Schwerpunkt, Dichteverteilung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:44 Do 22.05.2008 | | Autor: | chrisi99 |
| Aufgabe | Berechne den Schwerpunkt des gegebenen Drehkörpers, wenn der Körper a) voll mit Flüssigkeit, b) bis z=2 mit Flüssigkeit [mm] \rho=1 [/mm] gefüllt ist.
Profil des Drehkörpers:
[mm] 9r^2=z(3-z)^2
[/mm]
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Aus meinem Skriptum habe ich die Formeln für den räumlichen Schwerpunkt hergenommen, aber leider bin ich auf kein wirklich brauchbares Ergebnis gekommen.
der Radius ist eine Funktion der Höhenkoordinate, also schaut das ganze etwa so aus wie eine Sanduhr. Aber wie hilft mir das bei der Integration weiter...
Wieder ein Kapitel in dem ich keinen Plan habe und die durchgerechneten Beispiele absolut nutzlos sind :(
lg
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Hi,
> Berechne den Schwerpunkt des gegebenen Drehkörpers, wenn
> der Körper a) voll mit Flüssigkeit, b) bis z=2 mit
> Flüssigkeit [mm]\rho=1[/mm] gefüllt ist.
>
> Profil des Drehkörpers:
> [mm]9r^2=z(3-z)^2[/mm]
>
> Aus meinem Skriptum habe ich die Formeln für den räumlichen
> Schwerpunkt hergenommen, aber leider bin ich auf kein
> wirklich brauchbares Ergebnis gekommen.
>
> der Radius ist eine Funktion der Höhenkoordinate, also
> schaut das ganze etwa so aus wie eine Sanduhr. Aber wie
> hilft mir das bei der Integration weiter...
>
naja, das heisst du kannst ziemlich leicht ueber den koerper volumen-integrieren, indem du zylinder koordinaten hernimmst. Allerdings kann ich dir bei der physikalischen seite der aufgabe nicht weiterhelfen...
gruss
matthias
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:21 Fr 23.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Da es ein Drehkörper ist, musst du ja nur die Lage auf der z-Achse bestimmen.
Schreib soch auf, was du gerechnet hast, und wo du scheiterst.
Gruss Leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 Sa 24.05.2008 | | Autor: | chrisi99 |
also ich wollte es so ausrechnen:
[mm] 9r^2=z(3-z)^3 0\le z\le2
[/mm]
dann ist (Rotationskörper) die Deckfläche eine Kreisfläche bei z=2 also [mm] z=2-\wurzel{x^2+y^2}
[/mm]
das Volumen des Körpers wäre:
[mm] V=\integral_{\phi=0}^{2 \pi}{\integral_{r=0}^{\bruch{\wurzel{2}}{3}}{\integral_{z=0}^{2}{r dz dr d\phi)}}}
[/mm]
[mm] r=\wurzel{1/9*z*(3-z)^2} [/mm] (geht das nicht geschickter?)
wie lautet denn die Bodenfläche? Ist eigentlich ein Punkt bei z=0, also vermutlich 0?
[mm] z_{s}=\bruch{1}{V}\integral_{x=-\bruch{\wurzel{2}}{3}}^{\bruch{\wurzel{2}}{3}}\integral_{y=x}^{x}\integral_{z=0}^{2-\wurzel{x^2+y^2}}{z dzdydx}
[/mm]
ist das so weit richtig? Wie beginne ich jetzt zu integrieren (laut unserem Skriptum gibt es da ein paar Stolpersteine "hier nach y zu integrieren wäre ungünstig"..)?
lg
Christoph
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Hallo chrisi99,
> also ich wollte es so ausrechnen:
>
> [mm]9r^2=z(3-z)^3 0\le z\le2[/mm]
>
> dann ist (Rotationskörper) die Deckfläche eine Kreisfläche
> bei z=2 also [mm]z=2-\wurzel{x^2+y^2}[/mm]
>
> das Volumen des Körpers wäre:
>
> [mm]V=\integral_{\phi=0}^{2 \pi}{\integral_{r=0}^{\bruch{\wurzel{2}}{3}}{\integral_{z=0}^{2}{r dz dr d\phi)}}}[/mm]
Das "r" ist doch von z abhängig:
[mm]9r^{2}=z*\left(3-z\right)^{2}[/mm]
Dann lautet das Volumenintegral:
[mm]V=\integral_{z=0}^{2 }{\integral_{r=0}^{\bruch{1}{3}*\wurzel{z*\left(3-z\right)^{2}}}{\integral_{\phi=0}^{2\pi}{r \ d\phi \ dr \ dz}}}[/mm]
Ich denke, hier mußt das gesamte Volumen von z=0 bis z=3 berechnet werden.
Demnach
[mm]V=\integral_{z=0}^{3 }{\integral_{r=0}^{\bruch{1}{3}*\wurzel{z*\left(3-z\right)^{2}}}{\integral_{\phi=0}^{2\pi}{r \ d\phi \ dr \ dz}}}[/mm]
>
> [mm]r=\wurzel{1/9*z*(3-z)^2}[/mm] (geht das nicht geschickter?)
> wie lautet denn die Bodenfläche? Ist eigentlich ein Punkt
> bei z=0, also vermutlich 0?
>
> [mm]z_{s}=\bruch{1}{V}\integral_{x=-\bruch{\wurzel{2}}{3}}^{\bruch{\wurzel{2}}{3}}\integral_{y=x}^{x}\integral_{z=0}^{2-\wurzel{x^2+y^2}}{z dzdydx}[/mm]
Benutze hier wiederum Zylinderkoordinaten:
[mm]z_{s}=\bruch{1}{V}\integral_{z=0}^{2 }{\integral_{r=0}^{\bruch{1}{3}*\wurzel{z*\left(3-z\right)^{2}}}{\integral_{\phi=0}^{2\pi}{z*r \ d\phi \ dr \ dz}}}[/mm]
Das hier hingegen geht in Ordnung.
>
> ist das so weit richtig? Wie beginne ich jetzt zu
> integrieren (laut unserem Skriptum gibt es da ein paar
> Stolpersteine "hier nach y zu integrieren wäre
> ungünstig"..)?
>
> lg
> Christoph
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:49 So 25.05.2008 | | Autor: | chrisi99 |
%edit% falscher Post %edit%
aufgelöst bekomme ich dann:
(integriere in der Reihenfolge: [mm] \phi [/mm] - r -z)
[mm] V=\integral_{z=0}^{3}\integral_{r=0}^{1/3\wurzel{z(3-z)^2}}{2 \pi r dr dz}=\integral_{z=0}^{3}{\pi/9 z(3-z)^2 dz}
[/mm]
ist es das dann?
;)
lg
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Hallo chrisi99,
> %edit% falscher Post %edit%
>
>
> aufgelöst bekomme ich dann:
>
>
> (integriere in der Reihenfolge: [mm]\phi[/mm] - r -z)
>
> [mm]V=\integral_{z=0}^{3}\integral_{r=0}^{\bruch{1}{3}\wurzel{z\left(3-z\right)^{2}}}{2 \pi r dr dz}=\integral_{z=0}^{3}{\pi/9 z(3-z)^2 dz}[/mm]
>
> ist es das dann?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
[mm]V=\integral_{z=0}^{3}\integral_{r=0}^{1/3\wurzel{z(3-z)^2}}{2 \pi r \ dr \ dz}=\integral_{z=0}^{3}{\bruch{\pi}{9} z\left(3-z\right)^{2} \ dz}[/mm]
>
> ;)
>
> lg
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 So 25.05.2008 | | Autor: | chrisi99 |
Eine letzte Frage noch :)
wie weiß man, in welcher Reihenfolge integriert werden darf/sollte?
hier ist es ja recht einsichtig, zuerst nach [mm] \phi [/mm] zu integrieren, aber das ist sicherlich nicht immer der Fall ;)
lg
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Hallo chrisi99,
> Eine letzte Frage noch :)
>
>
> wie weiß man, in welcher Reihenfolge integriert werden
> darf/sollte?
Das kommt darauf an welche Variable von welcher Variable abhängig ist.
Die Regel ist, daß man zuletzt nach der Variablen integriert, deren Grenzen nicht von weiteren Variablen abhängig ist.
>
> hier ist es ja recht einsichtig, zuerst nach [mm]\phi[/mm] zu
> integrieren, aber das ist sicherlich nicht immer der Fall
> ;)
>
> lg
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:11 So 25.05.2008 | | Autor: | chrisi99 |
danke für deine großartige Hilfe!
leider hänge ich jetzt noch immer bei diesem sicher einfachen Beispiel...
ich habe das Volumen jetzt zu [mm] V=\bruch{3 \pi}{4} [/mm] bestimmt.
wenn ich jetzt den Schwerpunkt ausrechne:
[mm] Zs=\bruch{1}{V} \integral_{Z=0}^{2}\integral_{r=0}^{\bruch{1}{3}\wurzel{z(3-z)^2}}\integral_{\phi=0}^{2\pi}{z r d\phi dr dz}
[/mm]
(1/V jetzt weg gelassen):
[mm] \integral_{z=0}^{2}\integral_{r=0}^{...}{2\pi z r dr dz}=\integral_{z=0}^{2}{\pi \bruch{1}{9} z^2(3-z)^2}=\pi/9 \bruch{32}{5}
[/mm]
das ergäbe (gebrochen durch das Volumen) einen Schwerpunkt bei ca 2.8, also außerhalb der Flüssigkeit...
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Hallo chrisi99,
> danke für deine großartige Hilfe!
>
>
> leider hänge ich jetzt noch immer bei diesem sicher
> einfachen Beispiel...
>
> ich habe das Volumen jetzt zu [mm]V=\bruch{3 \pi}{4}[/mm] bestimmt.
Stimmt.
>
> wenn ich jetzt den Schwerpunkt ausrechne:
> [mm]Zs=\bruch{1}{V} \integral_{Z=0}^{2}\integral_{r=0}^{\bruch{1}{3}\wurzel{z(3-z)^2}}\integral_{\phi=0}^{2\pi}{z r d\phi dr dz}[/mm]
>
> (1/V jetzt weg gelassen):
>
> [mm]\integral_{z=0}^{2}\integral_{r=0}^{...}{2\pi z r dr dz}=\integral_{z=0}^{2}{\pi \bruch{1}{9} z^2(3-z)^2}=\pi/9 \bruch{32}{5}[/mm]
[mm]\integral_{z=0}^{2}\integral_{r=0}^{...}{2\pi z r dr dz}=\integral_{z=0}^{2}{\pi \bruch{1}{9} z^2(3-z)^2}=\pi \bruch{32}{45}[/mm]
>
> das ergäbe (gebrochen durch das Volumen) einen Schwerpunkt
> bei ca 2.8, also außerhalb der Flüssigkeit...
Hmm.
[mm]z_{S}=\pi \bruch{32}{45} * \bruch{4}{3 \pi}=\bruch{128}{135}[/mm]
>
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:25 So 25.05.2008 | | Autor: | chrisi99 |
Wie würde Herr Krankl sagen:
"Was fehlt Ihnen zum Mathematiker?" - "Genau, Alles" ;.)
danke, du hast mir sehr geholfen!
lg
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