Schnittwinkel Geraden < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:36 Sa 08.12.2007 | | Autor: | Maggons |
| Aufgabe | Zwei einander schneidende Geraden bestimmen mehrere Winkel.
Man nimmt den kleinsten Winkel [mm] \alpha.
[/mm]
Zeige, dass unabhängig von der Wahl der Richtungsvektoren [mm] \vec{u} [/mm] und [mm] \vec{v} [/mm] der beiden Geraden gilt:
cos [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{|\vec{u}\*\vec{v}|}{|\vec{u}| * |\vec{v}|} [/mm] |
Huhu
Leider komme ich selbst nicht so ganz auf die Herleitung :/
Das "Ziel" glaube ich schon zu kennen:
Es kommt immer der "kleinere" Winkel heraus, wenn das Skalarprodukt der beiden Vektoren positiv ist, wenn also der arccos eines positiven Ergebnisses gebildet wird.
Setzt man das "spezifische negative Skalarprodukt" ein, (zu erhalten, wenn man z.B. [mm] -\vec{u}\*\vec{v} [/mm] rechnet), bekommt man den Wechselwinkel, sprich 180°- [mm] \alpha.
[/mm]
Ich hoffe, dass der Denkansatz mir wenigstens gelungen ist?
Nun habe ich versucht das ganze rechnerisch zu begründen.
Ich habe jedoch keine Ahnung wie ich das ganze zerlegen soll, da ich nicht weiß, wie ich die Wurzeln aus dem Nenner bekommen soll und was ich mit was kürzen sollte, so dass ein Ergebnis zwischen 0 und 1 heraus kommt.
Mein rechnerischer Ansatz wäre gewesen:
cos [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{|u1*v1+u2*v2+u3*v3|}{\wurzel{u1²+u2²+u3²}*\wurzel{v1²+v2²+v3²}}
[/mm]
Naja den habe ich aber inzwischen verworfen :/
Wäre sehr dankbar, wenn mir jemand einen Tipp zum Anfang geben würde, da man es scheinbar irgendwie zunächst anders umformen muss.
Und über die "korrekte Einbindung der Betragsstriche" bin ich mir ja auch nicht so sicher; schreibt man sie einfach die komplette Umformung über so auf?
Glaube ich habe bisher noch nie eine Umformung gemacht, wo es auf Betragsstriche ankommt, die ja letztendlich hier nur die negativen Ergebnisse positivieren soll. Vllt kann da ja auch jemand einen Satz zu sagen?
Bereits jetzt vielen Dank fürs Lesen und fürs evtl. Antworten :D
Ciao, Lg
Marco
Ich habe diese Frage in keinem anderen Internetforum oder dergleichen gestellt.
Edit:
Auch wenn es "relativ klar" ist; ich vergaß der Aufgabenstellung beizufügen:
0° [mm] \le \alpha \le [/mm] 90°
|
|
| |
|
Hallo Maggons,
> Zwei einander schneidende Geraden bestimmen mehrere
> Winkel.
> Man nimmt den kleinsten Winkel [mm]\alpha.[/mm]
> Zeige, dass unabhängig von der Wahl der Richtungsvektoren
> [mm]\vec{u}[/mm] und [mm]\vec{v}[/mm] der beiden Geraden gilt:
>
> cos [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{|\vec{u}\*\vec{v}|}{|\vec{u}| * |\vec{v}|}[/mm]
>
> Huhu
>
> Leider komme ich selbst nicht so ganz auf die Herleitung
> :/
>
> Das "Ziel" glaube ich schon zu kennen:
>
> Es kommt immer der "kleinere" Winkel heraus, wenn das
> Skalarprodukt der beiden Vektoren positiv ist, wenn also
> der arccos eines positiven Ergebnisses gebildet wird.
Du machst dir die Sache viel zu schwer! 
Du sollst "nur" zeigen, dass die Bestimmung des Schnittwinkels unabängig ist von der Wahl der Richtungsvektoren:
wird die Richtung der einen Gerade durch [mm] \vec{u} [/mm] bestimmt, ist auch [mm] \lambda*\vec{u} [/mm] ein Richtungsvektor, entsprechend [mm] $\mu [/mm] * [mm] \vec{v}$ [/mm] für die andere Gerade.
und nun berechne den Winkel zwischen diesen beiden Vektoren: [mm] \cos\alpha=\bruch{(\lambda*\vec{u})\*(\lambda*\vec{v})}{|\lambda*\vec{u}|*|\lambda*\vec{v}|}
[/mm]
>
> Setzt man das "spezifische negative Skalarprodukt" ein, (zu
> erhalten, wenn man z.B. [mm]-\vec{u}\*\vec{v}[/mm] rechnet), bekommt
> man den Wechselwinkel, sprich 180°- [mm]\alpha.[/mm]
>
> Ich hoffe, dass der Denkansatz mir wenigstens gelungen
> ist?
>
> Nun habe ich versucht das ganze rechnerisch zu begründen.
>
> Ich habe jedoch keine Ahnung wie ich das ganze zerlegen
> soll, da ich nicht weiß, wie ich die Wurzeln aus dem Nenner
> bekommen soll und was ich mit was kürzen sollte, so dass
> ein Ergebnis zwischen 0 und 1 heraus kommt.
>
> Mein rechnerischer Ansatz wäre gewesen:
>
> cos [mm]\alpha[/mm] =
> [mm]\bruch{|u1*v1+u2*v2+u3*v3|}{\wurzel{u1²+u2²+u3²}*\wurzel{v1²+v2²+v3²}}[/mm]
>
> Naja den habe ich aber inzwischen verworfen :/
>
> Wäre sehr dankbar, wenn mir jemand einen Tipp zum Anfang
> geben würde, da man es scheinbar irgendwie zunächst anders
> umformen muss.
>
> Und über die "korrekte Einbindung der Betragsstriche" bin
> ich mir ja auch nicht so sicher; schreibt man sie einfach
> die komplette Umformung über so auf?
> Glaube ich habe bisher noch nie eine Umformung gemacht, wo
> es auf Betragsstriche ankommt, die ja letztendlich hier nur
> die negativen Ergebnisse positivieren soll. Vllt kann da ja
> auch jemand einen Satz zu sagen?
>
> Bereits jetzt vielen Dank fürs Lesen und fürs evtl.
> Antworten :D
>
> Ciao, Lg
>
> Marco
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Internetforum oder
> dergleichen gestellt.
>
> Edit:
> Auch wenn es "relativ klar" ist; ich vergaß der
> Aufgabenstellung beizufügen:
>
> 0° [mm]\le \alpha \le[/mm] 90°
Gruß informix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:55 So 09.12.2007 | | Autor: | Maggons |
Huhu Informix
Zunächst vielen Dank für deine Antwort.
Wenn ich die von dir aufgestellte Gleichung nach [mm] \alpha [/mm] auflöse ist die ganze Gleichung unabhängig von den Parametern der Richtungsvektoren, da sie sich in gewisser Weise wieder aufheben.
Aber das "wichtige" ist doch hierbei, dass ein [mm] \alpha [/mm] im Intervall von 0° [mm] \le \alpha\le [/mm] 90° herauskommt oder nicht? Ich habe es ja "leider nur" noch an meinen Beitrag geeditet, da keine Möglichkeit mehr bestand die Aufgabe an sich nochmal abzuändern.
Daher müsste man meiner Meinung nach doch irgendwie zeigen, dass als Quotient immer ein Ergebnis zwischen 0 und 1 herauskommt; dies wäre ja der Fall, wenn idealerweise im Zähler noch mehr Komponenten wie u1 und v1 als im Nenner stehen würden; und jegliche negativen Vorzeichen immer Zähler würden durch die Betragsstriche aufgehoben.
Das ist es doch schließlich, was durch diese Betragsstriche erzielt wird; sonst haben sie doch keinen tieferen Sinn?
Deine rechnerische Begründung würdest du nur mit dem oben bereits von dir genannten Ansatz belegen?
Den hätte ich ja dann "gerade schon" erledigt und wäre somit fertig?
Irgendwie schickt mir das nicht ganz... :D
Ciao, Lg
|
|
|
| |
|
Hallo Maggons,
> Huhu Informix
>
> Zunächst vielen Dank für deine Antwort.
>
> Wenn ich die von dir aufgestellte Gleichung nach [mm]\alpha[/mm]
> auflöse ist die ganze Gleichung unabhängig von den
> Parametern der Richtungsvektoren, da sie sich in gewisser
> Weise wieder aufheben.
$ [mm] \cos\alpha=\bruch{(\lambda\cdot{}\vec{u})*(\lambda\cdot{}\vec{v})}{|\lambda\cdot{}\vec{u}|\cdot{}|\lambda\cdot{}\vec{v}|} [/mm] $
[mm] $=\bruch{\lambda^2(\vec{u}\*\vec{v})}{|\lambda|^2\cdot{}|\vec{u}|\cdot{}|\vec{v}|}=\bruch{\vec{u}*\vec{v}}{|\vec{u}|\cdot{}|\vec{v}|}$ [/mm] weil [mm] \lambda^2=|\lambda^2| [/mm] für alle [mm] \lambda \in [/mm] R
damit zeigst du, dass für jeden Richtungsvektor stets derselbe Winkel herauskommt, egal wie er definiert ist...
>
> Aber das "wichtige" ist doch hierbei, dass ein [mm]\alpha[/mm] im
> Intervall von 0° [mm]\le \alpha\le[/mm] 90° herauskommt oder nicht?
> Ich habe es ja "leider nur" noch an meinen Beitrag
> geeditet, da keine Möglichkeit mehr bestand die Aufgabe an
> sich nochmal abzuändern.
klick einfach auf den "Zitieren" unter dem Eingabefeld, dann kannst du in der Antwort weiterschreiben ...
>
> Daher müsste man meiner Meinung nach doch irgendwie zeigen,
> dass als Quotient immer ein Ergebnis zwischen 0 und 1
> herauskommt; dies wäre ja der Fall, wenn idealerweise im
> Zähler noch mehr Komponenten wie u1 und v1 als im Nenner
> stehen würden; und jegliche negativen Vorzeichen immer
> Zähler würden durch die Betragsstriche aufgehoben.
>
> Das ist es doch schließlich, was durch diese Betragsstriche
> erzielt wird; sonst haben sie doch keinen tieferen Sinn?
>
> Deine rechnerische Begründung würdest du nur mit dem oben
> bereits von dir genannten Ansatz belegen?
> Den hätte ich ja dann "gerade schon" erledigt und wäre
> somit fertig?
> Irgendwie schickt mir das nicht ganz... :D
>
> Ciao, Lg
Gruß informix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:14 So 09.12.2007 | | Autor: | Maggons |
Huhu
Also gibt es keine Möglichkeit einen Nachweis dafür zu machen, dass wenn man das Skalarprodukt im Zähler bilanziert, also in Betragsstriche setzt, stets ein Winkel [mm] \alpha [/mm] mit [mm] 0°\le \alpha \le [/mm] 90° herauskommt?
Weil das ist es doch, was ich mir "zum Ziel" gemacht habe :(
Lg
Vllt wäre ja auch noch eine andere Darstellung des Skalarproduktes möglich?
Gibt es irgendeine Art Betragsstriche "in eine Rechnung miteinzubeziehen"?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:42 Di 11.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
