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| Aufgabe | | Zeige durch Lösen eines Gleichungssystems, dass der Schnitt von einem Kreis und einer Geraden in [mm] \IR [/mm] ^2 immer entweder keinen, einen oder 2 Punkte hat. Hinweis: Ein Kreis mit Mittelpunkt (a.b) [mm] \in \IR [/mm] ^2 und Radius r [mm] \in \IR [/mm] >0 ist die Lösungsmenge der Gleichung [mm] (x-a)^2 [/mm] + [mm] (y-b)^2 =r^2 [/mm] |
Als ich wollte nur das mir jemand mal über meinen Weg drüber guckt.
Also ich hab gesgat wior suchen (x,y) [mm] \in [/mm] G [mm] \cap [/mm] K (G=Gerade und K=Kreis) [mm] \in \IR [/mm] ^2 1. [mm] (x-a)^2 [/mm] + [mm] (y-b)^2 [/mm] = [mm] r^2 \gdw x^2 [/mm] - 2xa [mm] +a^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] - 2by [mm] +b^2 [/mm] - [mm] r^2 [/mm] = 0
2. cx+dy+e=0 ohne einschränkung der Allgemeinheit kann man annehmen c=1 [mm] \Rightarrow [/mm] x= -dy+e
[mm] \Rightarrow [/mm] 2 einsetzten in 1 (nach Umformen kommt dann das dabei raus)
[mm] \underbrace{(-d^2y- 2de+2da-2b+y)y+e^2+2e+b-r^2 =0 }_{=h}
[/mm]
Nun eine Fallunterscheidung: 1. Fall h=0 [mm] \Rightarrow [/mm] 0=0 [mm] \gdw [/mm] K=G ! Widerspruch
2: Fall Grad (h)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] h= [mm] e^2+2e+b-r^2 [/mm] ( [mm] \not= [/mm] 0)
da gilt h=0 ist das ein Widerspruch also GRad(h) = 0 [mm] \gdw [/mm] K [mm] \cap [/mm] G = {}
[mm] \hat= [/mm] K und G haben keinen Schnittpunkt
3. Fall Grad(h)=1
[mm] \Rightarrow [/mm] y ist eindeutig bestimmt
[mm] \Rightarrow [/mm] x ist eindeutig bestimmt
[mm] \Rightarrow [/mm] Es existiert genau ein Schnittpunkt
4. Fall Grad(h) =2
[mm] \Rightarrow [/mm] Es gibt 2 Lösungen für y
[mm] \Rightarrow [/mm] Es gibt 2 Lösungen für x
[mm] \Rightarrow [/mm] Es existieren 2 Schnittpunktre
Ist das so richtig oder i-wo noch zu ungenau?
LG Sunnygirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:42 Di 24.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Zeige durch Lösen eines Gleichungssystems, dass der
> Schnitt von einem Kreis und einer Geraden in [mm]\IR[/mm] ^2 immer
> entweder keinen, einen oder 2 Punkte hat. Hinweis: Ein
> Kreis mit Mittelpunkt (a.b) [mm]\in \IR[/mm] ^2 und Radius r [mm]\in \IR[/mm]
> >0 ist die Lösungsmenge der Gleichung [mm](x-a)^2[/mm] + [mm](y-b)^2 =r^2[/mm]
>
> Als ich wollte nur das mir jemand mal über meinen Weg
> drüber guckt.
>
> Also ich hab gesgat wior suchen (x,y) [mm]\in[/mm] G [mm]\cap[/mm] K
> (G=Gerade und K=Kreis) [mm]\in \IR[/mm] ^2 1. [mm](x-a)^2[/mm] + [mm](y-b)^2[/mm] =
> [mm]r^2 \gdw x^2[/mm] - 2xa [mm]+a^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] - 2by [mm]+b^2[/mm] - [mm]r^2[/mm] = 0
> 2. cx+dy+e=0 ohne einschränkung der Allgemeinheit kann
> man annehmen c=1 [mm]\Rightarrow[/mm] x= -dy+e
Na, na, darüber unterhalten wir uns noch ....
> [mm]\Rightarrow[/mm] 2 einsetzten in 1 (nach Umformen kommt dann
> das dabei raus)
> [mm]\underbrace{(-d^2y- 2de+2da-2b+y)y+e^2+2e+b-r^2 =0 }_{=h}[/mm]
Also das stimmt nicht so richtig, das solltest Du nochmal nachrechnen.
Jedenfalls bekommst Du eine Gleichung der Form
[mm] $\alpha y^2+\beta [/mm] y+ [mm] \gamma=0$
[/mm]
Diese Gleichung hat eine, keine oder 2 Lösungen.
Das reicht. Die ganzen Fallunterscheidungen unten kannst Du Dir schenken.
2 Sondefälle von Geraden sind von Dir nicht berücksichtigt worden:
1. Parallen zur y - Achse; die haben eine Gl. der Form x=c
2. Parallen zur x - Achse; die haben eine Gl. der Form y=c
Bau das noch ein.
FRED
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> Nun eine Fallunterscheidung: 1. Fall h=0 [mm]\Rightarrow[/mm] 0=0
> [mm]\gdw[/mm] K=G ! Widerspruch
>
> 2: Fall Grad (h)=0 [mm]\Rightarrow[/mm] h= [mm]e^2+2e+b-r^2[/mm] ( [mm]\not=[/mm] 0)
> da gilt h=0 ist das ein Widerspruch also GRad(h) = 0 [mm]\gdw[/mm]
> K [mm]\cap[/mm] G = {}
> [mm]\hat=[/mm] K und G haben keinen Schnittpunkt
>
> 3. Fall Grad(h)=1
> [mm]\Rightarrow[/mm] y ist eindeutig bestimmt
> [mm]\Rightarrow[/mm] x ist eindeutig bestimmt
> [mm]\Rightarrow[/mm] Es existiert genau ein Schnittpunkt
>
> 4. Fall Grad(h) =2
> [mm]\Rightarrow[/mm] Es gibt 2 Lösungen für y
> [mm]\Rightarrow[/mm] Es gibt 2 Lösungen für x
> [mm]\Rightarrow[/mm] Es existieren 2 Schnittpunktre
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> Ist das so richtig oder i-wo noch zu ungenau?
>
> LG Sunnygirl
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Während ich meine Antwort vorbereitet habe, hat fred97 schon reagiert. Damit meine Mühe nicht umsonst war, hier auch noch meine unmaßgebliche Meinung.
Mit dem "ohne Einschränkung der Allgemeinheit" bin ich nicht einverstanden. Zum Beispiel kann die Gerade [mm]2y + 5 = 0[/mm] nicht auf die von dir verwendete Form gebracht werden. Ein paar Worte mußt du dazu schon noch verlieren, bevor du "ohne Einschränkung der Allgemeinheit" sagen darfst.
Grundsätzlich ist es dann richtig, den Term der Geradengleichung in die Kreisgleichung einzusetzen. Die Rechnung selber habe ich nicht nachgeprüft. Was aber die Fallunterscheidung angeht, wird es sehr zwiespältig.
Zwar ist es logisch in Ordnung, den Fall, daß [mm]h[/mm] das Nullpolynom in [mm]y[/mm] ist, anzunehmen, "vernünftig" ist es aber nicht. Angenommen, dieser Fall tritt ein, dann folgt daraus: Jeder Punkt der Geraden liegt auf dem Kreis (und nicht: Kreis und Gerade sind identisch), oder mit anderen Worten: die Gerade liegt auf dem Kreis. Jetzt, das kann ich verstehen, widerstrebt das deinem geometrischen Grundempfinden: Wie soll eine Gerade auf einem Kreis liegen? Dennoch sollst du in dieser Aufgabe nicht Algebra mit Geometrie erklären, sondern Geometrie mit Algebra. Du darfst also kein geometrisches Argument benutzen. Du mußt daher, auch wenn es dich schmerzt, zugeben: In diesem Fall liegt die Gerade auf dem Kreis.
Und jetzt kommen wir dazu, daß das offenbar nicht "vernünftig" ist. Und wo liegt der "Fehler"? Der liegt darin, daß du einen abstrakten Fall untersuchst, der in Wahrheit gar nicht eintreten kann. Und genau das mußt du begründen: daß der 1. Fall nicht eintreten kann. Aber mit rechnerischen Argumenten, nicht mit geometrischen! Und wenn man sich das genauer durchdenkt, können auch dein zweiter und dritter Fall nicht eintreten. Begründe das. Dann bleibt nur noch der vierte Fall übrig. Und da stimmt die Argumentation auch nicht. Denn eine quadratische Gleichung hat nicht in jedem Fall zwei Lösungen.
Also noch einmal von vorne ...
Und nicht so viel rechnen. Lieber argumentieren.
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