Schwerpunktbestimmung < Mechanik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:28 Mo 26.11.2012 | | Autor: | Paivren |
Mahlzeit!
Ein Stab ist gegeben mit der Länge L, der Masse M und der Stirnfläche A.
Ich soll zeigen, dass der geometrische Mittelpunkt gleichzeitig der Schwerpunkt ist, und habe dafür 2 Integrale angegeben:
für die X-Koordinate: [mm] X=\bruch{1}{M}\integral [/mm] {x dm}
für die Y-Koordinate: [mm] Y=\bruch{1}{M}\integral [/mm] {y dm}
Der Urpsrung des Systems liegt an einem Ende des Stabes, die X-Achse läuft den Stab entlang.
Die Dichte ist überall gleich.
Ich hab keine Ahnung, wie ich da vorgehen soll. Wenn ich das integriere, dann kommt da ja lediglich X bzw. Y raus.
Kann ich nicht einfach sagen, dass der Körper symmetrisch ist, und der Schwerpunkt deshalb in der Mitte liegen muss?
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:50 Mo 26.11.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Mahlzeit!
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> Ein Stab ist gegeben mit der Länge L, der Masse M und der
> Stirnfläche A.
>
> Ich soll zeigen, dass der geometrische Mittelpunkt
> gleichzeitig der Schwerpunkt ist, und habe dafür 2
> Integrale angegeben:
>
> für die X-Koordinate: [mm]X=\bruch{1}{M}\integral[/mm] {x dm}
> für die Y-Koordinate: [mm]Y=\bruch{1}{M}\integral[/mm] {y dm}
das Gleiche gilt auch noch für die z-Komponente.
>
> Der Urpsrung des Systems liegt an einem Ende des Stabes,
> die X-Achse läuft den Stab entlang.
> Die Dichte ist überall gleich.
>
> Ich hab keine Ahnung, wie ich da vorgehen soll. Wenn ich
> das integriere, dann kommt da ja lediglich X bzw. Y raus.
Ja genau, Du bekommst die x-,y- bzw. z-Komponente des Schwerpunkts.
> Kann ich nicht einfach sagen, dass der Körper symmetrisch
> ist, und der Schwerpunkt deshalb in der Mitte liegen muss?
Das kann man tun und bei homogener Dichte stimmt das auch. Wenn die Aufgabestellung aber lautet, dass Du es berechnen sollst, musst Du das wohl tun. Dafür würden sich natürlich Zylinderkoordinaten eignen.
>
> Gruß
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:03 Di 27.11.2012 | | Autor: | Paivren |
Aber wie soll ich das ohne irgendwelche Werte denn machen?
Da sind ja keine angegeben, nur die Formeln.
Ich muss also irgendwie "zeigen", dass der Schwerpunkt in der geometrischen Mitte ist, wenn die Dichte gleich bleibt.
Aufgabe b ist dann wenn die Dichte sich mit P=ax verändert, wobei a eine Konstante ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:16 Di 27.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
was ist denn dm oder [mm] \Delta [/mm] m in x Richtung? du hast doch - x Richtung in Richtung des Stabes- Scheiben der Dicke dx mit dem Volumen dV=A*dx und der Masse [mm] dm=\rho*dV [/mm] M kannst du auch durch [mm] \rho [/mm] ausdrücke
in y Richtung entsprechend, wenn der Stab rund ist musst du aufpasswn, rechteckig brauchst du noch Z. rund oder quadratisch ist Y=Z.
Du sollst ja gerade zeigen, dass die DeF des Schwerpunktes vernünftig ist, weil mit fer Rechnung das rauskommt was man vprjer weiss. Dann wendet man es für andere Fälle mit mehr Vertrauen an.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Di 27.11.2012 | | Autor: | Paivren |
Ich danke Dir!!!!!
dm zu ersetzen, brillant^^
Schönen Abend noch!
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:51 Di 27.11.2012 | | Autor: | Paivren |
Hm, also bei Y steh ich wohl immer noch auf dem Schlauch.
Es ist nicht angegeben, welche Form die Stirnfläche hat...
Da von einer Z-Koordinate nicht die Rede ist, muss ich wohl davon ausgehen, dass A rund ist:
Dann gilt dm=dy * [mm] \pi [/mm] * X * P, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:54 Di 27.11.2012 | | Autor: | Paivren |
Ok, kommt am Ende das richtige raus, sehr gut :D
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:23 Di 27.11.2012 | | Autor: | Paivren |
Ok, die erste Aufgabe hätte ich jetzt.
Nun wächst die Dichte mit x, also P=ax, a>0
Meine Rechnung für die X-richtung:
dm=dx * A * a * x
[mm] Xs=\bruch{1}{M}\integral{x * A * a * x dx}
[/mm]
[mm] =\bruch{Aa}{M}\integral{x^{2} dx}
[/mm]
[mm] =\bruch{Aax^{3}}{3M}
[/mm]
[mm] =\bruch{APx^{2}}{3M}
[/mm]
[mm] =\bruch{Ax^{2}}{3V}
[/mm]
[mm] =\bruch{Vx}{3V}
[/mm]
[mm] =\bruch{x}{3}
[/mm]
Das ergibt allerdings keinen Sinn... wo ist mein Fehler?
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Guten Morgen,
Wie hast du denn die Gesamtmasse berechnet?
Es gilt allgemein
[mm] x_s=\frac{\int_0^L{x*\rho(x,y,z)}dV}{\int_0^L{\rho(x,y,z)}dV}
[/mm]
Nun ist $dV=A*dx$. Wir sehen also sofort, dass der Querschnitt unerheblich ist.
[mm] x_s=\frac{\int_0^L{x*a*x}\ dx}{\int_0^L{ax}\ dx}=\frac{\int_0^L{x^2}\ dx}{\int_0^L{x}\ dx}=\frac{\frac{L^3}{3}}{\frac{L^2}{2}}=\frac{2}{3}L
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:20 Mi 28.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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