Schwach offene Umgebung < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:23 Do 24.11.2011 | | Autor: | hula |
Hallöchen
Folgendes Problem konnte ich nicht ganz lösen:
Wenn $ A,B$ zwei konvexe abgeschlossene disjunkte Teilmengen eines reellen Banachraumes $ X $ sind, dann kann ich folgendes machen:
Ich finde für jedes $ x [mm] \in [/mm] A $ eine schwache offene Umgebung $ [mm] U_x [/mm] $ von $ 0 $, so dass $ [mm] (x+U_x) \cap [/mm] B = [mm] \emptyset [/mm] $.
Zum Beweis: Ich verwende folgendes Seperationstheorem von Banach:
Für eine abgeschlossene konvexe nichtleere Menge $ C $ eines normierten Vektorraumes und für ein $ [mm] x_0 \notin [/mm] C$ existiert ein $ f [mm] \in [/mm] X' $ im Dualraum, so dass
$ [mm] Re(f(x_0)) [/mm] > [mm] sup\{Re(f(x))|x \in C\}=:\lambda [/mm] $
In meiner Situation kann ich den Realteil weglassen (da reeller Vektorraum). Ich wende also das Theorem auf die Mengen $ C:= B $ und $ [mm] x_0:= [/mm] x $ für ein $ x [mm] \in [/mm] A $ an. Jetzt bekomm ich ich ja ein solches Element aus dem Dualraum. Ich hätte jetzt die schwach offene Umgebung wie folgt definiert:
$ [mm] U_x:= f^{-1}((-\lambda, \lambda)) [/mm] $, die ist sicher schwach offen und enthält die 0.
Nun zu meinen 2 Fragen:
1. Kann ich sagen, dass $ [mm] inf\{f(x)|x \in B\} [/mm] = [mm] -\lambda [/mm] $ ? Wenn ja, wieso genau?
Ich hätte ja gesagt, aus dem Grund: $ sup(S) = -inf(-S) $ und die Linearität von $ f $ verwendet.
2. Wenn ja, wieso gilt: $ [mm] (x+U_x)\cap [/mm] B = [mm] \emptyset [/mm] $?
Hilfe wäre echt super!
greetz
Hula
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Hallo,
> Hallöchen
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> Folgendes Problem konnte ich nicht ganz lösen:
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> Wenn [mm]A,B[/mm] zwei konvexe abgeschlossene disjunkte Teilmengen
> eines reellen Banachraumes [mm]X[/mm] sind, dann kann ich folgendes
> machen:
>
> Ich finde für jedes [mm]x \in A[/mm] eine schwache offene Umgebung
> [mm]U_x[/mm] von [mm]0 [/mm], so dass [mm](x+U_x) \cap B = \emptyset [/mm].
>
> Zum Beweis: Ich verwende folgendes Seperationstheorem von
> Banach:
>
> Für eine abgeschlossene konvexe nichtleere Menge [mm]C[/mm] eines
> normierten Vektorraumes und für ein [mm]x_0 \notin C[/mm] existiert
> ein [mm]f \in X'[/mm] im Dualraum, so dass
>
> [mm]Re(f(x_0)) > sup\{Re(f(x))|x \in C\}=:\lambda[/mm]
>
> In meiner Situation kann ich den Realteil weglassen (da
> reeller Vektorraum). Ich wende also das Theorem auf die
> Mengen [mm]C:= B[/mm] und [mm]x_0:= x[/mm] für ein [mm]x \in A[/mm] an. Jetzt bekomm
> ich ich ja ein solches Element aus dem Dualraum. Ich hätte
> jetzt die schwach offene Umgebung wie folgt definiert:
>
> [mm]U_x:= f^{-1}((-\lambda, \lambda)) [/mm], die ist sicher schwach
> offen und enthält die 0.
> Nun zu meinen 2 Fragen:
>
> 1. Kann ich sagen, dass [mm]inf\{f(x)|x \in B\} = -\lambda[/mm] ?
> Wenn ja, wieso genau?
>
> Ich hätte ja gesagt, aus dem Grund: [mm]sup(S) = -inf(-S)[/mm] und
> die Linearität von [mm]f[/mm] verwendet.
>
> 2. Wenn ja, wieso gilt: [mm](x+U_x)\cap B = \emptyset [/mm]?
>
Das funktioniert so nicht. Du musst doch ausnutzen, dass es einen positiven Abstand zwischen [mm] $\lambda$ [/mm] und [mm] $\mu:=f(x_0)$ [/mm] gibt, denn das ist die Essenz der Trennungseigenschaft. Setze also zum beispiel [mm] $\delta:=\frac{\mu-\lambda}{2}>0$ [/mm] und definiere dann
[mm]U_x:=f^{-1}((-\delta,\delta))[/mm]
Du solltest dann leicht zeigen können, dass
[mm]f(x_0+ x)>\lambda[/mm] für alle [mm] x\in U_x.
[/mm]
Somit kann [mm] $x=x_0+x$ [/mm] nicht in $B$ liegen und die Schnittmenge ist leer. q.e.d.
gruss
Matthias
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