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| Aufgabe | Berechnen Sie die ersten Ableitungen der folgenden Funktionen:
[mm] f_{1}(x) [/mm] = x * ln((x + [mm] e^{x})^{2})
[/mm]
[mm] f_{2}(x) [/mm] = [mm] (\bruch{1 + x}{x})^{n}
[/mm]
[mm] f_{3}(x) [/mm] = [mm] \bruch{ln(x)}{x^2}
[/mm]
[mm] f_{4}(x) [/mm] = [mm] 4^{x*ln(x)}
[/mm]
[mm] f_{5}(x) [/mm] = [mm] e^{2x} [/mm] * arcsin(x - 1)
[mm] f_{6} [/mm] = [mm] sin(x^2 [/mm] + 1) * cos(4x) |
Ich hab mal angefangen und wollt von euch wissen ob ich richtig liege oder auf dem falschen Dampfer bin. Ich schreibe erstmal die ersten Lösungen hin, die anderen kommen dann noch danach
1)
Also ich hab mir das so angedacht, ich teil die Funktion in Unterfunktionen
[mm] f_{1}(x) [/mm] = [mm] g_{1}(g_{2}(g_{3})) [/mm] * [mm] g_{4}
[/mm]
[mm] g_{1} [/mm] = ln(x)
[mm] g_{1}' [/mm] = [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
[mm] g_{2} [/mm] = [mm] x^2
[/mm]
[mm] g_{2}' [/mm] = 2x
[mm] g_{3} [/mm] = x + [mm] e^x
[/mm]
[mm] g_{3}' [/mm] = 1 + [mm] e^x
[/mm]
[mm] g_{4} [/mm] = x
[mm] g_{4}' [/mm] = 1
=> [mm] f_{1}' [/mm] = [ [mm] g_{4}' [/mm] * [mm] g_{1}(g_{2}(g_{3})) [/mm] ] + [ [mm] g_{4} [/mm] * [mm] g_{1}'(g_{2}(g_{3})) [/mm] * [mm] g_{2}'(g_{3}) [/mm] * [mm] g_{3}' [/mm] ]
und jetzt nur noch einsetzen:
[mm] f_{1}' [/mm] = [ 1 * ln((x + [mm] e^x)^{2}) [/mm] ] + [ x * [mm] \bruch{1}{(x + e^x)^2} [/mm] * 2(x + [mm] e^x) [/mm] * (1 + [mm] e^x) [/mm] ]
2) Hier haben wir nur eine Verknüpfung und eine Division:
[mm] f_{2}'(x) [/mm] = n * [mm] (\bruch{1 + x}{x})^{n - 1} [/mm] * [mm] \bruch{1 + x) * 1 - 1 * x}{x^2}
[/mm]
3) Hier sehe ich nur eine Division:
[mm] f_{3}'(x) [/mm] = [mm] \bruch{2x * ln(x) - x^2 * \bruch{1}{x}}{x^4} [/mm] = [mm] \bruch{2ln(x) - 1}{x^3}
[/mm]
4) Hier haben wir eine Verknüpfung und in der Verknüpfung eine Multiplikation, also
[mm] f_{4}'(x) [/mm] = (x * ln(x)) * ln(4) * [mm] 4^{x * ln(x)} [/mm] * (ln(x) + 1)
Stimmt das bis hier hin. Bei der vier war ich mir an einem Punkt nicht ganz sicher, wenn
g(x) = [mm] 4^{x * ln(x)} [/mm] ist dann die Ableitung g'(x) = ln(4) * [mm] 4^{x * ln(x)} [/mm] * (ln(x) + 1) ?
Die anderen kommen Funktionen kommen noch nach :)
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zu 2)
Stimmt, ich hatte mich vertan. Ich hab versucht die Quotientenregel aus dem Kopf zu rechnen und die hatte ich nicht so in der Erinnerung.
also hier meine richtige Variante:
[mm] f_{2}' [/mm] (x) = n * [mm] (\bruch{1 + x}{x})^{n - 1} [/mm] * [mm] \bruch{1 * x - (1 + x) * 1}{x^2}
[/mm]
Stimmt das jetzt so?
Ja, der Hintergrund stimmt schon. Warum fragst du?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:24 Mi 25.08.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo john_rambo!
> also hier meine richtige Variante:
>
> [mm]f_{2}'[/mm] (x) = n * [mm](\bruch{1 + x}{x})^{n - 1}[/mm] * [mm]\bruch{1 * x - (1 + x) * 1}{x^2}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") so sieht das besser aus. Nun noch zusammenfassen ...
> Ja, der Hintergrund stimmt schon. Warum fragst du?
Weil mich das etwas nachdenklich stimmt, da Du von "Vorlesungen" schreibst und ständig in den Hochschulforen postest. Du studierst also nicht, oder doch?
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:28 Mi 25.08.2010 | | Autor: | john_rambo |
Doch, ich studiere, aber ich dachte man sollte da den letzten vollst. Abschluss angeben, den man hatte (mathematisch gesehen). Aber die Aufgaben die ich hier angebe, ist ein Fach das man schon im ersten Semester studiert haben sollte, von daher: mehr als Schule kann man bei dem Fach eigentlich bzw. normalerweise nicht haben.
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Hallo john_rambo,
>Aufgabe
> Berechnen Sie die ersten Ableitungen der folgenden Funktionen:
> $ [mm] f_{1}(x) [/mm] $ = x * ln((x + $ [mm] e^{x})^{2}) [/mm] $
> $ [mm] f_{2}(x) [/mm] $ = $ [mm] (\bruch{1 + x}{x})^{n} [/mm] $
> $ [mm] f_{3}(x) [/mm] $ = $ [mm] \bruch{ln(x)}{x^2} [/mm] $
> $ [mm] f_{4}(x) [/mm] $ = $ [mm] 4^{x\cdot{}ln(x)} [/mm] $
> $ [mm] f_{5}(x) [/mm] $ = $ [mm] e^{2x} [/mm] $ * arcsin(x - 1)
> $ [mm] f_{6} [/mm] $ = $ [mm] sin(x^2 [/mm] $ + 1) * cos(4x)
> Ich hab mal angefangen und wollt von euch wissen ob ich richtig liege oder auf dem falschen Dampfer bin. Ich schreibe erstmal die ersten Lösungen hin, die anderen kommen dann noch danach
> 1)
> Also ich hab mir das so angedacht, ich teil die Funktion in Unterfunktionen
>$ [mm] f_{1}(x) [/mm] $ = $ [mm] g_{1}(g_{2}(g_{3})) [/mm] $ * $ [mm] g_{4} [/mm] $
>$ [mm] g_{1} [/mm] $ = ln(x)
>$ [mm] g_{1}' [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{x} [/mm] $
>$ [mm] g_{2} [/mm] $ = $ [mm] x^2 [/mm] $
>$ [mm] g_{2}' [/mm] $ = 2x
>$ [mm] g_{3} [/mm] $ = x + $ [mm] e^x [/mm] $
>$ [mm] g_{3}' [/mm] $ = 1 + $ [mm] e^x [/mm] $
>$ [mm] g_{4} [/mm] $ = x
>$ [mm] g_{4}' [/mm] $ = 1
>=> $ [mm] f_{1}' [/mm] $ = [ $ [mm] g_{4}' [/mm] $ * $ [mm] g_{1}(g_{2}(g_{3})) [/mm] $ ] + [ $ [mm] g_{4} [/mm] $ * $ [mm] g_{1}'(g_{2}(g_{3})) [/mm] $ * $ [mm] g_{2}'(g_{3}) [/mm] $ * $ [mm] g_{3}' [/mm] $ ]
> und jetzt nur noch einsetzen:
> $ [mm] f_{1}' [/mm] $ = [ 1 * ln((x + $ [mm] e^x)^{2}) [/mm] $ ] + [ x * $ [mm] \bruch{1}{(x + e^x)^2} [/mm] $ * 2(x + $ [mm] e^x) [/mm] $ * (1 + $ [mm] e^x) [/mm] $ ]
Stimmt.
Den zweiten Summanden kann man noch etwas zusammenfassen.
> 2) Hier haben wir nur eine Verknüpfung und eine Division:
> $ [mm] f_{2}'(x) [/mm] $ = n * $ [mm] (\bruch{1 + x}{x})^{n - 1} [/mm] $ * $ [mm] \bruch{1 + x) \cdot{} 1 - 1 \cdot{} x}{x^2} [/mm] $
Siehe dazu Loddar's Antwort.
> 3) Hier sehe ich nur eine Division:
> $ [mm] f_{3}'(x) [/mm] $ = $ [mm] \bruch{2x \cdot{} ln(x) - x^2 \cdot{} \bruch{1}{x}}{x^4} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{2ln(x) - 1}{x^3} [/mm] $
Hier hast Du ebenfalls, wie in Loddar's Artikel erwähnt,
die Quotientenregel falsch benutzt.
> 4) Hier haben wir eine Verknüpfung und in der Verknüpfung eine Multiplikation, also
> $ [mm] f_{4}'(x) [/mm] $ = (x * ln(x)) * ln(4) * $ [mm] 4^{x \cdot{} ln(x)} [/mm] $ * (ln(x) + 1)
> Stimmt das bis hier hin. Bei der vier war ich mir an einem Punkt nicht ganz sicher, wenn
>g(x) = $ [mm] 4^{x \cdot{} ln(x)} [/mm] $ ist dann die Ableitung g'(x) = ln(4) * $ [mm] 4^{x \cdot{} ln(x)} [/mm] $ * (ln(x) + 1) ?
Stimmt.
> Die anderen kommen Funktionen kommen noch nach :)
Gruss
MathePower
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5)
[mm] f_{5} [/mm] = [mm] e^{2x} [/mm] * arcsin(x - 1)
[mm] f_{5} [/mm] = [mm] g_{1}(g_{2}) [/mm] * [mm] g_{3}(g_{4})
[/mm]
=>
[mm] f_{5}' [/mm] = [mm] g_{1}'(g_{2}) [/mm] * [mm] g_{2}' [/mm] * [mm] g_{3}(g_{4}) [/mm] + [mm] g_{1}(g_{2}) [/mm] * [mm] g_{3}'(g_{4}) [/mm] * [mm] g_{4}'
[/mm]
=> [mm] f_{5}'(x) [/mm] = [mm] e^{2x} [/mm] * 2 * arcsin(x - 1) + [mm] e^{2x} [/mm] * [mm] \bruch{1}{\wurzel{1 - (x - 1)^2}} [/mm] * 1
6) [mm] f_{6} [/mm] = [mm] sin(x^2 [/mm] + 1) * cos(4x)
[mm] f_{6}' [/mm] = [mm] cos(x^2 [/mm] + 1) * 2x * cos(4x) + [mm] sin(x^2 [/mm] + 1) * (-sin(4x)) * 4
Richtig?
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> 5)
>
> [mm]f_{5}[/mm] = [mm]e^{2x}[/mm] * arcsin(x - 1)
>
> [mm]f_{5}[/mm] = [mm]g_{1}(g_{2})[/mm] * [mm]g_{3}(g_{4})[/mm]
> =>
> [mm]f_{5}'[/mm] = [mm]g_{1}'(g_{2})[/mm] * [mm]g_{2}'[/mm] * [mm]g_{3}(g_{4})[/mm] +
> [mm]g_{1}(g_{2})[/mm] * [mm]g_{3}'(g_{4})[/mm] * [mm]g_{4}'[/mm]
>
> => [mm]f_{5}'(x)[/mm] = [mm]e^{2x}[/mm] * 2 * arcsin(x - 1) + [mm]e^{2x}[/mm] *
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{1 - (x - 1)^2}}[/mm] * 1
>
> 6) [mm]f_{6}[/mm] = [mm]sin(x^2[/mm] + 1) * cos(4x)
>
> [mm]f_{6}'[/mm] = [mm]cos(x^2[/mm] + 1) * 2x * cos(4x) + [mm]sin(x^2[/mm] + 1) *
> (-sin(4x)) * 4
>
> Richtig?
gruß tee
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Du hast hier die 
Quotientenregel