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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:50 Sa 19.11.2005 | | Autor: | moppe |
Hallo!
Ich habe ein kleines Problem: habe meinem Mathe-LK eine Hausaufgabe aufgegeben, die ich nicht gelöst kriege ;)
(sie stammt aus: "Mathematik heute - Leistungskurs Analysis Gesamtband" S.296/15 b) )
vielleicht kann mir ja wer von euch helfen?
Von zwei Funktionen f(x) und g(x) sollen die Schnittstellen berechnet werden, wobei der gemeinsame Punkt (0/0) bekannt ist.
f(x) = e^(x²)-1 g(x)= (e-1)*x²
Als Lösung sind x=0, x= -1, x=1 angegeben - aber der Rechenweg ist mir schleierhaft.... Die Lösungen sind durch hinschauen eindeutig zu erkennen, aber die Begründung fehlt mir!
Würd mich freuen, wenn sich wer an der Knobelei erfreut und mir weiterhelfen könnte - vielen Dank im voraus :)
Moppe
PS: ich bräuchte Antwort bis Sonntag abend, bin aber auch darüber hinaus an der Lösung interessiert.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo moppe,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Von zwei Funktionen [mm] $f\left(x\right)$ [/mm] und [mm] $g\left(x\right)$ [/mm] sollen die Schnittstellen berechnet werden, wobei der gemeinsame Punkt (0|0) bekannt ist.
>
> [mm] $f\left(x\right) [/mm] := [mm] e^{x^2} [/mm] - [mm] 1;\quad g\left(x\right) [/mm] := [mm] \left(e-1\right)x^2$
[/mm]
>
> Als Lösung sind $x=0, x= -1, x=1$ angegeben - aber der
> Rechenweg ist mir schleierhaft.... Die Lösungen sind durch
> hinschauen eindeutig zu erkennen, aber die Begründung fehlt
> mir!
Wenn Du die beiden Funktionsterme gleichsetzt, erhälst Du letztlich folgende Gleichung:
[mm] $\underbrace{e^{x^2} + x^2\left(1-e\right) - 1}_{=: s\left(x\right)} [/mm] = 0$
Im Moment habe ich das Gefühl, daß Du das mit algebraischen Operationen alleine nicht nach x umformen kannst. Wir können die Nullstellen aber vielleicht "plausibel machen", indem wir eine kleine Kurvendiskussion an [mm] $s\left(x\right)$ [/mm] vornehmen.
Behauptung: s ist y-Achsen-symmetrisch.
Beweis:
[mm] $s\left( x \right) [/mm] = [mm] s\left( { - x} \right) \Leftrightarrow e^{x^2 } [/mm] + [mm] x^2 \left( {1 - e} \right) [/mm] - 1 = [mm] e^{\left( { - x} \right)^2 } [/mm] + [mm] \left( { - x} \right)^2 \left( {1 - e} \right) [/mm] - 1 = [mm] e^{x^2 } [/mm] + [mm] x^2 \left( {1 - e} \right) [/mm] - [mm] 1\quad\Box$
[/mm]
Jetzt bilden wir die erste Ableitung von s ...
[mm] $s'\left( x \right) [/mm] = [mm] \underbrace {2xe^{x^2 } }_{{\textrm{Kettenregel}}} [/mm] + [mm] x\left( {2 - 2e} \right)$
[/mm]
... und bestimmen deren Nullstellen:
[mm] $s'\left( x \right) [/mm] = 0 [mm] \Leftrightarrow 2xe^{x^2 } [/mm] + [mm] x\left( {2 - 2e} \right) [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow x_0 [/mm] = 0$
Wegen der bewiesenen Symmetrie beschränken wir uns nur auf die positive Nullstelle:
[mm]\begin{gathered}
2e^{x^2 } + 2 - 2e = 0 \Leftrightarrow 2e^{x^2 } = 2e - 2 \Leftrightarrow e^{x^2 } = e - 1 \Rightarrow x^2 = \ln \left( {e - 1} \right) \hfill \\
\Rightarrow x_1 = \sqrt {\ln \left( {e - 1} \right)} \hfill \\
\end{gathered}[/mm]
Jetzt bestimmen wir die zweite Ableitung, um zu erfahren, ob [mm] $x_1$ [/mm] Hochpunkt oder Tiefpunkt ist:
[mm]s''\left( x \right) = \underbrace {2e^{x^2 } + 4x^2 e^{x^2 } }_{\begin{subarray}{l}
{\textrm{Produktregel \& }} \\
{\textrm{Kettenregel wie}} \\
{\textrm{vorhin}}
\end{subarray}} + 2 - 2e[/mm]
[mm]\begin{gathered}
\Rightarrow s''\left( {x_1 } \right) = 2e^{\ln \left( {e - 1} \right)} + 4\ln \left( {e - 1} \right)e^{\ln \left( {e - 1} \right)} + 2 - 2e \hfill \\
= 2\left( {e - 1} \right) + 4\ln \left( {e - 1} \right)\left( {e - 1} \right) - 2\left( {e - 1} \right) \hfill \\
= \underbrace{\left( {e - 1} \right)}_{e>1}4\underbrace{\ln \left( {e - 1} \right)}_{e > 2} > 0 \hfill \\
\end{gathered}[/mm]
Damit ist [mm] $\left(x_1|s\left(x_1\right) = \left(e-1\right)-\ln\left(e-1\right)\left(e-1\right)-1 \approx -0.2\right)$ [/mm] ein Tiefpunkt unterhalb der x-Achse.
Und wo ist [mm] $s'\left(x\right) [/mm] > 0$? Für x-Werte $> [mm] x_1$ [/mm] z.B.. Man kann das plausibel machen, denn für genügend große positive x-Werte wird [mm] $2xe^{x^2}$ [/mm] viel größer werden, als der lineare Term [mm] $-2x\left(e-1\right)$. [/mm] Nun haben wir aber schon die Nullstelle [mm] $x_1$ [/mm] gefunden, setzen wir nun probeweise etwas größeres als [mm] $x_1$ [/mm] ein (z.B. 1) und erhalten etwas Positives (in diesem Fall: ja) so kann diese Funktion ab [mm] $x_1$ [/mm] nur noch wachsen. Damit ist s für x-Werte $> [mm] x_1$ [/mm] streng monoton steigend. Da wir uns unterhalb der x-Achse befanden, muß es "dort oben" eine Nullstelle geben (Existenz gezeigt!!). Und wegen der Symmetrie müßte genau die gleiche Nullstelle aber mit umgekehrten Vorzeichen "links" der y-Achse vorhanden sein. Aber um diese Nullstellen konkret angeben zu können, hilft wohl nur probieren. ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") Ein schwarzes Loch kann man ja auch nicht sehen, weil es Licht verschluckt, aber man kann seine Existenz plausibel machen. 
Viele Grüße
Karl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:15 So 20.11.2005 | | Autor: | djmatey |
Hallöchen,
nach Gleichsetzen der Funktionen die Gleichung nach x aufzulösen, scheint mir schwierig, wenn nicht unmöglich.
Hier aber ein recht einfaches, meiner Meinung nach gut einsehbares Verfahren, das die Lösungen zeigt:
Wir haben also gleichgesetzt:
[mm] e^{ x^{2}}-1 [/mm] = (e-1) [mm] x^{2} [/mm] Substituiere y= [mm] x^{2}:
[/mm]
[mm] e^{y}-1 [/mm] = (e-1)y
Hier steht ja auf der linken Seite die e-Funktion, um 1 nach unten verschoben (verläuft also durch den Ursprung), und auf der rechten Seite eine Gerade mit Steigung m=e-1. Da die e-Funktion konvex ist, kann die Gerdae sie höchstens zweimal schneiden.
Den ersten Schnittpunkt sieht man leicht: Für y=0 steht auf beiden Seiten die 0.
Zum Zweiten: Für y=1 steht auf beiden Seiten e-1, d.h. die beiden Schnittstellen der (substituierten) Funktionen sind 0 und 1.
Nun noch zurück substituieren: y = [mm] x^{2}
[/mm]
0 = [mm] x^{2} \gdw [/mm] x=0
1 = [mm] x^{2} \gdw [/mm] x=1 oder x=-1
Färtich!
Das ist zwar auch keine "errechnete" Lösung, aber wir haben ja die maximale Anzahl von möglichen Schnittstellen recht leicht aus der Gleichung ersehen können.
Hoffe, das hilft Dir!
Beste Grüße,
djmatey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:49 So 20.11.2005 | | Autor: | moppe |
Vielen Dank, Leute.
Das hilft mir morgen weiter.
Gruß, Moppe
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