Schwache Konvergenz < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:56 Mo 19.07.2010 | | Autor: | rulf007 |
| Aufgabe | | Zeigen sie, dass die Folge von Wahrscheinlichkeitsmaßen [mm] P_{n}:=\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}\delta_\bruch{1}{n}, n\in\IN [/mm] auf [mm] (\IR,\mathcal{B}(\IR)) [/mm] schwach gegen die Gleichverteilung auf [0,1] konvergiert. |
Hallo an alle!
Das ist eine Aufgabe aus meiner letzten W-Theorie Klausur. In der Nachholklausur kommt wohl wieder eine solche Aufgabe dran. Leider gibt es keine Musterlösung.
Deswegen hoffe ich, dass ich hier Tipps bekomme wie man eine solche Aufgabe angeht. (Teil-)Lösungen wären mir auch sehr hilfreich.
Danke für eure Mühe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Huhu,
auch hier: Wo sind deine Ansätze, Probleme, Verständnisschwierigkeiten?
Ohne die können wir dir wohl leider nicht gezielt helfen.
Denn Musteraufgaben gibt es im Netz wohl genug, allerdings haben dir diese bisher wohl auch nicht geholfen, denn ihr werdet sie bestimmt in den Übungen gemacht haben.
MFG,
Gono.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:30 Mo 19.07.2010 | | Autor: | gfm |
> Zeigen sie, dass die Folge von Wahrscheinlichkeitsmaßen
> [mm]P_{n}:=\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}\delta_\bruch{1}{n}, n\in\IN[/mm]
> auf [mm](\IR,\mathcal{B}(\IR))[/mm] schwach gegen die
> Gleichverteilung auf [0,1] konvergiert.
> Hallo an alle!
>
> Das ist eine Aufgabe aus meiner letzten W-Theorie Klausur.
> In der Nachholklausur kommt wohl wieder eine solche Aufgabe
> dran. Leider gibt es keine Musterlösung.
>
> Deswegen hoffe ich, dass ich hier Tipps bekomme wie man
> eine solche Aufgabe angeht. (Teil-)Lösungen wären mir
> auch sehr hilfreich.
Ich nehme an es soll
[mm]P_{n}:=\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}\delta_\bruch{i}{n}, n\in\IN[/mm]
heißen.
Lt. Wiki heißt eine Folge von Maßen [mm]\mu_i[/mm] auf einem metrischen Maßraum [mm](\Omega,d,\mathcal{B}(\Omega))[/mm] schwach konvergent gegen das Maß [mm]\mu[/mm] :[mm]\gdw\limes\integral_\Omega fdu_i =\integral_\Omega fdu[/mm] für alle beschränkten und stetigen Funktionen [mm]f[/mm] gilt.
Sei nun f beschränkt und stetig. Damit ist es meßbar. Wegen der Endlichkeit [mm] P_n(\IR)=1 [/mm] ist f auch integrierbar im maßtheoretischen Sinne. Auf [0,1] ist es darüberhinaus natürlich auch Rieman-integrierbar und Lebesgue-integrierbar und die Integrale stimmen überein. Es gilt dann
[mm] \integral_\IR fdP_{n}=\integral_\IR fd\left(\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}\delta_\bruch{i}{n}\right)=\summe_{i=1}^nf(i/n)\bruch{1}{n}\to\integral_0^1f(x)dx=\integral_{[0,1]}fdP
[/mm]
wobei [mm] P=\lambda^1|_{[0,1]} [/mm] die Gleichverteilung auf [0,1] also die Einschränkung des Lebesgue-Maßes auf [0,1] ist.
Es geht auch über die Verteilungsfunktionen. Eine Folge von ZV [mm] X_n [/mm] konvergiere laut Wiki in Verteilung gegen eine ZV X, wenn die Bildmaße der [mm] X_n [/mm] schwach gegen das von X konvergieren und dazu äquivalent laut Wiki ist, dass die Verteilungsfunktionen der [mm] X_n [/mm] punkweise in den Stetigkeitsstellen der Verteilungsfunktion von X gegen diese konvergieren:
[mm] F_n(t):=P_n((-\infty,t])=\frac{1}{n}\summe_{i=1}^n\delta_{i/n}((-\infty,t])=\frac{1}{n}\summe_{i=1}^n1_{(-\infty,t]}(i/n)=\frac{1}{n}\summe_{i=1}^n1_{[i/n,\infty)}(t)
[/mm]
[mm] F(t):=\lambda^1((-\infty,t]\cap[0,1])=t1_{[0,1]}(t)+1_{(1,\infty)}(t)
[/mm]
Es gilt
F ist überall stetig.
F(t)=0 für [mm] t\le0 [/mm] und F(1)=1 für [mm] t\ge1
[/mm]
Da [mm] F_n [/mm] über ein W-Maß definiert ist, ist [mm] F_n [/mm] rechtstetig, monoton steigend mit [mm] 0\le F_n(t)\le1. [/mm] Außerdem gilt [mm] F_n(0)=\frac{1}{n}\summe_{i=1}^n1_{[i/n,\infty)}(0)=\frac{1}{n}\summe_{i=1}^n [/mm] 0=0. [mm] F_n(1)=\frac{1}{n}\summe_{i=1}^n1_{[i/n,\infty)}(1)=\frac{1}{n}\summe_{i=1}^n 1=\frac{1}{n}*n=1
[/mm]
Damit ist nur noch die Konvergenz auf (0,1) gegen t zu zeigen:
[mm] F_n(t)=\frac{1}{n}\summe_{i=1}^n1_{[i/n,\infty)}(t)=\frac{1}{n}\summe_{i=1}^n1_{[i,\infty)}(nt)=\frac{1}{n}\summe_{i=1}^{[nt]}1=\frac{[nt]}{n}\to [/mm] t
wobei [x] die größte ganze Zahl kleiner oder gleich x sein soll.
LG
gfm
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:40 Mo 19.07.2010 | | Autor: | rulf007 |
Danke für die schnelle Antwort
Die Berichtigung stimmt natürlich!
> [mm]\integral_\IR fdP_{n}=\integral_\IR fd\left(\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}\delta_\bruch{i}{n}\right)=\summe_{i=1}^nf(i/n)\bruch{1}{n}\to\integral_0^1f(x)dx=\integral_{[0,1]}fdP[/mm]
> wobei [mm]P=\lambda^1|_{[0,1]}[/mm] die Gleichverteilung auf [0,1]
> also die Einschränkung des Lebesgue-Maßes auf [0,1] ist.
Kann ich soweit nachvollziehen, allerdings ist mir der Übergang von der Summe zum Integral noch nicht so klar. Ist das so definiert?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:58 Mo 19.07.2010 | | Autor: | gfm |
> Danke für die schnelle Antwort
>
> Die Berichtigung stimmt natürlich!
>
> > [mm]\integral_\IR fdP_{n}=\integral_\IR fd\left(\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}\delta_\bruch{i}{n}\right)=\summe_{i=1}^nf(i/n)\bruch{1}{n}\to\integral_0^1f(x)dx=\integral_{[0,1]}fdP[/mm]
>
>
> > wobei [mm]P=\lambda^1|_{[0,1]}[/mm] die Gleichverteilung auf [0,1]
> > also die Einschränkung des Lebesgue-Maßes auf [0,1] ist.
>
> Kann ich soweit nachvollziehen, allerdings ist mir der
> Übergang von der Summe zum Integral noch nicht so klar.
> Ist das so definiert?
>
>
Riemannintegral?
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Mo 19.07.2010 | | Autor: | rulf007 |
Okay, danke!
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