [/mm] (-0,4375) = 23,63°
8,88°+23,63° = 35,51°
Das lösungsbuch sagt aber, dass der Winkel 63,4° sein muss...
Ich hoffe, ihr könnt mir helfen!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:23 Sa 14.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo espritgirl
Du hast den [mm] tan^{-1} [/mm] vom x Wert des Schnittpunktes berechnet. aber das ist eine Koordinate, kein Winkel, und deshalb nicht sinnvoll. Wenn du einer der Geraden parallel verschiebst, ändert sich der Schnittpkt, nicht aber der Schnittwinkel.
Der Schnittwinkel ist die Differenz der Winkel zur x-Achse, der ist aber durch die Schnittwinkel ausrechnen, ohne den Schnittpkt zu kennen.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Hallo Leduart,
Danke für deine schnelle Hilfe, allerdings muss ich gestehen, ich habe deine Erklärung nicht verstanden!
Wir haben in der Schule öfters mal den Schnittwinkel ausrechnen müssen und wir haben das immer so gemacht, dass wir das über den Tangenz und über den Schnittpunkt gemacht haben.
Wir hatten dann immer einen S (x/y) und haben von x und y dann jeweils die Umkehrfunktion des Tangenz ausgerechnet.
Vielleicht kannst du mir ja deine Erklärung etwas genauer erklären?!
Liebe Grüße,
Sarah
|
|
|
| |
|
[mm] \text{Hi,}
[/mm]
[mm] \text{a)}\quad$g:y=x-1 \wedge [/mm] h:y=3x-9$
[mm] \text{b)}\quad$g:2x+4y+3=0 \wedge [/mm] h:6x-8y=11$
> Hey ihr!
>
> Ich bereite mich gerade auf meine Matheklausur vor und bin auf diese zwei Aufgaben gestoßen. Mein Mathebuch hat die > Lösungen vorgegben, aber ich kann die nicht nachvoll ziehen, ich habe etwas komplett anderes raus. Leider hat das Buch > nicht den Lösungsweg abgedruckt, nur das Ergebnis.
> a)
> g: y= x-1 h: y= 3x-9
>
> g(x)=h(x)
[mm] \text{Bis hierhin korrekt!}
[/mm]
> 3x-9=x-1 | +x
4x-9=-1 |+9 [mm] \text{Du musst das x mit minus herüberbringen!}
[/mm]
> 4x=8 | :4
> x=2
>
> f(2)=3*2-9
> =-3
>
> S (2|-3)
[mm] \text{Sonst ist der Rechenweg korrekt.}
[/mm]
$ [mm] tan^{-1} [/mm] $ (2) = 63,43°
$ [mm] tan^{-1} [/mm] $ (-3) = -71,5°
--> 180°-71,5° = 108,5°
[mm] \text{Das ergibt so keinen Sinn, da du jetzt allgemein (je nach dem, ob du beim Taschenrechner RAD oder DEG eingestellt hast)}
[/mm]
[mm] \text{an den Stellen 2 und -3 die Gradzahl bzw. Bogenmaßzahl ausrechnest. Das ist hier völlig unbrauchbar! Hier musst du die}
[/mm]
[mm] \text{Steigungswinkel der Geraden ausrechnen und den Kleineren vom Größeren abziehen.}
[/mm]
[mm] \text{Dazu musst du}\quad$\tan^{-1}$\quad$\text{in der Tat benutzen, aber musst du die Steigungen der beiden Geraden jetzt benutzen.}$
[/mm]
[mm] $\rightarrow \tan^{-1}(1)=45° \wedge \tan^{-1}(3)\approx71,6°$
[/mm]
[mm] \text{Schnittwinkel lautet dann:}\quad$\tan^{-1}(3)-\tan^{-1}(1)\approx26,6°$
[/mm]
> 63,43° + (180°-108,5°)
> 134,93°
> --> 180°-134,93° = 45,07°
>
> Mein Lösungsbuch hat einen Winkel von 26,6°, aber ich verstehe nicht, wieso.
>
>
>
> b)
> g: 2x+4y+3=0 h:6x-8y=11
>
> Aufgelöst nach y:
>
g: y=2x-0,75 [mm] \text{Die Steigung ist nicht 2, sondern -2 (falsche Termumformung)} [/mm] h: y= 6x-1,375 [mm] \text{Noch mal, es lautet}\quad$-\bruch{3}{4}x$\quad$\text{, nicht}$\quad$6x$\quad$\text{.}$
[/mm]
[mm] \text{Für den Schnittwinkel gilt dasselbe wie für oben.}
[/mm]
[mm] $\rightarrow \tan^{-1}(-2)\approx-63,4° \wedge \tan^{-1}\left(-\bruch{3}{4}\right)\approx-36,9°$
[/mm]
...
>
> g(x)=h(x)
>
2x-0,75 = 6x-1,375 | -2x
-0,75 = 4x-1,375 | + 1,375
0,625 = 4x | :4
0,15625 = x
>
> X eingesetzt in die erste Gleichung um Y raus zu bekommen:
>
> 2*0,15625 - 0.75 = y
> -0,4375 = y
>
> S ( 0,15625 | -0,4375)
>
>
>
> $ [mm] tan^{-1} [/mm] $ (0,15625) = 8,88°
> $ [mm] tan^{-1} [/mm] $ (-0,4375) = 23,63°
>
> 8,88°+23,63° = 35,51°
>
> Das lösungsbuch sagt aber, dass der Winkel 63,4° sein muss...
>
> Ich hoffe, ihr könnt mir helfen!
>
[mm] \text{Grüße, Stefan.}
[/mm]
[mm] \text{PS: Mach' dir ne Skizze. ;)}
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo Stefan,
Wir haben in der Schule genau eine Aufgabe zu diesen Schnittwinkeln gerechnet, in der dummerweise die Steigung die gleichen Zahlen wie der Schnittpunkt hatten, ledilich mit einem anderen Vorzeichen - und das habe ich übersehen, sonst wäre mir aufgefallen, dass man die Steigung und NICHT die Koordinaten des Schnittpunktes nehmen musste.
Aber danke für deine Erklärung!
Habe zur Sicherheit noch ein paar Aufgaben dazu gerechnet, die immer auch geklappt haben, bis aug folgende. Ich hoffe, du oder Jemand anders kann mir diese auch kontrollieren...
g: 3x+5y+10=0 --> nach y aufgelöst: g: y=3x-2
h: 0,4x+y=-2 ---> nach y aufgelöst: g: y= -0,4x-2
g(x)=h(x)
3x-2=-0,4x-2 | +0,4x
3,4x-2=-2 | +2
3,4x = 0 | /3,4
x=0
eingesetzt in die erste Gleichung:
f(0)= 3*0-2 = -2
S (0|-2)
[mm] m_{g} [/mm] = 3
[mm] m_{h} [/mm] = -0,4
[mm] tan^{-1} [/mm] (3) = 71,57°
[mm] tan^{-1} [/mm] (-0,4) = -21,80° --> muss man hier nicht 180°-21,80° rechnen? Es gibt keine negativen Winkel, zumindest nicht in diesem Fall, oder?
Meine Lösungsbuch gibt vor, der Winkel müsse 9,2° sein... Wieso ist meine Rechnung falsch?
und diese Aufgabe habe ich kaum verstanden:
g: x = 2y-3 ---> nach y aufgelöst: g: y=1,5x
h: y-1=0 ---> nach y aufgelöst: y=1
Da bei h das X fehlt muss doch eigentlich der Winkel 90° sein, oder?
Liebe Grüße,
Sarah
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:54 So 15.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Sarah
> Hallo Stefan,
>
> Wir haben in der Schule genau eine Aufgabe zu diesen
> Schnittwinkeln gerechnet, in der dummerweise die Steigung
> die gleichen Zahlen wie der Schnittpunkt hatten, ledilich
> mit einem anderen Vorzeichen - und das habe ich übersehen,
> sonst wäre mir aufgefallen, dass man die Steigung und NICHT
> die Koordinaten des Schnittpunktes nehmen musste.
>
> Aber danke für deine Erklärung!
>
> Habe zur Sicherheit noch ein paar Aufgaben dazu gerechnet,
> die immer auch geklappt haben, bis aug folgende. Ich hoffe,
> du oder Jemand anders kann mir diese auch kontrollieren...
>
> g: 3x+5y+10=0 --> nach y aufgelöst: g: y=3x-2
> h: 0,4x+y=-2 ---> nach y aufgelöst: g: y= -0,4x-2
>
> g(x)=h(x)
> 3x-2=-0,4x-2 | +0,4x
> 3,4x-2=-2 | +2
> 3,4x = 0 | /3,4
> x=0
>
> eingesetzt in die erste Gleichung:
> f(0)= 3*0-2 = -2
>
> S (0|-2)
>
> [mm]m_{g}[/mm] = 3
>
> [mm]m_{h}[/mm] = -0,4
>
> [mm]tan^{-1}[/mm] (3) = 71,57°
>
> [mm]tan^{-1}[/mm] (-0,4) = -21,80° --> muss man hier nicht
> 180°-21,80° rechnen? Es gibt keine negativen Winkel,
> zumindest nicht in diesem Fall, oder?
Der Winkel, den du mit [mm] tan^{-1} [/mm] berechnest, ist der Winkel zwischen der x-Achse und der Gerade, und zwar bei deinem Taschenrechner der kleinere. Diese ist in diesem Fall unterhalb der x-Achse. Da der Winkel aber von der x-Achse gegen den Uhrzeigersinn, also im mathematisch positiven Sinn gezählt wird, ist dein Winkel in diesem Fall negativ. Das heisst, für diene Berechnungen musst du den anderen (grösseren) Schnittwinkel benutzen. Also [mm] \beta=180°-\alpha
[/mm]
>
> Meine Lösungsbuch gibt vor, der Winkel müsse 9,2° sein...
> Wieso ist meine Rechnung falsch?
>
> und diese Aufgabe habe ich kaum verstanden:
>
> g: x = 2y-3 ---> nach y aufgelöst: g: y=1,5x
>
> h: y-1=0 ---> nach y aufgelöst: y=1
>
> Da bei h das X fehlt muss doch eigentlich der Winkel 90°
> sein, oder?
Nein y=1 ist eine Parallele zur y-Achse, schneidet diese also nicht.
Man kann es auch "erahnen", wenn man die Formel benutztz.
y=1 ist ja eingentlich die Gerade y=0x+1.
Das heisst, der Schnittwinkel berechnet sich wie folgt
[mm] tan(\alpha)=0\gdw\alpha=tan^{-1}(0)=0
[/mm]
Das heisst, sobald du den Schnittwinkkel der anderen Geraden mit der x-Achse berechnet hast, hast du gleichzeitig den zwischen der anderen Geraden und der Geraden y=1 gefunden. (das kann man auch mit Stufenwinkeln begründen)
>
> Liebe Grüße,
>
> Sarah
>
Hilft dir das erstmal weiter?
Marius
>
|
|
|
| |
|
Sali espritgirl!
Du hast einen verdammt fiesen Flüchtigkeitsfehler gemacht!
Du darfst nicht den tan^-1 von den Schnittpunktkoordinaten nehmen, sondern von den Steigungen der Geraden.
|
|
|
|
