Schwerpunkt und Masse < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:19 Sa 04.12.2010 | | Autor: | Mampf |
| Aufgabe 1 | Gegeben seien zwei homogene Körper der Dichte [mm] \rho, [/mm] eine Halbkugel mit Radius R und ein Kegel mit demselben Radius und der Höhe h (siehe Skizze). Die Koordinatensysteme seien so gewählt, dass jeweils die z-Achse mit der Symmetrieachse des Körpers zusammenfällt.
Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich] |
| Aufgabe 2 | | a) Berechnen Sie die z Koordinaten der Schwerpunkte beider Körper sowie deren Masse. (Aus Symmetriegründen muss der Schwerpunkt auf der Symmetrieachse liegen.) |
| Aufgabe 3 | | b) Jetzt werden beide Körper zu einem zusammengesetzt (siehe Skizze). Wie gross ist die z Komponente des Schwerpunktes des zusammengesetzten Körpers? |
| Aufgabe 4 | | c) Der Körper stehe auf einer festen Unterlage bei z = 0. Er ist stabil gegenüber kleinen Verkippungen (siehe Skizze), wenn der Schwerpunkt unterhalb des Zentrums der Drehung zu liegen kommt. Für welche Werte von R und h ist das der Fall? |
Hallo!
a) Hier habe ich schon die z-Koordinaten beider Einzel-Körper:
Halbkugel:
[mm] z_{SPHKugel}=\bruch{3*R}{8}
[/mm]
Kegel:
[mm] z_{SPKegel}=\bruch{h}{4}
[/mm]
Nun würde ich gerne die Masse (m) der jeweiligen Körper durch Dichte und ihr Volumen ausrechnen:
[mm] m_{Körper}=\rho*V_{Körper}
[/mm]
da ich aber keinen Wert für die Dichte habe:
[mm] m_{Halbkugel}=\rho*\bruch{2}{3}*\Pi*r^3
[/mm]
[mm] m_{Kegel}=\rho*\bruch{1}{3}*\Pi*r^2*h
[/mm]
Problem: So wie die Aufgabe gestellt wurde, denke ich schon das hier konkrete Werte rauskommen sollten. Vorallem macht es Aufgabe b/c nicht gerade einfacher...
Hätte hier irgendwer eine Idee/Hinweis?
b)
Hier ist mein Ansatz folgender:
1. Wie man an der Skizze leicht erkennen kann liegen meine vorhergehenden Schwerpunkte nun anders, wenn ich den punkt wo sich Halbkugel und Boden berühren als Koordinatenursprungannehme:
Halbkugel:
[mm] z_{SPHKugel}=\bruch{5*R}{8}
[/mm]
Kegel:
[mm] z_{SPKegel}=\bruch{h}{4}+R
[/mm]
2. Ich nehm [mm] z_{SPHKugel}=\bruch{5*R}{8} [/mm] und addiere den abstand zwischen baryzentrum/gem. Schwerpunkt und [mm] z_{SPHKugel} (r_1):
[/mm]
[mm] z_{SPgemeinsam}=z_{SPHKugel}+r_1=\bruch{5*R}{8}+r_1
[/mm]
wobei [mm] r_1 [/mm] (orginialform siehe wikipedia baryzentrum):
[mm] r_1=\bruch{z_{SPHKugel}- z_{SPKegel}*m_{Kegel}}{m_{Halbkugel} + m_{Kegel}}
[/mm]
eingestezt:
[mm] r_1=\bruch{(\bruch{(5*R}{8}-(\bruch{h}{4}+R))*\rho*\bruch{1}{3}*\Pi*r^2*h}{\rho*\bruch{2}{3}*\Pi*r^3+\rho*\bruch{1}{3}*\Pi*r^2*h}
[/mm]
[mm] r_1=\bruch{(-\bruch{(3*R}{8}+\bruch{h}{4})*\rho*\bruch{1}{3}*\Pi*r^2*h}{\rho*\bruch{2}{3}*\Pi*r^3+\rho*\bruch{1}{3}*\Pi*r^2*h}
[/mm]
[mm] \rho*\bruch{1}{3}*\Pi*r^2 [/mm] aus Zähler und Nenner ausgeklammert und weggekürzt:
[mm] r_1=\bruch{(-\bruch{(3*R}{8}+\bruch{h}{4})*h}{2*R+h}
[/mm]
ausmulitpliziert/ausgeklammert/umgeschrieben:
[mm] r_1=\bruch{-3*r*h+2*h^2}{16r+8h}
[/mm]
=>
[mm] z_{SPgemeinsam}= \bruch{5*R}{8}+\bruch{-3*r*h+2*h^2}{16r+8h}
[/mm]
Was mich nicht sehr viel weiterbringt... womöglich stimmt aber der Ansatz schon nicht.
c)
So wie ich die Aufgabe verstehe liegt das Zentrum der Drehung bei (0,0,R).
Genügt es zu sagen die Bedingung für Stabilität ist:
[mm] z_{SPgemeinsam} [/mm] < [mm] z_R?
[/mm]
Wäre super wenn mir geholfen werden könnte!
Vielen Dank!
MfG
Mampf
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:45 So 05.12.2010 | | Autor: | Mampf |
Erstmal vielen Dank für die Mühe!
Gut nun habe ich:
[mm] z_{SPgemeinsam}= \bruch {10*R^2+8h*R+2*h^2}{16*R+8*h}
[/mm]
2 rausgekürzt:
[mm] z_{SPgemeinsam}= \bruch {5*R^2+4h*R+h^2}{8*R+4*h}
[/mm]
wobei dies dasselbe wäre wie von meinem vorherigem Ansatz (nur eben addiert/ausgerechnet)
zu c)
nach meinem obigen ansatz also:
[mm] \bruch {5*R^2+4h*R+h^2}{8*R+4*h} [/mm] < R
Da frage ich mich nun aber wie ich da witerkommen soll:
[mm] \bruch {5*R^2+4h*R+h^2}{8*R+4*h} [/mm] < R |:R (R ist größer 0)
[mm] \bruch {5*R^2+4h*R+h^2}{8*R^2+4*h*R} [/mm] < 1
womöglich übersehe ich hier eine Vereinfachungsmöglichkeit...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:27 So 05.12.2010 | | Autor: | chrisno |
Ich habe mir nur die letzte Gleichung angesehen. Wenn ich Zähler und Nenner vergleiche, dann bleibt doch die Frage übrig, ob [mm] h^2 [/mm] größer oder kleiner als [mm] 3R^2 [/mm] ist. Setz doch mal oben nur bei [mm] $h^2$ $3R^2$ [/mm] ein.
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