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Schubfachprinzip: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:53 Do 14.01.2016
Autor: pentachromat

Aufgabe
Ein Schüler isst jeden Tag mindestens einen Keks. Im Dezember aß er höchstens 50 Kekse. Zeige, dass es im Dezember eine Folge von aufeinanderfolgenden Tagen gab, an denen der Schüler zusammen genau 10 Kekse aß. Verwende das Schubfachprinzip.


Ich bräuchte etwas Hilfe bei dieser Aufgabe. Ich dachte zwar eigentlich, dass Ich das Schubfachprinzip verstanden hab, aber bei dieser Aufgabe fehlt mir momentan jede Idee.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Schubfachprinzip: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:37 Fr 15.01.2016
Autor: korbinian

Hallo

hier im Forum gibt es eine (allerdings auch nicht gelöste) ähnliche Aufgabe mit einem Hinweis. Vieleicht kommst du damit  klar.
Gruß
korbinian

Bezug
                
Bezug
Schubfachprinzip: Lösung?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:43 Fr 15.01.2016
Autor: pentachromat

Mal schauen ob ich das alles richtig verstanden habe:

Ich habe also eine Folge [mm] k_{i} [/mm] mit den gegessenen Kekse bis zum Tag i mit
1 [mm] \le k_{1} [/mm] < [mm] k_{2} [/mm] < ... < [mm] k_{31} \le [/mm] 50  .  Somit ist [mm] k_{i} \in[1,50]. [/mm]

Die zweite Folge [mm] l_{i}=k_{i}+10 [/mm] nimmt dann also den Wert an, den [mm] k_{i} [/mm] nach ein paar Tagen haben müsste, wenn wirklich 10 Kekse in Folge gegessen wurden. Dann ist [mm] l_{i} \in[11,60]. [/mm]

Wir haben für [mm] k_{i} [/mm] und [mm] l_{i} [/mm] zusammen 60 mögliche Werte, also 60 verschiedene Schubfächer. Wenn man nun täglich die Werte für [mm] k_{i} [/mm] und [mm] l_{i} [/mm] in die Schubfächer einsortiert (31*2=62), gibt es mind. ein Fach in dem zwei Werte liegen (ein [mm] k_{i} [/mm] Wert und ein [mm] l_{i} [/mm] Wert). An den Tagen zwischen den beiden i-Werten wurden dann genau 10 Kekse gegessen.

Hier mal ein Beispiel:

    TAG   |   Gegessene Kekse   |   [mm] k_{i} [/mm]   |   [mm] l_{i} [/mm]  
--------------------------------------------------
     1    |    6                |   6   |   16
     2    |    1                |   7   |   17
     3    |    2                |   9   |   19
     4    |    3                |   12  |   22
     5    |    2                |   14  |   24
     6    |    2                |   16  |   26
     7    |    2                |   18  |   28

In diesem Fall wären [mm] l_{1} [/mm] und [mm] k_{6} [/mm] beide in Schubfach 16 gelandet. Zwischen Tag 1 (bzw. nach Tag 1) und Tag 6 wurden genau 10 Kekse gegessen (1+2+3+2+2=10).

Könnte das so in etwa stimmen?

Bezug
                        
Bezug
Schubfachprinzip: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:21 Fr 15.01.2016
Autor: statler

Mahlzeit!

> Mal schauen ob ich das alles richtig verstanden habe:

Hast du!

>  
> Ich habe also eine Folge [mm]k_{i}[/mm] mit den gegessenen Kekse bis
> zum Tag i mit
>  1 [mm]\le k_{1}[/mm] < [mm]k_{2}[/mm] < ... < [mm]k_{31} \le[/mm] 50  .  Somit ist
> [mm]k_{i} \in[1,50].[/mm]
>  
> Die zweite Folge [mm]l_{i}=k_{i}+10[/mm] nimmt dann also den Wert
> an, den [mm]k_{i}[/mm] nach ein paar Tagen haben müsste, wenn
> wirklich 10 Kekse in Folge gegessen wurden. Dann ist [mm]l_{i} \in[11,60].[/mm]

Diesen Satz verstehe ich nicht völlig. [mm] l_j [/mm] ist eine Folge (ich würde einen anderen Index als i wählen).

>  
> Wir haben für [mm]k_{i}[/mm] und [mm]l_{i}[/mm] zusammen 60 mögliche Werte,
> also 60 verschiedene Schubfächer. Wenn man nun täglich
> die Werte für [mm]k_{i}[/mm] und [mm]l_{i}[/mm] in die Schubfächer
> einsortiert (31*2=62), gibt es mind. ein Fach in dem zwei
> Werte liegen (ein [mm]k_{i}[/mm] Wert und ein [mm]l_{i}[/mm] Wert). An den
> Tagen zwischen den beiden i-Werten wurden dann genau 10
> Kekse gegessen.

Es ist also ein [mm] k_i [/mm] gleich einem [mm] l_j [/mm] oder als Gleichung [mm] k_i [/mm] = [mm] k_j [/mm] + 10. Vom (j+1)-ten Tag bis zum i-ten Tag - beide Tage inklusive - werden genau 10 Kekse gegessen.

>  
> Hier mal ein Beispiel:
>  
> TAG   |   Gegessene Kekse   |   [mm]k_{i}[/mm]   |   [mm]l_{i}[/mm]  
> --------------------------------------------------
>       1    |    6                |   6   |   16
>       2    |    1                |   7   |   17
>       3    |    2                |   9   |   19
>       4    |    3                |   12  |   22
>       5    |    2                |   14  |   24
>       6    |    2                |   16  |   26
>       7    |    2                |   18  |   28
>  
> In diesem Fall wären [mm]l_{1}[/mm] und [mm]k_{6}[/mm] beide in Schubfach 16
> gelandet. Zwischen Tag 1 (bzw. nach Tag 1) und Tag 6 wurden
> genau 10 Kekse gegessen (1+2+3+2+2=10).
>  
> Könnte das so in etwa stimmen?

Wie oben gesagt: ja.
Gruß aus HH
Dieter


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