Schnittpunkte zweier Graphen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:18 Mo 13.06.2005 | | Autor: | Murphy |
Also erstmal die Aufgabenstellung:
Eine Gerade g und der Graph von f verlaufen durch die Punkte A(-2;0) und Q(-4;-1).
Ermitteln Sie eine Gelichung der Geraden!
Die Gerade g und der Graph von f haben einen dritten Punkt S gemeinsam.
Berechnen Sie die Koordinaten!
f= (8x+16) / x²
---------------------------------------
Also den ersten Teil mit g hab ich schon hingekriegt und mit dem GTR kontrlliert.
Daraus folgt:
g= 0.5x +1
---------------------------------------
Hier mein weiterer Weg bisher:
Gleichsetzten von f und g
(8x+16) / x² = 0.5x + 1 [ *2
(16x+ 32) / x² = x +1 [ *x²
16x + 32 = [mm] (x^3) [/mm] + x² [ -(16x +32 )
0 = [mm] (x^3) [/mm] + x² -16x -32
und jetzt weiß ich nicht weiter, ich bezweifel selber, dass diese Nullesetzten richtig ist, aber ich hab auch keine Ahnung, wie ich x isolieren kann um die Lösung zu erhalten, da ja theoretisch am Ende alle drei Schnittpunkte von g und f als Lösungen da sein müssen.
Ich hab auch schon die Lösung mit dem GTR heraus, aber die nützt mir nix, wenn ich den Weg nicht hab.
Also danke schonmal im Voraus!!!
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Ich habe diese Frage nur hier gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:15 Mo 13.06.2005 | | Autor: | taura |
Hi!
> Also erstmal die Aufgabenstellung:
>
> Eine Gerade g und der Graph von f verlaufen durch die
> Punkte A(-2;0) und Q(-4;-1).
> Ermitteln Sie eine Gelichung der Geraden!
> Die Gerade g und der Graph von f haben einen dritten Punkt
> S gemeinsam.
> Berechnen Sie die Koordinaten!
>
> f= (8x+16) / x²
>
> ---------------------------------------
>
> Also den ersten Teil mit g hab ich schon hingekriegt und
> mit dem GTR kontrlliert.
> Daraus folgt:
>
> g= 0.5x +1
Das ist richtig! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> ---------------------------------------
>
> Hier mein weiterer Weg bisher:
> Gleichsetzten von f und g
>
> (8x+16) / x² = 0.5x + 1 [ *2
>
> (16x+ 32) / x² = x +1 (*) [ *x²
> 16x + 32 = [mm](x^3)[/mm] + x² [ -(16x +32 )
> 0 = [mm](x^3)[/mm] + x² -16x -32
>
Bei (*) hast du einen Fehler eigebaut: du multiplizierst die ganze Gleichung mit 2 durch, dann musst du aber auch die 1 am Schluss mitnehmen 
Es steht als da:
[mm]\bruch{16x+32}{x^2}=x+2[/mm]
Also am Ende:
[mm]0=x^3+2x^2-16x-32[/mm]
> und jetzt weiß ich nicht weiter, ich bezweifel selber, dass
> diese Nullesetzten richtig ist, aber ich hab auch keine
> Ahnung, wie ich x isolieren kann um die Lösung zu erhalten,
> da ja theoretisch am Ende alle drei Schnittpunkte von g und
> f als Lösungen da sein müssen.
Das Verfahren ist schon richtig, jetzt musst du nur noch die dritte Nullstelle dieser Funktion berechnen. Du hast ja den Vorteil, dass du zwei der drei Nullstellen schon kennst, du kannst dir also eine der beiden schon gegebenen Nullstellen (-2 und -4) aussuchen und eine Polynomdivision machen. Dann erhälst du ein Polynom zweiten Grades, das wieder Null werden muss, also eine quadratische Gleichung. Die kannst du mit der p/q-Formel oder der a/b/c-Formel lösen (oder falls du den kennst, mit dem Satz des Vieta). Dann sollte als eine Lösung die zweite schon gegebene Nullstelle herauskommen und als zweite Lösung die gesuchte dritte. Die musst du dann noch in eine deiner beiden Funktionen einsetzen um den y-Wert deines Punktes zu berechnen.
> Ich hab auch schon die Lösung mit dem GTR heraus, aber die
> nützt mir nix, wenn ich den Weg nicht hab.
Wenn du die Lösung schon hast, kannst du dein Ergebnis ja selbst überprüfen, du kannst deine Rechnung aber auch gerne nochmal hier posten, dann kann nochmal jemand drüberschauen, ob alles richtig ist.
Ich hoffe ich konnte dir helfen, falls irgendwas unklar sein sollte frag einfach nach!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:18 Mo 13.06.2005 | | Autor: | Murphy |
DANKE erstmal!!!!!
> Hi!
>
> > Also erstmal die Aufgabenstellung:
> >
> > Eine Gerade g und der Graph von f verlaufen durch die
> > Punkte A(-2;0) und Q(-4;-1).
> > Ermitteln Sie eine Gelichung der Geraden!
> > Die Gerade g und der Graph von f haben einen dritten Punkt
> > S gemeinsam.
> > Berechnen Sie die Koordinaten!
> >
> > f= (8x+16) / x²
> >
> > ---------------------------------------
> >
> > Also den ersten Teil mit g hab ich schon hingekriegt und
> > mit dem GTR kontrlliert.
> > Daraus folgt:
> >
> > g= 0.5x +1
>
> Das ist richtig!
>
>
> > ---------------------------------------
> >
> > Hier mein weiterer Weg bisher:
> > Gleichsetzten von f und g
> >
> > (8x+16) / x² = 0.5x + 1 [ *2
> >
> > (16x+ 32) / x² = x +1 (*) [ *x²
> > 16x + 32 = [mm](x^3)[/mm] + x² [
> -(16x +32 )
> > 0 = [mm](x^3)[/mm] + x² -16x -32
> >
> Bei (*) hast du einen Fehler eigebaut: du multiplizierst
> die ganze Gleichung mit 2 durch, dann musst du aber auch
> die 1 am Schluss mitnehmen
> Es steht als da:
> [mm]\bruch{16x+32}{x^2}=x+2[/mm]
> Also am Ende:
> [mm]0=x^3+2x^2-16x-32[/mm]
Ok, den Fehler hab ich gar net gemerkt....danke^^
> > und jetzt weiß ich nicht weiter, ich bezweifel selber, dass
> > diese Nullesetzten richtig ist, aber ich hab auch keine
> > Ahnung, wie ich x isolieren kann um die Lösung zu erhalten,
> > da ja theoretisch am Ende alle drei Schnittpunkte von g und
> > f als Lösungen da sein müssen.
>
> Das Verfahren ist schon richtig, jetzt musst du nur noch
> die dritte Nullstelle dieser Funktion berechnen. Du hast ja
> den Vorteil, dass du zwei der drei Nullstellen schon
> kennst, du kannst dir also eine der beiden schon gegebenen
> Nullstellen (-2 und -4) aussuchen und eine Polynomdivision
> machen. Dann erhälst du ein Polynom zweiten Grades, das
> wieder Null werden muss, also eine quadratische Gleichung.
> Die kannst du mit der p/q-Formel oder der a/b/c-Formel
> lösen (oder falls du den kennst, mit dem Satz des Vieta).
> Dann sollte als eine Lösung die zweite schon gegebene
> Nullstelle herauskommen und als zweite Lösung die gesuchte
> dritte. Die musst du dann noch in eine deiner beiden
> Funktionen einsetzen um den y-Wert deines Punktes zu
> berechnen.
>
> > Ich hab auch schon die Lösung mit dem GTR heraus, aber die
> > nützt mir nix, wenn ich den Weg nicht hab.
>
> Wenn du die Lösung schon hast, kannst du dein Ergebnis ja
> selbst überprüfen, du kannst deine Rechnung aber auch gerne
> nochmal hier posten, dann kann nochmal jemand
> drüberschauen, ob alles richtig ist.
>
> Ich hoffe ich konnte dir helfen, falls irgendwas unklar
> sein sollte frag einfach nach!
So und jetzt zu meinem Betreff, ich würd gerne wissen, was Polynomdivision ist und wie man das hier anwendet, weil das erklärt man dem MatheGrundkurs nicht oder nicht so, dass man es anwenden oder gar verstehen kann.
Satz von Vieta weiß ich, was das ist, aber ich komm ja nicht zu ner quad. Gleichung. Und die brauch ich auch für die Lösungsformel.
Also wenn jemand nochmal so nett wär und mit Polynomdivision erklären könnt? und es hier gleich am besipiel macht, dass wär super.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:12 Mo 13.06.2005 | | Autor: | Jockal |
Hallo !
Ich schreibe ausschließlich zur Polynomdivision (denn ich war zu faul den ganzen Aufgabentext zu lesen), und hoffe, dass Du wirklich nicht mehr als das wissen willst:
Wenn man ein Polynom durch ein anderes dividiert, geht man prinzipiell genau so vor, wie beim schriftlichen Dividieren ganzer Zahlen, das man in der Grundschule und in der 5. Klasse lernt. Es ist aber etwas vertrackter, nicht durcheinander zu kommen.
Ein Beispiel:
Man soll/muss das Polynom [mm] (3x^{5}-7x^{3}-x^{2}-20x+4) [/mm] durch [mm] (x^{2}-4) [/mm] teilen.
Dazu schreibt man
[mm] (3x^{5}-7x^{3}-x^{2}-20x+4) [/mm] : [mm] (x^{2}-4) [/mm] =
nun muss man (genau wie bei Division ganzer Zahlen) überlegen: "Wie oft geht [mm] x^{2} [/mm] in [mm] 3x^{5} [/mm] ?"
Oder anders gesagt: "Mit was muss ich [mm] x^{2} [/mm] malnehmen, um [mm] 3x^{5} [/mm] zu erhalten ?",
Die Antwort ist: man nehme [mm] 3x^{3}
[/mm]
Also schreiben wir neben das "=" oben schonmal [mm] 3x^{3}, [/mm]
und rechnen nun zurück, was denn rauskommt, wenn man eben die ganze Klammer [mm] (x^{2}-4) [/mm] mal [mm] 3x^{3} [/mm] nimmt:
nämlich [mm] 3x^{5}-12x^{3}.
[/mm]
Das schreiben wir unter die linke Klammer, und zwar immer gleiche Potenzen untereinander: Insgesamt siehts jetzt so aus:
[mm] (3x^{5}-7x^{3}-x^{2}-20x+4) [/mm] : [mm] (x^{2}-4) [/mm] = [mm] 3x^{3}
[/mm]
[mm] (3x^{5}-12x^{3})
[/mm]
Nun muss man (wie eben beim Dividieren ganzer Zahlen), diese unten stehende Klammer vom ersten Ausdruck abziehen:
[mm] (3x^{5}-7x^{3}-x^{2}-20x+4) [/mm] : [mm] (x^{2}-4) [/mm] = [mm] 3x^{3}
[/mm]
[mm] (3x^{5}-12x^{3})
[/mm]
[mm] 0+5x^{3}
[/mm]
Nun beginnt das Spiel von neuem: "Womit muss ich jetzt [mm] x^{2} [/mm] malnehmen, um [mm] 5x^{3} [/mm] zu erhalten ?"
Dabei natürlich immer die nötigen weiteren Summanden "von oben runterholen", wie man so schön sagt:
[mm] (3x^{5}-7x^{3}-x^{2}-20x+4) [/mm] : [mm] (x^{2}-4) [/mm] = [mm] 3x^{3}+5x
[/mm]
[mm] (3x^{5}-12x^{3})
[/mm]
[mm] 5x^{3}-x^{2}
[/mm]
[mm] (5x^{3} [/mm] -20x)
Hier sieht jetzt das "-20x" absichtlich komisch aus, denn es soll in einer Spalte unter dem "-20x" der obersten Zeile stehen ! Leider kriege ich das hier mit dem Formeleditor nicht richtig hin, aber das "-20x" darf nicht unter [mm] -x^{2} [/mm] stehen, sondern nur unter dem x ohne Quadrat !!
Denn beim jetzt folgenden Abziehen bleibt dann das [mm] -x^{2} [/mm] der dritten Zeile stehen, und kann nicht mit dem -20x verrechnet werden!
Man zieht also wieder die Klammer ab, und hat dann
[mm] (3x^{5}-7x^{3}-x^{2}-20x+4) [/mm] : [mm] (x^{2}-4) [/mm] = [mm] 3x^{3}+5x
[/mm]
[mm] (3x^{5}-12x^{3})
[/mm]
[mm] 5x^{3}-x^{2}
[/mm]
[mm] (5x^{3} [/mm] -20x)
[mm] -x^{2} [/mm] +4
(Hier soll auch die "+4" senkrecht unter der "+4" der ersten Zeile stehen, nicht etwa unter einem Summand mit x oder [mm] x^{2} [/mm] oder so...)
und nach dem gleichen Schema erhält man also schlussendlich:
[mm] (3x^{5}-7x^{3}-x^{2}-20x+4) [/mm] : [mm] (x^{2}-4) [/mm] = [mm] 3x^{3}+5x-1
[/mm]
[mm] (3x^{5}-12x^{3})
[/mm]
[mm] 5x^{3}-x^{2}
[/mm]
[mm] (5x^{3} [/mm] -20x)
[mm] -x^{2} [/mm] +4
[mm] (-x^{2} [/mm] +4)
0
Das was jetzt rechts oben neben dem "=" steht, ist eben das Ergebnis der Polynomdivision.
Ich hoffe, das war verständlich,
Gruß,
Jockal
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![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
... 
Polynomdivision