Schnittpunkt von Ebenen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:54 Mi 02.01.2008 | | Autor: | crouler |
| Aufgabe | Gegeben sind zwei Ebenen E1, E2 und eine Ebenenschar E(k) mit k Element R durch:
E1: -2x+y-z=-4; E2: x+y+2z=8; E(k): 2x-y+kz=4
Untersuche für welche Werte von k Element R sich die Ebenen der Schar mit E1 und E2 in genau einem Punkt schneiden? Ermittle den Schnittpunkt! |
Es handelt sich um eine Belegaufgabe und es wäre echt klasse wenn mir jemand nen Ansatz aufzeigen könnte. Hatte erst versucht die Schnittgerade von E1 und E2 zu bestimmen und damit dann den Schnittpunkt mit der Ebenenschar zu finden, war da jedoch nicht erfolgreich. In der graphischen Darstellung müsste k=1 sein damit es einen Schnittpunkt gibt, zumindestens wenn ich das richtig gemacht hab. Bräuchte aber nen rechnerischen Ansatz über Vektoren, weiß das man das auch über ne Matrix lösen könnte aber das ist nicht beabsichtigt.
Vielen dank schonmal für die Unterstützung.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi, crouler,
> Gegeben sind zwei Ebenen E1, E2 und eine Ebenenschar E(k)
> mit k Element R durch:
> E1: -2x+y-z=-4; E2: x+y+2z=8; E(k): 2x-y+kz=4
> Untersuche für welche Werte von k Element R sich die
> Ebenen der Schar mit E1 und E2 in genau einem Punkt
> schneiden? Ermittle den Schnittpunkt!
> Es handelt sich um eine Belegaufgabe und es wäre echt
> klasse wenn mir jemand nen Ansatz aufzeigen könnte. Hatte
> erst versucht die Schnittgerade von E1 und E2 zu bestimmen
> und damit dann den Schnittpunkt mit der Ebenenschar zu
> finden, war da jedoch nicht erfolgreich.
Wieso nicht? Das müsste auf jeden Fall funzen!
Schreib' doch mal die Schnittgerade auf!
> In der graphischen
> Darstellung müsste k=1 sein damit es einen Schnittpunkt
> gibt, zumindestens wenn ich das richtig gemacht hab.
Genau umgekehrt, denn: Für k=1 sind die Ebenen [mm] E_{1} [/mm] und [mm] E_{k}
[/mm]
identisch: Dann ist die Schnittmenge der 3 Ebenen
(sind ja dann eigentlich nur zwei!)
eine Gerade, kein Punkt!
> Bräuchte aber nen rechnerischen Ansatz über Vektoren, weiß
> das man das auch über ne Matrix lösen könnte aber das ist
> nicht beabsichtigt.
Schade: Diese Methode wäre die beste; aber bitte!
Wie gesagt; Schnittgerade angeben, dann helfen wir weiter!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:30 Mi 02.01.2008 | | Autor: | crouler |
Vielen dank für die schnelle Reaktion!
Ich habe als Schnittgerade (g1) von E1 und E2 folgendes erhalten g1: 0X=(0/0/4)+t+(1/-1/1) dementsprechend für x=t; y=t; z=4-t
dann habe ich g1 in E(k) eingesetzt: 2*t-t+k+(4-t)=4 erhalte dann k*(4-t)=4-t --> k=(4-t)/(4-t) also k=1
und ab da weiß ich nicht so richtig weiter, denn k=1 bedeutet meines erachtens das sich die Schar mit der Geraden schneiden wenn k=1 erfüllt ist. Falls das nicht so ganz hinhaut kannst mir evtl den Fehler aufzeigen?! Wäre gut wenn du mir sagen könntest wie ich daraus jetzt einen Schnittpunkt ermitteln kann.
Vielen dank schonmal :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:42 Mi 02.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo crouler!
> Ich habe als Schnittgerade (g1) von E1 und E2 folgendes
> erhalten g1: 0X=(0/0/4)+t+(1/-1/1) dementsprechend für x=t;
> y=t; z=4-t
Wahrscheinlich nur ein Tippfehler. Die Schnittgerade lautet:
[mm] $$g_{1\cap 2} [/mm] \ : \ [mm] \vec{x} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{0\\0\\4}+t*\vektor{1\\ \red{1} \\ \red{-1}}$$
[/mm]
> dann habe ich g1 in E(k) eingesetzt: 2*t-t+k+(4-t)=4
> erhalte dann k*(4-t)=4-t --> k=(4-t)/(4-t) also k=1
Hier hast Du Dich verrechnet beim Einsetzen. Es muss heißen:
$$2*t-t+k \ [mm] \red{*} [/mm] \ (4-t) \ = \ t+4*k-k*t \ = \ 4$$
Und nun nach $t \ = \ ...$ umstellen. Dabe aber aufpassen, dass man nicht durch einen Term gleich Null teilt.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Mi 02.01.2008 | | Autor: | crouler |
Hallo Loddar
es war leider kein Tipfehler, hatte den Fehler auch bei mir gemacht, sorry das hätte man mitbekommen müssen.
also ich habe nun nach t umgestellt und erhalte t=(4-4k)/(1-k)
Wie sollte man jetzt weiter vorgehen? t in die Gleichung der Schnittgeraden mit der Ebenenschar einsetzen und k ermitteln?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:11 Mi 02.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo crouler!
Zum einen musst Du gesondert betrachten, wann gilt $1-k \ = \ 0$ . Denn in diesem Falle darfst Du auch nicht durch diesen Term $1-k_$ teilen. Dann gibt es keine Lösung; sprich auch keinen Schnittpunkt.
Für $1-k \ [mm] \not= [/mm] \ 0$ kannst Du aber umformen:
$$t \ = \ [mm] \bruch{4-4k}{1-k} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4*(1-k)}{1-k} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:19 Mi 02.01.2008 | | Autor: | crouler |
Danke für den Denkanstoß. Damit wäre t=4 und der Schnittpunkt bei S(4/4/0) und wie du schon meintest muss [mm] k\not=1 [/mm] sein.
Ich dank euch beiden ganz herzlich für die Hilfe, einfach klasse, kann ich nur weiterempfehlen!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:56 Mi 02.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo crouler!
Und für $k \ [mm] \not= [/mm] \ ...$ erhältst Du auch einen konkreten Wert für den Geradenparameter $t_$ .
Diesen dann in die Geradengleichung [mm] $g_{1\cap 2}$ [/mm] einsetzen - und Du hast den gesuchten Schnittpunkt.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:18 Mi 02.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo crouler,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Bitte nicht einfach kommentarlos eine beantwortete Frage auf den Status "unbeantwortet" stellen.
Falls noch etwas unklar sein sollte, bitte konkrete (Rück-)Fragen stellen bzw. die eigenen Lösungsansätze / Rechnungen mitposten.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:33 Mi 02.01.2008 | | Autor: | crouler |
Sorry Loddar, werd in zukunft darauf achten.
Gruß crouler
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