Schnittvolumen 2er Zylinder < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 15:29 Do 07.10.2010 | | Autor: | kappen |
| Aufgabe | | Berechnen sie das Schnittvolumen der beiden zylinder [mm] y^2+z^2 \le [/mm] 1 und [mm] x^2+z^2\le [/mm] 1 |
Hi Leute :)
Frage mich, wie ich diese Aufgabe in Zylinderkoordinaten lösen könnte.
Wenn es um die Schnittfläche ginge, wäre das kein Problem denk ich, denn da kann ich den einen Zylinder parametrisieren (über [mm] \Phi=\vektor{rcos\phi\\rsin\phi\\z=f(r,\phi)}, [/mm] und dann darüber das Flächenelement bestimmen und dann über einsetzen in die Gleichungen die Grenzen bestimmen.
Aber wie funktioniert das bei einem Volumen? Da kann ich nicht "so einfach" mein Volumenelement bestimmen, das geht afaik nur über die Funktionaldeterminante, aber da komm' ich nicht weiter:
Also:
[mm] \Phi=\vektor{rcos\phi\\rsin\phi\\f(r,\phi)} [/mm]
[mm] f(r,\phi): r^2*cos^2\phi+z^2\le1 \gdw z=+-\sqrt{1-r^2cos^2\phi}
[/mm]
Wie weiter?
Hm, ich glaube mir geht gerade das Problem auf: Wie parametrisiere ich einen Zylinder, der garnicht um die z-Achse sondern um eine andere rotiert?
Ist überhaupt die allgemeine Vorgehensweise korrekt:
Ein Objekt parametrisieren, Flächenelement/Volumenelement herausbekommen, Grenzen zu dem anderen Objekt durch die gegebenen (un-)Gleichungen herausbekommen?
Danke & schöne Grüße =)
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> Berechnen sie das Schnittvolumen der beiden zylinder
> [mm]y^2+z^2 \le[/mm] 1 und [mm]x^2+z^2\le[/mm] 1
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> Hi Leute :)
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> Frage mich, wie ich diese Aufgabe in Zylinderkoordinaten
> lösen könnte.
> Wenn es um die Schnittfläche ginge, wäre das kein
> Problem denk ich, denn da kann ich den einen Zylinder
> parametrisieren (über
> [mm]\Phi=\vektor{rcos\phi\\rsin\phi\\z=f(r,\phi)},[/mm] und dann
> darüber das Flächenelement bestimmen und dann über
> einsetzen in die Gleichungen die Grenzen bestimmen.
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> Aber wie funktioniert das bei einem Volumen? Da kann ich
> nicht "so einfach" mein Volumenelement bestimmen, das geht
> afaik nur über die Funktionaldeterminante, aber da komm'
> ich nicht weiter:
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> Also:
> [mm]\Phi=\vektor{rcos\phi\\rsin\phi\\f(r,\phi)}[/mm]
> [mm]f(r,\phi): r^2*cos^2\phi+z^2\le1 \gdw z=+-\sqrt{1-r^2cos^2\phi}[/mm]
>
> Wie weiter?
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> Hm, ich glaube mir geht gerade das Problem auf: Wie
> parametrisiere ich einen Zylinder, der garnicht um die
> z-Achse sondern um eine andere rotiert?
>
> Ist überhaupt die allgemeine Vorgehensweise korrekt:
> Ein Objekt parametrisieren, Flächenelement/Volumenelement
> herausbekommen, Grenzen zu dem anderen Objekt durch die
> gegebenen (un-)Gleichungen herausbekommen?
>
> Danke & schöne Grüße =)
Hallo kappen,
im Zusammenhang mit Zylindern scheint die Wahl von Zylinder-
koordinaten naheliegend zu sein.
Bei der vorliegenden Aufgabe scheint mir dies wohl trotzdem
keine so gute Idee zu sein. Da ich heute einer Computertomo-
graphie unterzogen wurde, gebe ich dir eine Antwort in analogen
Begriffen: ich musste mich auf einen schmalen Schragen legen
und wurde dann längs einer horizontalen Achse durch den
Röntgen-Scanner gezogen, um die Schichtbilder zu erzeugen.
Ich empfehle dir, die Schnittmenge der beiden (Voll-) Zylinder
so zu scannen, dass du sie in z-Richtung durch den Scanner
ziehst und dir klar machst, wie die Schnittfigur in jeder Ebene
der Art $\ z\ =\ [mm] z_0$ [/mm] aussieht ...
Bei näherer Betrachtung ist dann sogar eine Lösung in Form
einer simplen Kopfrechnung möglich !
LG Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:28 Do 07.10.2010 | | Autor: | kappen |
Schöne Anschauung :)
Liefe aber ja dann auf kartesische Koordinaten hinaus, damit hab ichs schon mal gelöst.
Es geht mir eher um die Allgemeine Vorgehensweise bei Volumenintegralen, wie gesagt, bei Flächen wüsste ichs, eins wird parametrisiert -> Flächenelement -> Grenzen über das andere bestimmen, aber wie geht das bei Volumenintegralen ?=)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:35 Do 07.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst "einfach" nur die Schnittkurve der 2 Zyl. bestimmen, die sind dann die Grenzen. Allerdings schneidest du ja 2 gleiche Zylinder, oder soll das eine z ein y sein?
Das Vorgehen ist dann doch sehr ähnlich dem bei Flächen
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Do 07.10.2010 | | Autor: | kappen |
Hi!
Sind 2 gleiche Zylinder, nur eben um 90° verdreht, die Buchstaben stimmen so :)
Schnittkurven bestimmen, indem ich die Beschreibungen verwurste und ggf einen Parameter eliminiere? Wie sähe denn, angenommen ich verwende Zylinderkoordinaten, mein Volumenelement aus? Wie immer?
Danke & schönen Abend
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:39 Do 07.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
volumenelemente sind in jedem KOOS natürlich immer die gleichen, da sie ja sowas wie nen infinitesimalen Wuerfel beschreiben dxdydz usw.
gruss leduart
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> Hi!
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> Sind 2 gleiche Zylinder, nur eben um 90° verdreht, die
> Buchstaben stimmen so :)
>
> Schnittkurven bestimmen, indem ich die Beschreibungen
> verwurste und ggf einen Parameter eliminiere?
Wurstbrät zu kneten und dann in Därme abzufüllen, um
leckere Würste zu erzeugen, ist bestimmt auch eine
befriedigende, handgreifliche und sogar sinnliche
Tätigkeit. Ob Elemente daraus sich zum Einsatz für
die Lösung geometrischer Probleme eignen könnten,
ist aber eher zweifelhaft. 
> Wie sähe
> denn, angenommen ich verwende Zylinderkoordinaten, mein
> Volumenelement aus? Wie immer?
Wenn du wirklich Zylinderkoordinaten verwenden möchtest,
wäre die nächste Frage: Zylinderkoordinaten bezüglich
welcher Rotationsachse ?
Willst du z.B. die x-Achse dafür auswählen, hätte man also
Koordinaten [mm] (x,\alpha,r) [/mm] und als zugehöriges Volumenelement
für die Integration:
$dV\ =\ [mm] r*dx*d\alpha*dr$
[/mm]
Für die vorliegende Aufgabe zum Schnitt zweier identischer,
sich orthogonal und axial kreuzender Zylinder ist aber zu sagen,
dass dabei weder Zylinderkoordinaten bezüglich x- , y- oder
z-Achse besonders hilfreich sind, denn in keinem Fall kann die
Rotationssymmetrie (das große Plus bei Zylinderkoordinaten)
wirklich ausgenützt werden. Bei Schnitten senkrecht zur x-Achse
(oder auch zur y-Achse) erhält man als Schnittgebilde eben
keine Kreise, sondern Kreiszonen. Bei Schnitten senkrecht zur
z-Achse erhält man Quadrate. Das ist einfacher als Kreiszonen,
spricht aber eindeutig eher für kartesische als Zylinderkoordinaten.
LG Al-Chw.
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Hallo kappen,
ich habe mir inzwischen noch die Mühe gegeben, das
gesuchte Volumen durch ein Integral mittels Zylinder-
koordinaten darzustellen, wobei die Achse des Zylinder-
koordinatensystems mit der Achse des einen Zylinders
(x-Achse des generellen kartesischen x-y-z-Systems)
übereinstimmt.
Was ich erhalten habe, ist:
$\ V\ =\ [mm] 8*\integral_{x=0}^{1}\left[\left(\integral_{\alpha=0}^{arcsin\sqrt{1-x^2}}\ d\alpha \integral_{r=0}^{1}r\ dr\right)+\left(\integral_{\alpha=arcsin\sqrt{1-x^2}}^{\pi/2}\ d\alpha \integral_{r=0}^{\frac{\sqrt{1-x^2}}{sin(\alpha)}}r\ dr\right)\right]\ [/mm] dx$
(Tipp: um die Formel klar lesen zu können : darauf klicken !)
Ich habe das Integral durchgerechnet und bin am Ende
auf das richtige (auf anderem Weg deutlich einfacher
erreichbare) Ergebnis gekommen.
LG Al-Chw.
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