Schwache Konvergenz < stoch. Analysis < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Untersuchen Sie, ob für [mm] $n\to\infty$ [/mm] die Wahrscheinlichkeitsmaße [mm] P_{n} [/mm] mit folgenden Wahrscheinlichkeitsdichten [mm] f_{n} [/mm] schwach konvergieren, und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert:
a) [mm] $f_{n}(x) [/mm] = [mm] n*e^{-n*x}*1_{[0,\infty)}(x)$ [/mm] |
Hallo!
Ich habe zunächst ein Problem mit dem Verstehen der Aufgabe, weil ich nicht genau weiß, was mit "Wahrscheinlichkeitsmaß" gemeint ist.
Wir hatten als Definition für schwache Konvergenz [mm] $X_{n}\overset{D}{\to} [/mm] X$, wenn [mm] F_{n}(x) [/mm] von [mm] X_{n} [/mm] punktweise gegen F(x) von X konvergiert (für alle x, die Stetigkeitsstellen von X sind).
Nun habe ich aber nur [mm] f_{n}(x) [/mm] gegeben, und kein Wort von Zufallsvariablen.
Gehe ich die Aufgabe so richtig an ?:
- Bestimme zunächst die Verteilungsfunktion [mm] F_{n}(x) [/mm] der Zufallsvariablen [mm] X_{n} [/mm] durch Integrieren: [mm] $F_{n}(x) [/mm] = [mm] -e^{-n*x}*1_{[0,\infty)}$.
[/mm]
- Vermute Verteilungsfunktion F(x) von X durch Limesbildung: [mm] $\lim_{n\to\infty}F_{n}(x) [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty}-e^{-n*x}*1_{[0,\infty)} [/mm] = [mm] \begin{cases}0, x\in\IR\textbackslash\{0\}\\ -1, x = 0\end{cases} [/mm] $
- Nun Nachweis [mm] $F_{n}(x) \to [/mm] F(x)$ durch Nachweis des Kriteriums?
Fall [mm] x_{0} \le [/mm] 0 klar. Sei [mm] x_{0}\in\IR_{>0} [/mm] beliebig. Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0 beliebig.
Zu zeigen: Dann existiert ein [mm] $N\in\IN:\forall [/mm] n >N: [mm] |F_{n}(x_{0})-F(x_{0})|$.
[/mm]
Wähle $N = [mm] -\ln(\varepsilon) [/mm] / [mm] x_{0}$. [/mm] Dann ist für $n = N+k > N$, [mm] k\in\IN:
[/mm]
[mm] $|F_{n}(x_{0})-F(x_{0})| [/mm] = [mm] |-e^{-n*x_{0}}| [/mm] = [mm] e^{-n*x_{0}} [/mm] = [mm] (e^{-x_{0}})^{N+k} [/mm] = [mm] (e^{-x_{0}})^{k}*(e^{-x_{0}})^{N} [/mm] = [mm] (e^{-x_{0}})^{k}*\varepsilon [/mm] < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Ist das so gedacht  ?
Danke für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
|
|
| |
|
Hallo luis,
> [mm]F_{n}(x) = (1-e^{-n*x})*1_{[0,\infty)}[/mm].
Danke für deine Korrektur. Da habe ich wohl zu wenig mitgedacht; rein analytisch war ja auch [mm]F_{n}(x) = (-e^{-n*x})*1_{[0,\infty)}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
eine Stammfunktion, aber eben keine Verteilungsfunktion...
Okay, dann sieht die Grenzfunktion so aus:
$F(x) = \begin{cases}0, x \le 0\\ 1}, x > 0\end{cases}$
Und der Nachweise für die punktweise Konvergenz:
Fall x_{0} \le 0 klar, weil dann F_{n}(x_{0}) = 0 = F(x_{0}) für alle n\in\IN gilt.
Fall x_{0} > 0: Sei \varepsilon > 0 beliebig.
Zu zeigen: Dann existiert ein $N\in\IN:\forall n >N: |F_{n}(x_{0})-F(x_{0})|$.
Wähle $N = -\ln(\varepsilon) / x_{0}$. Dann ist für $n = N+k > N$, k\in\IN:
$|F_{n}(x_{0})-F(x_{0})| = |1-e^{-n*x_{0}} - 1| = e^{-n*x_{0}} = (e^{-x_{0}})^{N+k} = (e^{-x_{0}})^{k}*(e^{-x_{0}})^{N} = (e^{-x_{0}})^{k}*\varepsilon < \varepsilon$.
Stimmt's jetzt ?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
Hallo luis,
danke für deine Antwort!
> > Und der Nachweise für die punktweise Konvergenz:
> > Fall [mm]x_{0} \le[/mm] 0 klar, weil dann [mm]F_{n}(x_{0})[/mm] = 0 =
> > [mm]F(x_{0})[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm] gilt.
>
> [mm]x_0=0[/mm] brauchst du nicht zu beachten, da das keine Stelle
> ist,
> wo [mm]F_[/mm] (nicht [mm]X_[/mm]) stetig ist.
Oh, du hast recht...
> Na ja, ein bisschen mit Kanonen auf Spatzen geschossen.
> Aber eine
> gute Uebung, um in der Epsilontik nicht einzurosten. 
Blöde Frage jetzt, aber: Wie soll ich es denn sonst machen? Mit der "Offensichtlichkeit" argumentieren? Oder dass beim Limes bilden von [mm] F_{n}(x) [/mm] eben F(x) rauskommt?
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:44 Do 07.01.2010 | | Autor: | luis52 |
> Blöde Frage jetzt, aber: Wie soll ich es denn sonst
> machen? Mit der "Offensichtlichkeit" argumentieren?
Genau. Dass [mm] $\exp[-nx]\to0$ [/mm] fuer $x>0$ und [mm] $n\to\infty$, [/mm]
sieht auch der mathematische Laie.
vg Luis
|
|
|
| |
|
Okay,
danke für deine Antwort, luis !
Grüße,
Stefan
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
